1、第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,本章要点：傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号的傅里叶变换LTI系统的频域分析取样定理,信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似,一、正交矢量：,定义：如果两个矢量 和 相互垂直，则称 和 为正交矢量。,设在平面上，两个矢量 和 夹角为， 在 上的投影为,4.1信号分解为正交函数,其误差矢量为：,1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：,若用 来近似表示 ，则表达式为：,4.1信号分解为正交函数,2、若从解析角度考虑c12的取值问题，可令误差矢量的平方最小：,C1
2、2标志着两个矢量相互接近的程度。,4.1信号分解为正交函数,二、正交函数：,设在时间区间（t1，t2）内，两函数f1(t)，f2(t)。 用f1(t)在f2(t)中的分量c12f2(t)来表示f1(t)。即：,这个概念可推广到n维空间。,平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。,4.1信号分解为正交函数,设误差函数为：,为使f1(t)和f2(t)达到最佳近似，用均方误差：,4.1信号分解为正交函数,4.1信号分解为正交函数,当c12为0时，表示两个函数正交。 c12为f1(t)与f2(t)的相关系数。由此，给出正交函数的定义：,4.1信号分解为正交函数,1、 在t1,t2区间上
3、定义的非零实函数f1(t)与f2(t)，若满足条件：,则函数f1(t)与f2(t)为区间t1,t2上的正交函数,2、 若 f1(t)与f2(t)是复变函数，则 f1(t)与f2(t)在t1,t2区 间上正交的条件是：,正交函数的定义：,4.1信号分解为正交函数,三、正交函数集：,定义：在t1,t2区间上定义的n个非零实函数集 g1(t), g2(t) ,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、 gj(t)均满足：,其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集,4.1信号分解为正交函数,任意一个函数f(t)在区间t1,t2内，可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示：,在使近似式的均方误差最小的情况
4、下，可分别求得系数c1,c2,cn：,4.1信号分解为正交函数,4.1信号分解为正交函数,四、完备正交函数集,在区间t1,t2内，用正交函数集g1(t),g2(t) ,.,gn(t)，来近似表示函数f(t)，其方均误差为 ：,4.1信号分解为正交函数,所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示：,此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。,4.1信号分解为正交函数,常用的完备正交函数集:,1、三角函数集： 函数1，cost,cos2t, ,cosnt,.,sint, sin2t, ,sinnt, 当所取函数有无限多个时，在区间t0，t0+T内组成完备正交函数集。其中T=2/,2、复指数函数集：函数集ejnt,n=0,1, 2,是一个复变函数集，在区间t0，t0+T内是完备正交函数集。,4.1信号分解为正交函数,
