1、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 1 - 2009 年普通高等等学校招生全国统一考试 (湖南 卷 ) 数学（理工农医类） 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 若 2log a 0， 1()2b 1，则 (D) A a 1,b 0 B a 1,b 0 C. 0 a 1, b 0 D. 0 a 1, b 0 2对于非 0 向时 a,b,“ a/b” 的确良 （ A） A充 分不必要条件 B. 必要不充分条件 C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3将函数 y=sinx 的图象
2、向左平移 ( 0 2 ) 的单位后，得到函数 y=sin ()6x 的图象，则 等于 （ D） A 6 B 56 C. 76 D.116 4如图 1，当参数 2 时，连续函数 ( 0)1 xyxx 的图像分别对应曲线 1C 和 2C , 则 B A 10 B 10 C 120 D 210 5.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 w. w. w. k. s.5.u.c.o.m C A 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知 D 是由不等式组 2030xyxy ，所确定的平面区域，则圆 224xy在区域 D 内 的
3、弧长为 B A 4 B 2 C 34 D32 7正方体 ABCD 1A 1B 1C 1D 的棱上到异面直线 AB， C 1C 的距离相等的点的个数为（ C） A 2 B 3 C. 4 D. 5 w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 2 - 8.设函数 ()y f x 在（ ， + ）内有定义。对于给定的正数 K，定义函数 ( ) , ( )(), ( )k f x f x Kfx K f x K 取函数 ()fx= 12 xe 。若对任意的 ( , )x ，恒有 ()kfx= ()fx，则 w. w. w. k.s.5.
4、u.co.m A K 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2 C K 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 【 D】 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 9某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动， 10 人喜爱兵乓球运动， 8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 _12_ 10在 32 3(1 ) (1 ) (1 )x x x 的展开式中， x 的系数为 _7_(用数字作答 ) 11、若 x (0, 2 )则 2tanx+tan(2 -x)的最小值为 2 2 . w. w. w.k.s.5
5、.u.c.o.m 12、已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 60 o ，则双曲线 C 的离心率为 62 13、一个总体分为 A， B 两层，其个体数之比为 4： 1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，已知 B 层 中甲、乙都被抽到的概率为 128 ，则总体中的个数数位 50 。 14、在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点， AB=6， BC=8， CA=10，则 w. w. w. k. s.5.u.c.o.m （ 1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ； （ 2）过， B 两点的大圆面为平面 ABC 所成二面角为（锐角）
6、的正切值为 3 15、将正 ABC 分割成 n 2 （ n 2， n N）个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了 n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2， f(3)= 103 ， ， f(n)= 16 (n+1)(n+2) 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 3 - 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 在 ABC ，已知 22 3 3A B A C A B A C B C ，求角 A， B， C 的大小。 解：设 ,BC a AC b AB c 由 23A B A C A B A C 得 2 cos 3bc A bc ，所以 3cos 2A 又 (0, ),A 因此 6A w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 由 233AB AC BC得 23bc a ，于是 2 3sin sin 3 sin 4C B A 所以 53sin sin ( )64CC ， 1 3 3s in ( c o s s in )2 2 4C C C ，因此 22 s
8、i n c o s 2 3 s i n 3 , s i n 2 3 c o s 2 0C C C C C ，既 sin(2 ) 03C 由 A= 6 知 50 6C ，所以 3 ， 42 33C ，从而 2 0,3C 或 2,3C ，既 ,6C 或 2 ,3C 故 2, , ,6 3 6A B C 或 2,6 3A B C 。 17.（本小题满分 12 分） 为拉 动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的 .12 、 13 、 16 ，现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 w. w. w. k. s.
9、5.u.c.o.m （ I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （ II）记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 4 - 解 :记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 1A , 1B , 1C ， i=1， 2， 3.由题意知 1A 23AA 相互独立， 1B 23BB相互独立， 1C 23CC 相互独立，1A , 1B , 1C （ i， j， k=1， 2， 3，且 i， j， k 互不相同）相互独立，且 P（ 1A ）
10、=， P（ 1B ） =13 ， P（ 1C ） =16 （ 1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！ P（ 1A 2B 3C ） =6P（ 1A ） P（ 2B ） P（ 3C ） =6 12 13 16 =16 (2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由己已知， -B（ 3， 13 ），且 =3 。 所以 P（ =0） =P（ =3） = 13C 31()3 = 127 ， P（ =1） =P（ =2） = 23C 31()3 2()3 = 29 w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m P（ =2） =P（ =1） = 13C 1(
11、)3 22()3 =49 P（ =3） =P（ =0） = 03C 32()3 = 827 故 的分布是 0 1 2 3 P 127 29 49 827 的数学期望 E =0 127 +1 29 +2 49 +3 827 =2 解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 1D ， i=1,2,3 ，由此已知， 1D D， 1D 相互独立，且 P（ 1D ） -（ 1A ， 1C ） = P（ 1A ） +P（ 1C ） =12 +16 =23 所以 - 2(3, )3B ,既 33 21( ) ( ) ( )33K K KP K C ， 0,1,2,3.k w. w.
12、w. k.s.5.u.c.o.m 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 5 - 故 的分布列是 0 1 2 3 p 127 29 49 827 18.（本小题满分 12 分） 如图 4，在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 2AB AA D 是 11AB 的中点，点 E 在 11AC 上，且 DE AE 。 （ I） 证明平面 ADE 平面 11ACCA （ II） 求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值。 w. w. w. k. s.5.u.c.o.m 解 （ I） 如图所示，由正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的性质知 1AA 平面 1 1 1AB
13、C 又 DE 平面 A1 B1 C1 ，所以 DE AA1 . 而 DE AE。 AA1 AE=A 所以 DE 平面 AC C1 A1 ，又 DE 平面 ADE，故平面 ADE 平面 AC C1 A1 。 （ 2） 解法 1 如图所 示，设 F 使 AB 的中点，连接 DF、 DC、 CF，由正三棱柱 ABC- A1 B1 C1 的性质及 D 是 A1 B 的中点知 A1 B C1 D， A1 B DF w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 又 C1 D DF=D，所以 A1 B 平面 C1 DF， 而 AB A1 B，所以 AB 平面 C1 DF，又 AB 平面 ABC，故 高考资源
14、网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 6 - 平面 AB C1 平面 C1 DF。 过点 D 做 DH 垂直 C1 F 于点 H，则 DH 平面 AB C1 。 w. w. w.k.s.5.u.c.o.m 连接 AH，则 HAD 是 AD 和平面 ABC1 所成的角。 由已知 AB= 2 A A1 ，不妨 设 A A1 = 2 ，则 AB=2， DF= 2 ， D C1 = 3 ， C1 F= 5 ， AD= 221 ADAA = 3 ， DH=FCDCDF1 1=5 32 530 ， 所以 sin HAD=ADDH= 510 。 即直线 AD 和平面 AB C1 所成角的
15、正弦值为 510 。 解法 2 如图所示，设 O 使 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A1 = 2 ，则 AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（ 3 ， 0， 0）， C1 （ 0， 1， 2 ）， D（ 23 ， -21 ， 2 ）。 易知 AB =( 3 ， 1， 0)， 1AC =(0， 2， 2 )， AD =( 23 ， -21 ， 2 ） w. w. w. k. s.5.u.c.o.m 设平面 ABC1 的法向量为 n=（ x， y， z） ,则有 ,022,031 zyACnyxABn 解得 x=- 33 y， z=- y2 ， 故
16、可取 n=(1， - 3 ， 6 )。 所以， cos (n AD )=ADnADn = 310 32 = 510 。 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 7 - 由此即知，直线 AD 和平面 AB C1 所成角的正弦值为510。 19.（本小题满分 13 分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 )xx 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费 用为 y 万元。 （）试写出
17、y 关于 x 的函数关系式； （）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 解 （）设需要新建 n 个桥墩， ( 1) 1mn x m x ， 即 n= 所以 ( 2 )mmx x xxx y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x=256( -1)+ 256 2 2 5 6 .x m x mx （） 由（）知，2332222 5 6 1( ) ( 5 1 2 ) .22mmf x m x xxx 令 ( ) 0fx ，得 32 512x ，所以 x =64 当 00. ()fx在区间（ 64， 640）内为增函数， 所以 ()fx在 x =64 处取得最小值，此时， 6
18、401 1 9.64mn x 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 20（本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（ 3， 0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d，当 P 点运动时， d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 w.w.w. k. s.5.u.c.o.m （）求点 P 的轨迹 C； （）设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M， N 两点，求线段 MN 长度的最大值。 解（）设点 P 的坐标为（ x， y），则 224 ( 3)d x y 3 x-2 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网
19、- 8 - 由题设 当 x2 时，由得 22 1( 3) 6 ,2x y x 化简得 221.36 27xy 当 2x 时 由得 22(3 ) 3 ,x y x 化简得 2 12yx 故点 P 的轨迹 C是椭圆 221 :136 27xyC 在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 22 : 12C y x 在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线，参见图 1 （ ）如图 2 所示， 易知直线 x=2 与 1C ， 2C 的交点都是 A（ 2， 26）， B（ 2， 26 ），直线 AF， BF 的斜率分别为 AFk = 26 ， BFk =26. 当点 P 在 1C
20、上时，由知 16 2PF x . 当点 P 在 2C 上时，由知 w. w. w.k.s.5.u.c.o.m 3PF x 若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 ( 3)y k x （ i）当 k AFk ，或 k BFk ，即 k -2 6 时，直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M（ 1x ， 1y ）， N（2x，2y）都在 C 1 上，此时由 知 MF = 6 - 12 1x NF = 6 - 122xw. w. w. k.s.5.u.c.o.m 从而 MN = MF + NF = （ 6 - 12 1x ） + （ 6 - 122x） =12 - 12 ( 1x +2x)
21、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 9 - 由 22( 3)136 27y k xxy 得 2 2 2 2( 3 4 ) 2 4 3 6 1 0 8 0k x k x k 则 1x ， 1y 是这个方程的两根，所以 1x +2x= 222434kk* MN =12 - 12 （ 1x +2x） =12 - 221234kk因为当 22 6 , 6 , 2 4 ,kk 或 k2 时 2221 2 1 2 1 0 01 2 1 2 .13 4 1 14kMNk k w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 当且仅当 26k 时，等号成立。 （ 2）当 , 2 6
22、2 6AE ANk k k k 时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 分别在 12,CC上，不妨设点 M 在 1C 上，点 2C 上，则 知，1216 , 32M F x N F x 设直线 AF 与椭圆 1C 的另一交点为 E 0 0 0 1 2( , ), , 2 .x y x x x则 1 0 2116 6 , 3 3 222M F x x E F N F x A F 所以 M N M F NF E F A F A E 。而点 A， E 都在 1C 上，且 2 6,AEk 有（ 1）知 1 0 0 1 0 0,1 1 1 1A
23、 E M N所 以 w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 若直线 的斜率不存在，则 1x = 2x =3，此时 121 1 0 01 2 ( ) 92 1 1M N x x 综上所述，线段 MN 长度的最大值为 10011 21.（本小题满分 13 分） 对于数列 nu 若存在常数 M 0,对任意的 nN ，恒有 1 1 2 1.n n n nu u u u u u M w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 则称数列 nu 为 B-数列 （ 1） 首项为 1，公比为 ( 1)qq 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由 ; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组
24、成一个命题 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 10 - 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （ 2） 设 nS 是数列 nx 的前 n 项和，给出下列两组论断； A 组： 数列 nx 是 B-数列 数列 nx 不是 B-数列 B 组： 数列 nS 是 B-数列 数列 nS 不是 B-数列 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （ 3） 若数列 ,nnab都是 B 数列，证明：数列 nnab 也是 B 数列。 解（ 1）设满足题设的等比数列为 na ,则 1nnaq ，于是 2121 1 ,
25、 2nnnnna a q q q q n 因此 1na - na + na - 1na + + 2a -1a = 211 (1 . ).nq q q q 因为 1,q 所以 21 1 11 . ,11nn qq q qqq 即 w. w. w. k.s.5.u.co.m 1 1 2 1 1. 1n n n n qa a a a a a q 故首项为 1，公比为 q ( 1)q 的等比数列是 B-数列。 （ 2）命题 1：若数列 nx 是 B-数列，则数列 nS 是 B-数列 次命题为假命题。 事实上，设 1,nx n N，易知数列 nx 是 B-数列，但 nSn 1 1 2 1.n n n nS S S S S S n 由 n 的任意性知，数列 nS 是 B-数列此命题为。 命题 2：若数列 nS 是 B-数列，则数列 nx 是 B-数列 此命题为真命题 事实上，因为数列 nS 是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的 1,n 有 1 1 2 1.n n n nS S S S S S M w. w. w. k.s.5.u.c.o.m
