2009年高考数学试题分类详解数列.DOC

1、 - 1 - 2009 年高考数学试题分类 详解 数列 一、选择题 1.(2009 年广东卷 文 )已知等比数列 na 的公比为正数，且 3a 9a =2 25a ， 2a =1，则 1a = A. 21 B. 22 C. 2 D.2 【答案】 B 【解析】设公比为 q ,由已知得 22 8 41 1 12a q a q a q,即 2 2 ,又因为等比数列 na 的公比为正数，所以 2q ,故 21 1222aa q ,选 B 2.（ 20 09 广东卷 理 ） 已知等比数列 na 满足 0, 1, 2,nan ，且 25 2 5 2 ( 3)nna a n ，则当 1n 时， 2 1 2

2、3 2 2 1l o g l o g l o g na a a A. (2 1)nn B. 2( 1)n C. 2n D. 2( 1)n 【解析】由 25 2 5 2 ( 3)nna a n 得 nna 22 2 ， 0na ，则 nna 2 ， 3212 lo glo g aa 2122 )12(31lo g nna n ，选 C. 3.（ 2009 安徽卷文） 已知 为等差数列， ，则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】 1 3 5 105a a a 即 33 105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 432d a a 20 4 ( 2 0 4 ) 1a a d

3、 .选 B。 【答案】 B 4.（ 2009 江西卷文） 公差不为零的等差数列 na 的前 n 项和为 nS .若 4a 是 37aa与 的等比中项 , 8 32S ,则 10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 答案： C 【解析】 由 24 3 7a aa 得 21 1 1( 3 ) ( 2 ) ( 6 )a d a d a d 得 1 3 0ad , 再由81 568 322S a d 得 12 7 8ad则 12, 3da , 所以1 0 1901 0 6 02S a d ,.故选 C 5.（ 2009 湖南卷文）设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和 ，已知

4、2 3a ， 6 11a ，则 7S 等于【 C 】 - 2 - A 13 B 35 C 49 D 63 解 : 1 7 2 67 7 ( ) 7 ( ) 7 ( 3 1 1 ) 49.2 2 2a a a aS 故选 C. 或由 21 1613 15 11 2a a d aa a d d , 7 1 6 2 13.a 所以 177 7 ( ) 7 (1 1 3 ) 49.22aaS 故选 C. 6.（ 2009 福建卷理） 等差数列 na 的前 n 项和为nS，且 3S =6， 1a =4， 则公差 d 等于 A 1 B 53 C.- 2 D 3 【答案】： C 解析 3 1 336 ( )

5、2S a a 且 3 1 12 = 4 d = 2a a d a .故选 C 7.（ 2009 辽宁卷文） 已知 na 为等差数列，且 7a 24a 1, 3a 0,则公差 d （ A） 2 （ B） 12 （ C） 12 （ D） 2 【解析】 a7 2a4 a3 4d 2(a3 d) 2d 1 d 12 【答案】 B 8.（ 2009 辽宁卷理） 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 63SS =3 ，则 69SS = （ A） 2 （ B） 73 （ C） 83 （ D） 3 【解析】设公比为 q ,则 36333(1 )S q SSS 1 q3 3 q3 2 于是636931

6、 1 2 4 71 1 2 3S qqSq 【答案】 B 9.（ 2009 宁夏海南卷理） 等比数列 na 的前 n 项和为 ns ，且 41a ， 2 2a ， 3a 成等差数列。若1a =1，则 4s = （ A） 7 （ B） 8 （ 3） 15 （ 4） 16 解析： 4 1a ， 2 2a ， 3a 成等差数列，221 3 2 1 1 1 44 4 , 4 4 , 4 4 0 , 2 1 5a a a a a q a q q q q 即 ， S,选 C. - 3 - 10.（ 2009 四川卷文） 等差数列 na 的公差不为零，首项 1a 1， 2a 是 1a 和 5a 的等比中项，

7、则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】 B 【解析】 设公差为 d ，则 )41(1)1( 2 dd . d 0，解得 d 2， 10S 100 11.（ 2009 湖北卷文） 设 ,Rx 记不超过 x 的最大整数为 x ,令 x = x -x ，则 215 ， 215 , 215 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】 B 【解析】可分别求得 5 1 5 122， 51 12 .则等比数列性质易得三者构成等比数列 . 12.（ 2009 湖北卷文）

8、 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数 ;类似地，称图 2 中的 1， 4， 9， 16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】 C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 ( 1)2n nan，同理可得正方形数构成的数列通项 2nbn ，则由 2nbn ()nN 可排除 A、 D，又由 ( 1)2n nan知 na 必为奇数，故选C. - 4 - 13.（ 2009 宁夏海南卷文） 等差数列 na

9、的前 n 项和为 nS ，已知 211 0m m ma a a ，2138mS ,则 m （ A） 38 （ B） 20 （ C） 10 （ D） 9 【答案】 C 【解析】因为 na 是等差数列，所以， 112m m ma a a，由 211 0m m ma a a ，得： 2 ma 2ma 0，所以， ma 2，又 2138mS ，即 2 )(12( 121 maam 38，即（ 2m 1） 2 38，解得 m 10，故选 .C。 14.（ 2009 重庆卷文） 设 na 是公差不为 0 的等差数列， 1 2a 且 1 3 6,a a a 成等比数列，则 na的前 n 项和 nS =（ ）

10、 A 2 744nn B 2 533nn C 2 324nn D 2nn 【答案】 A 解析设数列 na 的公差为 d ，则根据题意得 ( 2 2 ) 2 2 ( 2 5 )dd ，解得 12d 或 0d（舍去），所以数列 na 的前 n 项和 2( 1 ) 1 72 2 2 4 4n n n n nSn 15.（ 2009 安徽卷理） 已知 na 为等差数列， 1a + 3a + 5a =105， 2 4 6aaa =99，以 nS 表示 na的前 n 项和，则使得 nS 达到最大值的 n 是 （ A） 21 （ B） 20 （ C） 19 （ D） 18 解析 ：由 1a + 3a + 5

11、a =105 得 33 105,a 即 3 35a ，由 2 4 6aaa =99 得 43 99a 即4 33a ， 2d ， 4 ( 4 ) ( 2 ) 4 1 2na a n n ，由100nnaa 得 20n ，选 B 16.（ 2009 江西卷理）数列 na 的通项 2 2 2( c o s s in )33n nnan ，其前 n 项和为 nS ，则 30S为 A 470 B 490 C 495 D 510 答案： A 【解析】 由于 22cos sin 33nn 以 3 为周期 ,故 2 2 2 2 2 22 2 230 1 2 4 5 2 8 2 9( 3 ) ( 6 ) (

12、3 0 )2 2 2S - 5 - 221 0 1 0211( 3 2 ) ( 3 1 ) 5 9 1 0 1 1 ( 3 ) 9 2 5 4 7 02 2 2kkkk kk 故选 A 17.（ 2009 四川卷 文） 等差数列 na 的公差不为零，首项 1a 1， 2a 是 1a 和 5a 的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】 B 【解析】 设公差为 d ，则 )41(1)1( 2 dd . d 0，解得 d 2， 10S 100 二、填空题 1. （ 2009 全 国 卷 理 ） 设 等 差 数 列 na 的前 n 项和为

13、nS ，若 9 72S , 则2 4 9aaa= 。 解 : na 是等差数列 ,由 9 72S ,得 59 9 ,S a 5 8a 2 4 9 2 9 4 5 6 4 5( ) ( ) 3 2 4a a a a a a a a a a . 2.（ 2009 浙江理） 设等比数列 na 的公比 12q ，前 n 项和 为 nS ，则 44Sa 答案： 15 【解析】对于 4 43144 4 1 34( 1 ) 1, , 1 51 ( 1 )a q s qs a a qq a q q 3.（ 2009 浙江文） 设等比数列 na 的公比 12q ，前 n 项和为 nS ，则 44Sa 【命题意图

14、】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系 【解析】对于 4 43144 4 1 34( 1 ) 1, , 1 51 ( 1 )a q s qs a a qq a q q 4.（ 2009 浙江文） 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，则 4S ， 84SS ， 12 8SS ， 16 12SS 成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb 的前 n 项积为 nT ，则 4T ， ， ， 1612TT成等比数列 答案： 8 1248,T TTT【命题意图】此题是一个数列与类比推 理结合的问题，既考查了数列中等差数列和

15、等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 - 6 - 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 nb 的前 n 项积为 nT ，则 4T ， 8 1248,T TTT， 1612TT成等比数列 5.（ 2009 北京文）若数列 na 满足： 111, 2 ( )nna a a n N ，则 5a ；前 8项的和 8S .（用数字作答） .w【解析】 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题 .m 属于基础知识、基本运算的考查 . 1 2 1 3 2 4 3 5 41 , 2 2 , 2 4 , 2 8 , 2 1 6a a a a a a a a a ， 易知 88

16、21 25521S ，应填 255. 6.（ 2009 北京理）已知数列 na 满足： 4 3 4 1 21 , 0 , , N ,n n n na a a a n 则 2009a _；2014a =_. 【 答案 】 1， 0 【解析】 本题主要考查周期数列等基础知识 .属于创新题型 . 依题意，得 2009 4 503 3 1aa， 2 0 1 4 2 1 0 0 7 1 0 0 7 4 2 5 2 1 0a a a a . 应填 1， 0. 7.（ 2009 江苏卷）设 na 是公比为 q 的等比数列， | | 1q ，令 1( 1, 2 , )nnb a n ，若数列 nb 有连续四项

17、在集合 53 , 23 ,19 , 37 , 82 中，则 6q = . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 na 有连续四项在集合 5 4 , 2 4 ,1 8, 3 6 , 8 1 ，四项 24,36, 54,81成等比数列，公比为32q ， 6q = -9 8.(2009 山东 卷文 )在等差数列 na 中 , 6,7 253 aaa ,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _6 a . 【解析】 :设等差数列 na 的公差为 d ,则由已知得 64 72111 dada da 解得 1 32ad ,所 以615 13a a d . 答案 :13. 【命题立意

18、】 :本题考查等差数列的通项公式以及基本计算 . - 7 - 9.（ 2009 全国卷文） 设等比数列 na 的前 n 项和为 ns 。若 361 4,1 ssa ，则 4a = 答案： 3 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由 361 4,1 ssa 得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 10.(2009 湖 北 卷 理 ) 已 知 数 列 na 满 足 ：1a m（ m 为 正 整 数 ），1,23 1 ,n nnnna aaaa 当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 。若 6a 1 ，则 m 所有可能的取值为 _。 11.【答案】 4 5 32 【解析】（ 1）若 1am 为

19、偶数，则 12a 为偶 , 故 223 a2 2 4amma 当4m仍为偶数时，468 32mmaa 故 1 3232m m 当 4m 为奇数时，43 33 1 14a a m 63 144ma 故 3 14 14m 得 m=4。 （ 2）若 1am 为奇数，则 213 1 3 1a a m 为偶数，故3 312ma 必为偶数 6 3116ma ，所以 3116m =1 可得 m=5 12.（ 2009 全国卷理） 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 535aa 则 95SS 9 . 解 ： na 为等差数列， 95539 95Sa 13.（ 2009 辽宁卷理） 等差数列 na

20、的前 n 项和为 nS ，且 536 5 5,SS则 4a 【解析】 Sn na1 12 n(n 1)d S5 5a1 10d,S3 3a1 3d 6S5 5S3 30a1 60d (15a1 15d) 15a1 45d 15(a1 3d) 15a4 【答案】3114.（ 2009 宁夏海南卷理） 等差数列 na前 n 项和为 nS 。已知 1ma + 1ma - 2ma =0， 21mS =38,则 m=_ - 8 - 解析：由 1ma + 1ma - 2ma =0 得到 1 2 12 21 212 0 , 0 , 2 2 1 3 8 1 02 mm m m m mm a aa a a S

21、m a m 又。 答案 10 15. （ 2009 陕 西 卷 文 ） 设 等 差 数 列 na 的前 n 项 和 为 ns , 若 6312as , 则na . 答案 :2n 解析 :由 6312as 可得 na 的公差 d=2,首项 1a =2,故易得 na 2n. 16.(2009 陕西卷理 ) 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS , 若 6312aS , 则2limnn Sn . 答案： 1 6 1 1 223112 5 1 2 2 11( 1 ) l im l im 11 2 1 2 2 nnnnna ad a SSnnS n ns a d d n n n n 解 析 ： 17

22、.（ 2009 宁夏海南卷文） 等比数列 na 的公比 0q , 已知 2a =1， 216n n na a a，则 na 的前 4 项和 4S = 【答案】 152 【解析】由 216n n na a a得： 11 6 nnn qqq ，即 062 qq ， 0q ，解得： q 2，又 2a =1，所以，1 12a， 21 )21(21 44 S 152 。 18.(2009 湖南卷理 )将正 ABC 分割成 n 2 （ n 2， n N）个全等的小正三角形（图 2，图 3分别给出了 n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当

23、数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 A ,B ,C处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点 上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2， f(3)= 103 ， ， f(n)= 16 (n+1)(n+2) - 9 - 【答案】： 10 1, ( 1)( 2)36 nn 【解析】当 n=3 时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知1 2 1 2 1 21 , , ,a b c x x a b y y b c z z c a 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 ( ) 2 , 2x x y y z z a b c g x y x z y z 1 2 1

24、 2 1 26 2 ( ) 2g x x y y z z a b c 即1 2 1 2 1 21 1 1 1 0( 3 ) 13 2 3 3g f a b c x x y y z z g 而进一步可求得 (4) 5f 。由上知 (1)f 中有三个数， (2)f 中 有 6 个数， (3)f 中共有 10 个数相加 ， (4)f 中有 15 个数相加 .，若 ( 1)fn 中有 1( 1)nan 个数相加，可得 ()fn 中有1( 1)nan 个数相加，且由 3 6 3 3 3 1 0 4 5( 1 ) 1 , ( 2 ) ( 1 ) , ( 3 ) ( 2 ) , ( 4 ) 5 ( 3 )

25、, . . .3 3 3 3 3 3 3f f f f f f f 可得 1( ) ( 1) ,3nf n f n 所以 1 1 1 1 3( ) ( 1 ) ( 2 ) . . . ( 1 )3 3 3 3 3 3 3n n n n n nf n f n f n f = 1 1 3 2 1 1 ( 1 ) ( 2 )3 3 3 3 3 3 6n n n nn 19.（ 2009 重庆卷理） 设 1 2a ，1 2 1n na a ， 21nn nab a ， *nN ，则数列 nb 的通项公式 nb = 【答案】： 2n+1 【解析】由条件得 111112 222222111n n nnnn

26、nna a abbaaa 且 1 4b 所以数列 nb 是首项- 10 - 为 4，公比为 2 的等比数列，则 114 2 2nnnb 三、解答题 1.(2009 年广东卷 文 )（本小题满分 14 分） 已知点（ 1， 31 ）是函数 ,0()( aaxf x 且 1a ）的图象上一点，等比数列 na 的前 n 项和为 cnf )( ,数列 nb )0( nb 的首项为 c ，且前 n 项和 nS 满足 nS 1nS = nS + 1nS（ 2n ） . （ 1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （ 2）若数列 11nnbb前 n 项和为 nT ，问 nT 20091000 的最小正整数

27、 n 是多少 ? 【解析】 （ 1） 11 3faQ , 13xfx 1 11 3a f c c , 2 21a f c f c 29 , 3 232 27a f c f c . 又数列 na 成等比数列， 2213421812 3327aaca ， 所以 1c ； 又 公比 2113aq a， 所以 12 1 123 3 3nnna *nN ； 1 1 1 1n n n n n n n nS S S S S S S S Q 2n 又 0nb , 0nS , 1 1nnSS ； 数列 nS构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列， 1 1 1nS n n ， 2nSn 当 2n ， 221 1 2 1n n nb S S n n n ； 21nbn ( *nN )； （ 2）1 2 2 3 3 4 11 1 1 1nnnT b b b b b b b b L 1 1 1 11 3 3 5 5 7 ( 2 1 ) 2 1nn K 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1nn K