直角坐标系-武汉理工大学网络教学平台.ppt

大学物理,主讲：廖 红 liaohong@whut.edu.cn,网络教学平台使用说明：,武汉理工大学教务处主页,,（左上，登录）,,,（点击：左下“申请选课”）,,,教学互动,网络教学平台 物理在线考试系统,大学物理（上）教学内容,力 学,第一篇,（Mechanics）,经典力学　研究宏观物体低速运动的规律， 理论基础是牛顿运动定律。,力学　是研究物体机械运动规律的科学。,机械运动 ( Mechanical Motion ) 　是指物体之间或物体各部分之间的相对位置发生变化的运动。,1．什么是力学,根据研究对象的不同，力学又可分为： 质点力学和刚体力学。,2．力学的分类,3．数学工具 —— 微积分和矢量,运动学（Kinematics） 研究物体运动的规律； 动力学（Dynamics ） 研究物体运动的原因；,物体位置总是伴随着时间的流逝而连续地变动。因而，可用有关连续函数的数学理论:微分、积分学作为工具来研究物体的运动。,质点运动学是研究质点位置随时间而改变的运动规律的理论。,本章主要内容有： 基本概念：参考系、坐标系、质点、刚体 基本物理量：位置矢量、位移、速度、加速度等 几种运动：直线运动、抛体运动、圆周运动等 两类基本问题：微分问题、积分问题,第1章 质点运动学,主要教学内容：,1.1 参照系 坐标系 物理模型 1.2 描述运动的物理量 1.3 坐标系的运用 1.4 运动学的两类问题 1.5 相对运动,（学时：6）,§1.1 参考系 坐标系 物理模型,,,,,,,,,,,§1.1 参考系 坐标系 物理模型,,,,,,,,,,选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性。,为描述物体的运动而选择的标准物叫做参照系。,1.1.1　参照系（Reference System）,1.1.2 坐标系（Coordinate System）,引入坐标系的必要性： 定量地描述物体相对于参照系的运动。,物理学中常用的坐标系： 直角坐标系、球坐标系、极坐标系、自然坐标系等,,,,研究某一物体的运动，如果可以忽略其大小和形状，或者不涉及物体的转动和形变，就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）。,1.1.3　物理模型,可以将物体简化为质点的两种情况：,（1） 物体不变形，不作转动（平动）。,（2） 物体本身线度和它活动范围相比小得很多。,1）质点（Particle， Mass Point）,R地球 » 6.4×102km,地球绕太阳公转时地球可视一个质点。,研究地球的自转问题时，就不能把地球看作质点。,,,,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。,2） 刚体 （Rigid Body ）,刚体也可定义为： 　　在运动过程中物体内部任意两个质点间的距离保持不变的物体。,强调：质点和刚体都是理想的模型，都是实际物体在一定条件下的抽象。,即：刚体是一个内部各质点相对位置保持不变的质点系。,,,,§1.2 描述运动的物理量,,,运动学的第一个问题就是描述质点的空间位置。,选择参照系，,选择一个参照点，标记为O。,连接O 与此时被考察质点的位置P,1 ） 位置矢量 （Position Vector ),,*,位矢 的大小为,确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量, 简称位矢 。,式中 、 、 分别为 x、y、z 方向的单位矢量。,(x, y, z),1.2.1 位矢和运动方程,,在直角坐标系中：,,位矢 的方向余弦：,P,2） 运动方程,,,运动方程：质点位置坐标随时间变化的函数关系。,cos2  + cos2  + cos2  = 1,它包含了质点运动的全部信息。,例：斜抛运动,分量（投影）式：,例: 匀速率圆周运动：,从中消去参数 得轨迹方程。,在直角坐标系中，运动方程为：,1） 位移（Displacement ）,,,,,1.2.2 位移和速度,,,S,,位移的大小为：,若质点在三维空间中运动，则在直角坐标系 中其位移为：,路程（ ）：质点实际运动轨迹的长度。,,A) 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只决定于质点的始末位置。,B）反映了运动的矢量性,,,,,,,,,,2） 速度（Velocity ）,（1）平均速度,在 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为,时间内, 质点的平均速度：,平均速率：,是标量。,显然：,（2） 瞬时速度（Instantaneous Velocity ）,当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度。,方向：为 的极限方向,当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。,质点在三维空间中运动，其速度为：,在直角坐标中：,速度的大小为：,,,速度 的大小为：,当 时,,，,瞬时速率为 t → 0 时平均速率的极限，简称速率。,速度的大小等于速率！,例： 设质点的运动方程为 其中 求：1） 时的速度。2） 质点的轨迹方程。,解： 1）由题意可得速度分量分别为：,速度 与 轴之间的夹角：,速度的大小为：,（2） 运动方程：,,由运动方程消去参数 可得轨迹方程为：,,,1） 平均加速度,,与 同方向。,单位时间内的速度增 量即平均加速度。,2）（瞬时）加速度,1.2.3 加速度（Acceleration）,加速度的方向：t0时速度增量的极限方向； 在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。,,加速度大小为：,在直角坐标系中，加速度的表示式为：,质点运动学两类基本问题,一、 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；,二、 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 。,一、 已知质点的运动方程，可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；,二、 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 。,例：一质点作直线运动，其加速度为一常量 a0 ，已知在 t = 0 时刻，x = x0， v = v0，试求： 1）速度与时间的关系；2）位置与时间的关系； 3）速度与位置的关系。,解：1）,,2）,注意：这都是匀加速直线运动公式，它们不具有一般意义！,（变量变换）,（分离变量）,（两边同时积分）,3）,例：质点沿 x 轴作直线运动，加速度 a = 2t 。t = 0 时， x = 1m，v = 0，求：任意时刻质点的速度和位置。,解：,质点作非匀加速的运动。,,积分：,即有：,可得：,§1.3 坐标系的运用,1.3.1　直角坐标系,1.3.2　自然坐标系,,,——切向单位矢量,——法向单位矢量,,s,速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。,O.,在已知运动轨道上任取一参照点 O，由质点与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。,S为弧坐标。,运动方程：s = s (t),轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。,速率：,速度：,例：一质点作匀速率圆周运动，半径为 r ，角速度为  。求：质点的运动学方程。 1）用直角坐标、位矢表示；2）用自然坐标表示。,以圆心O 为原点。建立直角坐标系Oxy ，O 点为初始位置，,用位矢表示为：,用自然坐标表示为：,,,,,,解：,,质点的运动学方程为：,1）,2）,设 t 时刻质点位于 P（x , y），,加速度由两项组成，分别反映了速度大小变化和方向变化。,一般曲线运动的加速度,第一项，叫切向加速度，,方向：,,,,大小：,,,写成：,（沿切向）,,,,,,,,,,曲率圆,,速度：,,,,,,,,,,,,第二项，叫法向加速度，,切向单位矢量的时间变化率：,,,,,写成：,,总加速度：,法向加速度：,为曲率半径。,大小：,方向：,（沿法向）,1）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心；,2）在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线 凹的一侧。,大小：,加速度：,方向：,,,,,,,,,,,,•,说明：,,,1）质点运动时，如果同时有切向加速度和法向加速度，这就是一般的曲线运动；,2）如果只有切向加速度，没有法向加速度，,3）如果只有法向加速度，没有切向加速度，,,则质点作变速率直线运动；,则质点作匀速率曲线运动。,大小：,方向：沿半径指向圆心。,曲线运动的 加速度小结：,法向加速度：,总加速度的大小：,大小：,方向：沿轨道切线方向。,,切向加速度：,方向：,,,,例：一汽车在半径 R = 200 m 的圆弧形公路上行 驶，其运动学方程为 s = 20 t - 0.2 t 2 (SI)。 求：汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。,在自然坐标系中，,解：,t = 1 s 时：,解：,t = 1s 时,例：已知质点在水平面内运动，运动方程为： ， 求：t = 1s 时的 切向加速度、法向加速度和轨道曲率半径。,,,☆圆周运动 (Circular Motion） 的角量描述,角坐标：,（约定：逆时针为正）,角位移：,运动方程：,1、 角坐标与角位移,角速度,2、 角速度 (Angular Velocity ),角量与线量的关系：,,角加速度：,3、 角加速度 (Angular Acceleration ),方向：角速度矢量 的方向垂直于质点运动的平面，其指向由右手螺旋定则确定。,角速度矢量,圆周运动的角量与线量的关系：,例 ：质点作半径为R的圆周运动，其速率满足 （k为常数），求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。,解：,切向加速度：,法向加速度：,加速度：,匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动,1）匀速率圆周运动：速率 和角速度 都为常量。,2） 匀变速率圆周运动：,,如 时,,常量,例：一飞轮受摩擦力矩作用做减速运动，其角加速度与θ 成正比，比例系数 k > 0。当 t = 0, ω =ω0 ， θ = 0。求： 1）角速度作为θ的函数表达式； 2）最大角位移。,解：1）,2）,当 ω = 0 时，,§1.4 运动学的两类基本问题,一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；,二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 。,一 已知质点的运动方程，可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；,二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 。,例：一质点作直线运动，其加速度为一常量 a0 ，已知在 t = 0 时刻，x = x0， v = v0，试求： （1）速度与时间的关系；（2）位置与时间的关系；（3）速度与位置的关系。,解：（1）,（2）,注意：这都是匀加速直线运动公式，它们不具有一般意义！,（变量变换）,（分离变量）,（两边同时积分）,（3）,§1.5 相对运动,我们知道对运动的描述具有相对性，即同一物体在不同参照系中运动状态的描述结论可能不一样。现在我们要问：不同参照系上的观察者对运动状态描述结果之间的关系如何 ? 由于不同观察者可以选取不同参照系，所以弄清楚不同参照系上的观察者，对运动描述结果之间的关系是很重要的。,可是，关于相对运动的问题却并不象看上去那么简单，它牵涉到物理学最基本的问题之一，即时间和空间的基本属性。,,一、 时间与空间,在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的， 与参考系无关， 时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础。,,,A,B,,小车以较低的速度 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B。地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同。,速度变换：,位移关系：,,质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移,,,S 系 系,,伽利略速度变换：,加速度关系,绝对速度,相对速度,牵连速度,