1、二元函数概念、极限、连续,北京师范大学珠海分校2004.12.23欧阳顺湘改编自网上材料,2 多元函数的极限与连续,一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性,（1） (直线上的)邻域,回忆,（1）（平面上的）邻域,（2）区间,开区间,闭区间,开区间与闭区间的区别,（2）区域,例如，,即为开集,内点.,内点：,开集：,开集.,边界点：,边界点.,外点：,常见集合,1维、2 维空间,实数 x,数轴点.,数组 (x, y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x, y) 全体表示平面(二维空间),A与B的卡氏积（Cartesian Product）卡氏集,无边和有边的矩形（长方形
2、）区域,连通：,连通的.,开区域：连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,闭区域：,常见开区域、闭区域,常见开区域、闭区域,推广到多维,n 维空间,实数 x,数轴点.,数组 (x, y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x, y) 全体表示平面(二维空间),数组 (x, y, z),空间点,(x, y, z) 全体表示空间(三维空间),推广：,n 维数组 (x1, x2, , xn),全体称为 n 维空间，记为,n 维空间中两点间距离公式,设两点为,特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离,n 维空间中邻域概念：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也
3、可定义,对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 PE 与某一点 A 间的距离 |AP| 不超过 K，即,对于一切点 PE 成立，则称 E 为有界点集。否则称为无界点集.,有界闭区域；,无界开区域,例如，,二元函数定义,问题提出,一 问题的提出,观察几个例子,例1 理想气体的体积V与温度T成正比，而与压强P成反比，它们之间的关系，由下面的公式给出,（其中R是比例常数）,例2 三角形的面积A依赖于三角形的两条边b和c,以及这两边的夹角C，它们之间的关系，由下面的公式给出,这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系。,（5）一元函数的定义,回忆,类似地可定义三元及三元以上函数,函数的两个要素:,定
4、义域、对应法则.,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,（6）二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,y,.,o,x,z,.,旋转抛物面,二元函数的极限,二元函数的极限的直观定义,设函数 z=f(x,y) 在点 的某空心领域内有定义. 如果当点 P(x,y) 无限趋近于 时，函数 f(x,y) 无限趋近与一个常数 A，则称当 P(x,y) 时，f(x,y) 以 A 为极限，记作,二元函数的极限的记号,二元函数的极限的数学定义(epsilon-delta),用数学语言将下面的语句严格化,例
5、2 求证,证,当 时，,原结论成立,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（4）二重极限的几何意义：, 0，P0 的去心 邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .,一元中,多元中,确定极限不存在的方法：,例3 设,例3 设,解,但取,其值随 k 的不同而变化。,不存在,故,例3 设,解 教材中解法,例4 求,解,二元函数的连续性,二元函数的连续性,则称函数 在点 处连续.,二元函数的连续性,定义3,函数在区域上的连续性,如果函数 f(x,y) 在其定义域 D 内的每一
6、点都连续，则称函数 f(x,y) 在 D 上连续. 直观上，区域D上的二元连续函数的图形是区域 D 上的一张无孔无缝的连续曲面,函数的间断和间断点,如果函数 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处不连续，就称函数在点 (x_0,y_0) 处间断，点(x_0, y_0) 称为间断点。,例如，,因此，,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,练习,Page 210 4补充练习：求极限：,二元函数概念、极限、连续,欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2004.12.23,
