1、 直线与平面垂直的判定 教案 一、教学目标 知识与技能： 通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 过程与方法： 通过线面垂直定义及定理的探究过程，培养学生感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。 情感态度与价值观： 在 探索直线与平面垂直判定定理的过程中 发展合情推理能力，同时 感悟和体验“ 空间问题转化为平面问题”、 “线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想 . 二、教学重点、难点 重点：直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究； 难点：操作确认并概括出直线与平面
2、垂直的判定定理及初步运用 三、 教学方法与教学手段 问题探究法，启发式教学，探究式学习，结合多媒体课件。 四 、教学过程 1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象 问题 1： 空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系 ? 问题 2： 在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是哪种 ?试举例说明 2.提炼直线与平面垂直的定义 问题 3：你能给出直线和平面垂直的定义吗 ?回忆一下直线与直线垂直是如何定义的 ? 教师（在学生发言的基础上归纳）：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，由这样的思路启发我们：能否将线面垂直问题转化为线线
3、垂直问题呢？请学生结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义 问题 4： (1)阳光下，旗杆 AB 与它在地面上的影子所成的角度是多少 ? (2)随着太阳的移动 ,影子的位置也会移动 ,而旗杆 AB 与影子 所成的角度是否会发生改变 ? 教师引导学生发现：旗杆 AB 所在的直线始终与地面上任意一条过点 B 的直线垂直 (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 11BC 的位置关系如何 ?依据是什么 ? 引导学生再发现：旗杆 AB 所在的直线也与地面上任意一条不过点 B 的直线垂直 教师：现在，你能给直线与平面垂直下个定义吗 ？ 请学生用自己理解的语言概括定义：如果直线 l
4、与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l .教师继而引导学生用数学符号与图形语言表述之 思考 ：（ 1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？ （ 2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 符号语言表述：若 a，l ，则 l . 教师：通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验那么，是否有更简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直呢 ? 3.探究直线与平面垂直的判定
5、定理 （折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们先一起来做一个试验：过三角形的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（ BD、 DC 与桌面接触） 问题 5：（ 1）折痕 AD 与桌面所在的平面垂直吗？ （ 2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直？ 提出问题让学生思考：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？根据学生思考情况启发学生可从线与线的位置关系来考虑 再提出 :使得折痕与桌面所在平面垂直的的关键因素是什么 ? 问题 6： 如果我们把折痕抽象为直线 l ，把桌面抽象为平面 (如图 3)，那么你认为保证直线
6、 l与平面 垂直的条件是什么 ? 对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线 AD（点 D 始终在桌面内）转动，使得直线 CD、 BD 不在桌面所在平面内问：直线 AD 现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线 CD、 BD 都必须是平面内的直线） 问题 7： 如果，将图 3 中的两条相交直线 m 、 n 的位置改变一下，仍保证 mn，ll，（如图 4）你认为直线 l 还垂直于平面 吗？ 教师 :这说明了什么 ?要判断一条直线和一个平面是否垂直 ,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直 ,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的
7、. 根据试验，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？ 判定定理 :一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 ,则称该直线与此平面垂直 . 对定理的加深理解 判断下列命题是否正确？ (1)、若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面。( ) (2)、若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。 ( ) (3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。 ( ) (4)、共点的三条直线中的任一条垂直于另两条直 线则垂直于这两条直线所确定的面。( ) 五 .直线与平面垂直判定定理的应用 例 1.如图，已知 a b、 a
8、. 求证： b . : m ,n .,.,., , ,证 明 在 平 面 内 作 两 条 相 交 直 线因 为 直 线 根 据 直 线 与 平 面 垂 直 的 定 义 知又 因 为 b/所 以 b又 因 为 m , n 是 两 条 相 交 直 线所 以 baa m a nam b nmn例 2、三棱锥 V-ABC 中， VA=VC,AB=BC,K 是 AC 的中点。求证： AC 平面 VKB 变式： (1)在例 1 中若 E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，试判断 EF 与平面 VKB 的位置关系 在的条件下，有人说“ VBAC ， VBEF ， VB 平面 ABC” ，对吗？ 证 明 ：
9、 VA=VC ， VB=BC ， K 是 AC 的 中 点V K A C ， B K A C又 VK 面 VKB ， BK 面 VKBV K B K = K ， AC 面 VKBAC 平 面 VKB 例 3:已知 PA 平面 ABC， AB 是 的直径， C 是 上的任一点，求证： PC CB 证 明 ： AB 是 圆 O 的 直 径 ，AC BC平 面 ABCPA BC又 AC 面 PAC ， PA 面 PACAC PA=ABC 平 面 PACPC CB 。PAa bb m n 课堂练习 ： 练习 1： 如图，已知 OA、 OB、 OC 两两垂直 （见课件） （ 1）求证： OA平面 OBC
10、 （ 2）求证： OA BC 练习 2、在正方体 AC1中，求证： (1)AC 平面 D1DB (2)D1B 平面 ACB1 （见课件） 六 、课堂小结 1.直线与平面垂直的概念（可用来证明线线垂直） 2.判定直线与平面垂直的方法： （ 1）利用定义； （ 2）利用判定定理。 3.数学思想方法：转化的思想 七、课后作业 2.如图， 平行四边形 ABCD 所在平面外有一点 P，且 PA=PB=PC=PD，求证：点 P 与平行四边形对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 AB、 AD. 附板书设计： 2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、直线与平平面垂直 二、应用 1、定义： 例 投影区 2、判定定理： 三、练习 C A B D O P 1 , ,( 1 ) :( 2 ) :( 3 ) :、 如 左 图 已 知 矩 形 过 作 面再 过 作 于 过 作 于求 证 面求 证 面求 证A B CD A P A A B CDA A E P B E E E F P C FB C P A BA E P B CA F P C
