泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第一节3设是赋范空间中的Cauchy列，证明有界，即。证明：，当时，有，不妨设，则。取，则有，令，则。6设是Banach空间，中的点列满足（此时称级数绝对收敛），证明存在，使（此时记为，即）.证明：令，则。由于绝对收敛，则它的一般项。因此，总，当时，有，所以是中的Cauchy列，又因为是Banach空间，则必存在，使得。9（Hamel基）设是线性空间的非空子集，若中任意多个元素都是线性无关的，则称是线性无关的。若是线性无关的，且，则称是是的一个Hamel基。此时若是无穷集，则称是无穷维的；若是有限集，则称是有限维的，并定义的维数为中所含有的元素个数。通常用表示的维数，并约定当时，可以证明任何线性空间都存在Hamel基。证明酉空间的维数为，并问当视为实线性空间时，其维数是多少？证明：设，则有。令，则对任意的，必有，因此是空间的基，则。当视为实线性空间时，可令基为，则对任意的，有，所以。10证明，这里。证明：取，只需证线性无关。为此对，令。则。因此必有，求该式求导后有。依次类推，有，所以
