1、向量值函數的微分與積分Differentiation and Integration of Vector-Valued Functions,Copyright Cengage Learning. All rights reserved.,12.2,向量值函數的微分向量值函數的積分,目的,向量值函數的微分Differentiation of Vector-Valued Functions,向量值函數的微分,向量值函數的微分定義與實數函數的定義極為相似。定義: 向量值函數的微分對所有 t極限都存在。如果 存在，那麼r在 t 點可微分。如果 對於開區間 I 所有的 t， 都存在，那麼r在開區間 I
2、可微分。,向量值函數的微分,向量值函數的微分可以拆成對各分量函數的微分。考慮有一個函數 r(t) = f(t)i + g(t)j。,向量值函數的微分,藉由微分的定義，可以得到這個重要的結果會寫成定理12.1。,注意向量值函數r的微分後，還是一個向量函數。從右圖，你可以看出 r(t) 是曲線r(t)的切線向量。,向量值函數的微分,向量值函數的微分,定理12.1: 向量值函數的微分1. 如果 且 f 和g是依賴 t 的可微分函數，則2. 如果 且 f 、g、h 是依賴 t 的可微分函數，則,例題1-向量值函數的微分,給予一個向量值函數 r(t) = t i + (t2 + 2)j，求出它的微分並畫
3、出能r(t) 、 r(1) 、 r(1) 。解:對分量函數微分得到 r(t) = i + 2t j。Derivative從位置向量r(t) ，你可以寫出參數方程式 x = t 、 y = t2 + 2。接著就得到矩形方程式 y = x2 + 2。令t = 1代入，r(1) = i + 3j 和 r(1) = i + 2j。,例題1-解,在下圖 r(1) 的起點在原點，而r(1) 從r(1)的終點開始畫起。,contd,向量值函數的微分,向量值函數的高次微分可以藉由對各分量函數作相同次數的微分而求得。例如,向量值函數的微分,如果 f 、 g、h 在區間 連續且r 0，則向量值函數 r(t) =
4、f(t)i + g(t)j + h(t)k 代表的曲線在開放區間 是平滑的(smooth on an open interval ) 。,例題三-在平滑的曲線找到區間,令 r(t) = (5cos t cos 5t)i + (5sin t sin 5t)j, 0 t 2，求這條外擺線C是平滑的區間。解:對r(t)微分， 得到 r(t) = (5sin t + 5sin 5t)i + (5cos t 5cos 5t)j。在區間0, 2會使得r(t) = 0i + 0j的地方是 t = 0、2、32與 2。,例題3-解,因此你得到C在 是平滑的。如下圖:注意曲線上不平滑的點叫作尖點(cusps)或
5、叉點(nodes),contd,向量值函數的微分,定理12.2: 微分的性質設r和u是可微分的向量值函數，w為可微分的實數值函數，且c為常數。,例題4-使用微分的性質,給定兩個向量值函數 求a. Dtr(t) . u(t)b. Dtu(t) u (t).,例題四-解,因為 且 u(t) = 2t i 2j 所以我們有,例題四-解,因為 u(t) = 2ti 2j 跟 u(t) = 2i，我們可以得到,contd,向量值函數的積分Integration of Vector-Valued Functions,向量值函數的積分,以下的向量值函數的積分定義是由微分的結果推衍出來的。定義:如果 且 f、
6、g在區間a,b連續，則r(t)的積分為 定積分為 如果 且 f、g、h在區間a,b連續，則r(t)的積分為 定積分為,一個向量值函數的反微分是一組僅差一個向量常數的向量函數。舉個例子，如果r(t)是一個三維向量值函數，而r(t) dt 會包含3個積分常數其中 F(t) = f(t) 、 G(t) = g(t) 、H(t) = h(t) 。,向量值函數的積分,這三個純量產生了一個積分向量常數 r(t) dt = F(t) + C1i + G(t) + C2j + H(t) + C3k = F(t)i + G(t)j + H(t)k + C1i + C2 j + C3k = R(t) + C而 R(t) = r(t) 。,向量值函數的積分,例題五-向量值函數的積分,計算(t i + 3j) dt.解:,
