1、 江苏科技大学 本 科 毕 业 设 计（论文） 变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子 Variational iteration method for solving one-dimensional linear harmonic oscillator in a constant electric field 学 院 数理学院 专 业 应用物理专业 学生姓名 班级学号 指导教师 毕业设计（论文）任务书 学院名称： 数理学院 专 业： 应用物理学 学生姓名： 学 号： 指导教师： 职 称： 教 授 毕业设计（论文 ）题目： 变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子 一、 毕业设计（论文）内容及要
2、求（包括原始数据、技术要求、达到的指标和应做的实验等） (1) 调研变分迭代法用于解非线性微分方程内外研究进展，总结该法解方程步骤、特点，用变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子问题。 (2) 给出问题解的数学表达式，并与微扰法结果比较。 二、 完成后应交的作业（包括各种说明书、图纸等） 1. 毕业论文一份 2. 外文译文一篇 3.开题报告 4.中期检查表 三、 完成日期及进度 至 2015 年 6 月 14 日，共 16 周。 进度安排： 1-4 周，查阅资料、调研，完成开题报告； 5-12 周，完成课题有关公式推导、程序编写、计算机绘图、论文写作初稿。其中第 8 周其中检查。 12 周 -
3、14 周，初稿查重、上传毕业设计系统； 15-16 周，定稿、评阅、答辩。 四、主要参考资料（包括书刊名称、出版年月等） : 1. Jihua He. A new approach to nonlinear partial differential equation. Communications in Nonlinear Science one-dimensional linear harmonic oscillator; Schrdinger equation 江苏科技大学本科毕业设计 （ 论文 ） III 目 录 第 一 章 绪论 . 1 1.1 引言 . 1 1.2 课题背景 . 2
4、1.2.1 国 外发展 . 2 1.2.2 国内发展 . 3 1.3 论文研究的目的与意义 . 4 1.4 论文主要内容 . 4 第 二 章 理论基础 . 5 2.1 泛函和变分 . 5 2.1.1 引言 . 5 2.1.2 泛函 . 7 2.1.3 自变函数的变分 . 8 2.1.4 泛函的变分 . 9 2.1.5 泛函变分的性质 . 11 2.1.6 各种泛函的变分 . 12 2.2 迭代法 . 14 2.2.1 迭代法与不动点定理 . 14 2.2.2 迭代格式的构造 . 16 2.2.3 迭代法的收敛性与收敛阶 . 17 第 三 章 恒定电场中一维线性谐振子 . 20 结 论 . 26
5、 致 谢 . 27 参考文献 . 28 附 录 . 30 江苏科技大学本科毕业设计 （ 论文 ） 1 第 一 章 绪论 1.1 引言 在 自然界中有很多现象与简谐振动有关，任何系统在某个平衡位置附近的小振动，例如晶格振动、分子振动、辐射场的振动以及原子核表面振动等一般都是能分解成若干个相互独立的一维简谐振动。简谐振动往往还可以作为一些复杂运动的初步近似，所以对简谐振动的研究，无论在单纯的理论上还是在某些应用上都是很重要的。 举一个很简单的例子，在双原子分子中，两个原子之间的势 V 是关于二者相对距离 x的函数。如图 (1-1)，当 x = a 时， V 取到一极小值 V0 。我们可以把 x =
6、 a 附近的势展开成泰勒级数： 222 )(!21)(!11)()( axxVaxxVaVxVaxax 2220 )(!21 axxVVax 20 )(21 axkV 图 1-1 势 V 与距离 x 的函数图像 然后把坐标原点换成 (a, V0)，我们就可以得到标准谐振子势： 江苏科技大学本科毕业设计 （ 论文 ） 2 221)( kxxV 由此可见，在某些相当复杂的势场下，粒子的运动通 常被近似的描述为线性谐振动。 经典力学中，一维谐振子的哈密顿 2为 22 2212 2 2ppH V m xmm 上式用相应算符代入，得 22 222 1 dH m xm d x 它是一维谐振子的哈密顿算符，
7、是能量算符。 而本文讨论的恒定电场中，其体系的哈密顿算符为 xqxmm d xdH 22222 212 可以设 xm ,带入本征 值方程 EH ,可得体系的薛定谔方程 3 022222 Emqdd本论文的主要内容就是通过变分迭代法 4解上式的薛定谔方程。 1.2 课题背景 1.2.1 国外发展 变分迭代法在国外有很多研究及应用。通过查阅资料得知的研究如下： 1982年，J.S.Pang、 D.Chan（工业管理研究生院，卡内基梅隆大学）研究了求解变分不等式和非线性互补问题的各种迭代法 ， 这种方法具有 局部收敛性和全局收敛性 5。其中包括的方法 有 牛顿和 几个连续超松弛算法。 其中重点 研究
8、 的 是线性近似方法系列。 1985年， Jong-Shi Pang（管理学院，德克萨斯大学） 研究 了非对称变分不等式问题在产品江苏科技大学本科毕业设计 （ 论文 ） 3 组合：应用及迭代方法 6。其中 描述了几个平衡问题可以统一建模的一个有限维的非对称变分不等式定义， 并 探讨求解变分不等式问题的各种迭代方法的局部收敛性和全局收敛性。由于特殊的笛卡儿乘积结构，这些迭代方法将原变分不等式问题转化为在较低维度的一系列简单的变分不等式问题。 2001年， M.A. Noor发表了关于广义变分不等式的迭代方法的论文 7。 2008年， Muhammad Aslam Noor, Khalida In
9、ayat Noor（巴基斯坦信息技术学院）研究了关于 在 L p 空间包含三步迭代方法的一般变分 8。其 中，广义变分包含 了不动 点的问题。 可以 使用这种等价性讨论在 L p空间变分包含的存在。采用更新的技术解决方案，我们提出了一些解决一般变分 的方法， 包含三步迭代方法。 2009年， Malik Mamode（物理系，建筑物理与系统实验室，留尼旺岛，法国大学）发表了变分迭代法和初始值问题的文章 9。他提出了拉格朗日乘数的分布特征，这可以被解释为缓速格林函数。这种 提法使可能的迭代公式为 Picard迭代方案进行简化，有利于收敛性分析。 2011年， Muhammad Aslam Noo
10、r（数学系，信息技术，公园路，伊斯兰堡，巴基斯坦 COMSATS研究所）发表了对于一般的非凸变分不等式的一类迭代方法的论文 10。在本文中，他提出三步迭代方法，并成功解决了广义非凸变分不等式。 2014年， I. B. Badriev, V. V. Banderov（ 喀山（伏尔加地区）联邦大学 ）发表了关于为解决软壳理论的变分不等式的迭代方法的论文 11。其是对在巴拿赫空间中单调型算子的变分不 等式问题的迭代法的收敛性研究。 1.2.2 国内发展 国内对变分迭代法的研究也有很多。例如： 2004 年，谢长珍（汕头大学）将变分迭代法运用到求解微扰问题 12。之前都是用 微扰法 解 微扰问题 ，这种方法本身有很大 的局限性。本文把变分法和迭代法 相 结合 ,成功 解决了微扰法 所 不能解决的问 题。2005 年，莫嘉琪和林万涛（安徽师范大学）在物理学报上发表了关于厄尔尼诺大气物理机理的变分迭代解法的论文。他们利用变分迭代法解得到了近似展开式。并通过与特殊情形下所得精确解的比较 ,证明了一次近似解在精确度上是完全符合的。2011 年，徐宇锋（中南大学）将变分迭代法运用到求解分数阶自治常微分方程中 13。 他将变分迭代法应用到解该方程组的初值问题 ,并求出极限形式的解。 2013 年，魏博关（哈尔滨工业大学）发表了解变分不等式问题的一种迭代方法得论文。他 提出了广
