1、第3章 复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念和性质3.2 柯西积分定理及其应用3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 3.4 解析函数与调和函数的关系,复习、引入,3.1 复变函数积分的概念和性质,一、 定义-化整为零,取零为整,设在复平面C上有一条连接 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。,把曲线C用分点 分成n个更小的弧，在这里分点 在曲线C上,按从 到Z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一点，那么下列和式的极限(对任意分法和 的取法都存在且相同),记,与实函数中第二型线积分类
2、比,C的参数方程,线积分,复积分,一个复积分的实质是两个实二型线积分,二、积分存在的条件及其计算方法,1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。,3)化为参变量的定积分来计算。,2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。,例1 计算 其中 为以 为圆心， 为半径的正向圆周, 为整数.,三、积分的性质,例2 计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。,解 :,例3 计算 的值，其中 为沿 从（0，0）到（1，1）的线段：,解 :,例4 计算 其中 为从原点到点 的直线段。,解 直线的方程可写成,练习:对例4中的积分沿下列路径计算 (1) 当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到点(3,4)的折线; (2) 当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢?,观察例3、例4两个线积分的结果，分析两种被积函数的特征，你会得出怎样的结论？,
