1、实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖 元,外地牌子的每瓶卖 元,则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁, 瓶外地牌子的果汁问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,第八节 多元函数的极值及其求法,1、二元函数极值的定义,二、多元函数的极值与最值,例1,例2,例3,注:,(3),2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题:如何判定一个驻点是否为极值点?,注意:,解,求最值的一般方法:
2、 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.,与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,如图,解,由,无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件.,实例: 小王有200元钱,他决定用来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带,设他购买 张磁盘, 盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为 设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质:求 在条件 下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值:对自变量有附加条件的极值,解,解,思考题,解答,思考题解答,解,则,解,可得,即,