1、 一、二阶常系数线性差分方程的应用 张芳平 指导老师 魏平 摘要 本文介绍一、二阶差分方程的基本概念、解的几种应用以及这些解在计算几种特殊行列式的值和概率论中的应用 . 关键词 差分方程 特征值 特征方程 行列式 全概率公式 1.差分方程的概念 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程 . 由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程 .差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数 .或者说，差分方程中未知函数下 标的最大差数，称为差分方程的阶数 . n 阶差分方程的一般形式可表示为 0),( 2
2、 tnttt yyyyt ， （ 1） 或 0),( 1 nttt yyytF ， （ 2） 由于经常遇到是形如（ 2）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（ 2）式的差分方程 . 若把一个函数 )(tyt 代入差分方程中，使其成为恒等式，则称 )(tyt 为差分方程的解 .含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解 .用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件 .当 1t 时， 称为一阶差分方程，当 2t 时，称为二阶差分方程 1.1 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 )(1 tfayy tt （ 3） 其中
3、常数 0a ， )(tf 为 t 的已知函数，当 )(tf 不恒为零时，（ 3）称为一阶非齐次差分方程；当 0)( tf 时，差分方程 01 tt ayy . (4) 称为齐次线性差分方程 齐次差分方程的通解形式为 tt aCy )( （ C 为任意常数） . 非齐次差分方程的通解形式： baCy tt )( （ C ， b 为任意常数） . （ 5） 下面仅就函数 )(tf 为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程（ 5）的特解 .根据 )(tf 的形式，按 下表 确定特解的形式，比较方程两端 的系数，可得到特解)(*ty . )(tf 的形式 特征根的判断 特解的形式 通解的形式 )
4、()( tptf mt ( )(tQm 为与 )(tPm 次数相同的多项式 ) 不是特征根 ()t mQt ( ) ( )ttmC a A Q t A 、 C 为待定系数 是特征根 ()t mtQ t ( ) ( )ttmC a A tQ t A 、 C 为待定 常 数 ( ) ( c o s s i n )tf t a t b t 令 (c o s s in )t t i t 不是特征根 ( c o s sin )t A t B t ( ) ( c o s s i n )ttC a A A t B t A 、 C 为待定常数 是特征根 ( c o s s in )tt A t B t ( )
5、 ( c o s s in )ttC a A t A t B t A 、 C 为待定常数 1.2 二阶常系数线性差分方程 标准形式 齐次 : 012 ttt byayy , （ 6） 非齐次： )(12 tfbyayy ttt . （ 7） 定理 1 若函数 )(1ty ， )(2ty 是二阶齐次线性差分方程（ 6）的线性无关特解，则)()()( 2211 tyCtyCty C 是该方程的通解，其中 1C 、 2C 是任意常数 . 定理 2 若 )(*ty 是二阶非齐次线性差分方程（ 6）的一个特解， )(tyC 是齐次线性差分方程（ 7）的通解，则差分方程 （ 6）的通解为 )()( * t
6、ytyy Ct . 1.3 解的形式 1.3.1 二阶常系数 齐次 二阶常系数齐次差分方程（ 5） 的解与其特征方程 2 0ab 根的判别式2 4ab 的符号有关 . a) 当 2 40ab时， 差分 方程 （ 5） 有两特解 tttty tytyty )()( )(,)(,)( 2112211 常数，它 的通解是 1 1 2 2() ttcy t C C； b) 当 2 40ab时，有两个相同的特征根， a2121 ， 差分 方程（ 5） 有特解tt attyaty )21()(,)21()( 21 ， 它 的通解是 tc atCCty )21)()( 21 c) 当 2 40ab时，特征方
7、程有两个共轭复特征根 i ， 差分方程（ 5） 有两特解 2221 ,s i n)(,c o s)( brtrtytrty tt ， 由 241ta n aba 确定 ),0( ，它 的通解是)s i nc o s()( 21 tCtCrty tc ， 非齐次 二阶常系数非齐次差分方程（ 6） 的解 类似一阶常系数线性差分方程，如下表 )(tf 的形式 特征根的判断 特解的形式 )()( tptf mt ( )(tQm 为与 )(tPm 次数相同的多项式 ) 不是特征根 ()t mQt 是单特征根 ()t mtQ t 是二重特征根 2 ()t mt Q t ( ) ( c o s s i n
8、)tf t a t b t 令 (c o s s in )t t i t 不是特征根 ( c o s sin )t A t B t 是单特征根 ( c o s s in )tt A t B t 是二重特征根 2 ( c o s s in )tt A t B t 2、 差分方程 在行列式方面的应用 （ 1） 形如()na b b b a b b b b bc a b b c a b bD c c a b c c a bc c c a c c c a 000a b b b b b b b ba b b c a b bc a b c c a bc c a c c c a111 1 1 1 0 000
9、( ) ( ) 0 0 00 0 0nna c b ac a b b a c b aa b D b a b D bc c a b a cc c c a a c 11( ) ( ) nna b D b a c 由 11 )()( nnn cabDbaD 知 1 ( ) ( ) nnnD a b D b a c 上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程差分方程对应的特征方程为0)( ba 解得，齐次方程通解为 nnn caAbbaCD )()( 又 由bcaDxD 21 , 知 22( ) ( )( ) ( )a C a b A b a ca b c C a b A b a c 解得 1AbccCb
10、c 故 cb baccabD nnn )()( （ 2） acbacacbacbaD n00000000000000000021 nn bcDaD 特征方程 02 bca a) 当 042 bca 时，方程有两特解 2 4,2 4 22 bcaabcaa ，通解为nnn bcaaCbcaaCD )2 4()2 4( 2221 由 bcaDaD 221 , ，得 2212222 2 21244( ) ( )44( ) ( )a a b c a a b ca C Ca a b c a a b ca b c C C 解得 11 22 4nCa a bc 12 22 4nCa a bc 所以 2 1
11、2 112( 4 ) ( 4 )24nnnna a bc a a bcD a bc b) 当 042 bca 时，即 2 42 4 22 bcaabcaa ，得 bca 42 ，故 通解为 12 1( )( )2 nnD C C n a 由 bcaDaD 221 , ，得 1222121( ) ( )21( 2 ) ( )2a C C aa bc C C a 解得 1,1 21 CC ,代入得 (1 )( )2 nn aDn c) 当 042 bca 时， （ 3） 计算 n 阶行列式 nab cab a cD ab acab a解 :将上式第一列先提 b 再按第一行展开得 1 nnn bcD
12、baD 故其通解为 1)( nnn AbabcBD ，由 a b cbaDabD 221 , 得 22 2 3()()a b B b c A b aa b a b c B b c A b a 解得)( bcaa cbcaA ， bca aB 代入其通解中，得 ( ) ( )nnn a b c c b a a b cD a b c 以上行列式如果改成如下形式，也可根据差分方程的解得出结果 111nacacD aca化简可得 1 nn bDaD ， 故其通解为 nnn AabBD )( 又由 aD1 ， abaD 2 ，得 22a Bb Aaa ab Bb Aa 解得 baA 1 ， )( )1(
13、 bab baaB ， 将其代入通解得 1(1 ) 1( 1 ) n n nn a a bD b aa b a b (4) aabaabaabaD n 上式按第一行展开得 1 nnn bDaD ,即 nnn abDD 1 故 11 nnn abDD a) 当 ba 时，其通解为 1 nnn AaCbD ，又由 aD1 ， abaD 22 知 3222AaCbaba AaCba解得abaC baA 1 代入通解中得 ba baaD nnn )( b) 当 ba 时，有 nnn aaDD 1 ，其通解表达式为 nn aAnaCD )( ，由 aD 1 ，abaD 22 知 22 )( )( aAa
14、Caba aAaCa解得01C aA 代入通解表达式中得 nn naD 当上面行列式中 1ba 时，上式可化为 1111111111111nD按第一行展开得 11 nn DD ， 其通解表达式为 AnCDn ，由 2,1 21 DD 可知 AC AC 221解得 01CA故 nDn 3、差分方程在概率中的应用 利用差分方程解决概率问题，首先要对所解决的问题建立差分方程，然后再求它的解，在概率问题中建立差分方程有两种方法，一种是建立递推关系，另一种是利用全概率公式，有时这两种方法交替使用可使计算过程更加简洁 . 3.1 全概率公式 设 ),2,1( niBi 为 的一个划分，且 .,2,1,0)
15、( niBP i 则对任一事件 A 有)()()( 1 ini i BAPBPAP 3.2 实际应用 3.2.1 一阶差分方程的应用 例 1 甲袋中有 9 只白球和 1 只黑球，乙袋中有 10 只白球，每次从甲乙两袋中随机 各取一球交换放入另一袋中，这样做了四次，求黑球出现在甲袋中的概率 . 解 设 iA 表示“第 i 次交换后黑球出现在甲袋中”，则 iA 表示“第 i 次交换后黑球出现在乙袋中”， .4,3,2,1i 利用递推关系，可得到以下差分方程 1.08.0)1(1.09.0 111 iiii PPPP （ 8） 则（ 8）式的通解为 5.0)8.0( Ii CP （ 9） 又 9.0
16、1P 代入（ 9）式得 C=0.5 因此（ 1）式的解为 5.08.05.0 iP 82.02 P , 7536.03 P , 7048.04 P . 例 2 在 n 重伯努利试验中，“成功” 事件发生的概率为 P,证 nA 为 n 次试验中“成功”偶数次的事件，求 )( nAP . 解 ： n 次试验中“成功”出现偶数次，等价于第一次试验“失败”，随后 1n 次中出现偶数次“成功”，或者第一次试验出现“成功”，随后 1n 次中出现奇数次“成功”，其概率可以表示为 )(1)()( 11 nnn APPAqPAP 即 PAPqAP nn )()21()( 1 (10) 其中 1,1)( 0 qp
17、AP （ 10）式中的通解为 21)12()( nn qCAP又由 1)( 0 AP 得 21A 故 )(12121)12(21)( nnn pqqAP （ 11） 而如果按概率中 通常 的计算方法，则其表达式为 44422200)( nnnnnnn qpCqpCqpCAP (12) 从（ 11）式可以看出结果比（ 12）式简洁的多，因此，差分方程在计算概率问题是可以简化结果 . 例 3 r 个人相互传球，从甲开始。设在每次传球过程中传球者等可能的传给其余 1r 个人，求第 n 次由甲传出的概率。 解 设 nA “第 n 次由甲传出” ，记 ,2,1),( nAPP nn 且 2,11 nP
18、.由题意可得， )|()()|()( 1111 nnnnnnn AAPAPAAPAPP 又 0)|( 1 nn AAP ， 11)|(1 rAAP nn，所以 111111)(1( 11 rPrrAPP nnn （ 13） 将 （ 1）式化 得 111 1 1 rPrP nn . 即 111 11 rPrP nn。 其同解为 11)1 1( 21 rCrCP nn 由 0,1 21 PP 知 .1,)1( 221 rrCrrC 代入 上 式得 .)1( 111 2 nn rrP 3.2.2 二 阶差分方程的应用 例 4 投掷均匀硬币直至第一次接连出现两个正面为止，求这时共投掷了 n 次的概率？
19、 解 设 nA “投掷第 n 次时首次接连出现两个正面”，记 ()nnP P A ； 1B “第一次出现反面”， 2B “第一次出现正面，第二次出现反面”。 12BB ，但 12nA B B ，有全概率公式得 : 1 1 2 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) n n n nP P A P B P A B P B P A B. 1 1()2PB,2 1()4PB由事件的独立性可知： 1 1 1 1( | ) ( ) n n nP A B P A P， 2 2 2( | ) ( ) n n nP A B P A P。 所以 121124n n nP P P。 其中1210, 4PP
20、. 上式的特征方程为 2 11024 。 特征值为 121 5 1 5,44。 由引理 2 得 121 5 1 544 nnnP C C. 又因为1210, 4PP。所以可得方程组 1222121 5 1 5 0441 5 1 5 14 4 4 CCCC。 解方程得 125 5 5 5,1 0 1 0CC。 所以 5 5 1 5 5 5 1 51 0 4 1 0 4 nnnP。 1朱晓峰 ,姜玉英 .差分方程在概率中的应用 J.北京应印刷学院 学报 ,2006 2陈旭东 . 非齐次差分 方程 解一类行列式 J.科技信息 ,2007.6. 3耿悦敏 .差分方程解概率中的应用 应用 J.广 东职业技术 学院学 报 ,2003. 4孙福杰 . 差分方程解概率计算中的应用 J,无锡教育学院 学报 ,2005.10
