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1、智浪教育 -普惠英才文库 历年 (95-10)年全国数学竞赛 (联赛 )分类题型详解 - 几何 (1) 选择题 (30 道题 ) 1. 如果边长顺次为 25、 39、 52与 60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 A 62 B 63 C 64 D 65 1995 年全国初中数学联赛试题 答案 : D 详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一又由 AB2 AD2 252 602 52（ 52 122） 52132 (32 42)132 392 522 BC2 CD2 故可取 BD 65为直径，得周长为 65，选 D 2. 设 AB是 O的一条弦， CD是 O的直径，且与

2、弦 AB相交，记 M SCABSDAB， N 2SOAB，则 A M N B M N C M N D M、 N的大小关系不确定 1995年全国初中数学联赛试题 答案 : B 详解 1: 不失一般性，设 CEED，在 CE上取 CF ED，则有 OF OE，且 SACE SADESAEF 2SAOE同理， SBCE SBDE 2SBOE相加，得 SABC SDAB2SOAB，即 M N选 B 详解 2: 若过 C、 D、 O分别作 AB的垂线（图 3）， CEAB、 DFAB、 OLAB，垂足分别为E、 F、 L连 CF、 DE，可得梯形 CEDF又由垂径分弦定理，知 L是 EF的中点根据课本上

3、做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有 CE DF 2OL 即 M N选 B 3如图， A是半径为 1的圆 O外的一点， OA=2， AB是圆 O的切线， B是切点，弦BCOA，连结 AC，则阴影部分的面积等于 1996年全国初中数学联赛试题 答案 : B 4如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 A内心 B外心 C重心 D垂心 1996年全国初中数学联赛试题 答案 : A 5如果 20个点将某圆周 20等分，那么顶点只能在这 20个点中选取的正多边形的个数有 A 4个 B 8个 C 12个 D 24个 1996年全国初中数学联

4、赛试题 答案 : C 6. 在 ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BDCE， BD=4， CE=6，那么ABC 的面积等于（ ） （） 12（） 14（） 16（） 18 1998 年 全国数学联赛试卷 答案 : C 详解 : 连 ED，则 又因为 DE 是 ABC 两边中点连线，所以 故选 C 7一个凸 n 边形的内角和小于 1999，那么 n 的最大值是（ ） A 11 B 12 C 13 D 14 1999 年全国初中数学竞赛 答案 : C 8在三角形 ABC 中， D 是边 BC 上的一点，已知 AC=5， AD=6， BD=10， CD=5，那么三角形 AB

5、C 的面积是（ ） A 30 B 36 C 72 D 125 1999 年全国初中数学竞赛 答案 : B 9在正五边形 ABCDE 所在的平面内能找到点 P，使得 PCD 与 BCD 的面积相等，并且ABP 为等腰三角形，这样的不同的点 P 的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 1999 年全国初中数学竞赛 答案 : D 10. 设 a， b， c分别是 ABC的三边的长，且 cba baba ，则它的内角 A、 B的关系是（ ）。 （ A） B 2A；（ B） B 2A；（ C） B 2A；（ D）不确定。 2000 全国初中数学竞赛试题 答案 : B 详解 : 由 cba bab

6、a 得cabba ，延长 CB至 D，使 BD AB，于是 CD a+c，在ABC与 DAC中， C为公共角，且 BC:AC AC:DC， ABCDAC， BAC D，BAD D， ABC D BAD 2D 2BAC。 11. 已知 ABC的三边长分别为 a， b， c，面积为 S， A1B1C1的三边长分别为 a1， b1,C1面积为 S1，且 a a1， b b1， c c1则 S与 S1的大小关系一定是（ ）。 （ A） S S1；（ B） S S1；（ C） S S1；（ D）不确定。 2000 全国初中数学竞赛试题 答案 : D 详解 : 分别构造 ABC与 A1B1C1如下： 作

7、ABCA1B1C1，显然，即 S S1； 设 ，则 ， S 10，则 S1 100 10，即 S S1； 设，则 ， S 10， ， 则， S1 10，即 S S1；因此， S与 S1的大小关系不确定。 12如下图所示， A+B+C+D+E+F+G=（ ） . (A)360 (B) 450 (C) 540 (D) 720 2003 年 “TRULY信利杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : C 详解 : 如图所示， B+BMN+E+G=360， FNM+F+A+C=360， 而 BMN +FNM =D 180，所以 A+B+C+D+E+F+G=540. 13四条线段的长分别为 9， 5， x，

8、1（其中 x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且 AB 与 CD 是其中的两条线段（如上图），则 x 可取值的个数为（ ） . (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D) 6 个 2003 年 “TRULY信利杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : D 详解 : 显然 AB 是四条线段中最长的，故 AB=9 或 AB=x。 （ 1）若 AB=9，当 CD=x 时， 222 )51(9 x ， 53x ； 当 CD=5 时， 222 )1(59 x ， 1142 x ； 当 CD=1 时， 222 )5(19 x ， 554 x . （ 2）若 AB=x，当 CD=9 时， 222 )

9、51(9 x ， 133x ； 当 CD=5 时， 222 )91(5 x ， 55x ； 当 CD=1 时， 222 )95(1 x ， 197x . 故 x 可取值的个数为 6 个 . 14如图所示，在 ABC 中， DEABFG，且 FG 到 DE、 AB 的距离之比为 1:2. 若 ABC 的面积为 32， CDE 的面积为 2，则 CFG 的面积 S 等于 （ ） . （ A） 6 （ B） 8 (C） 10 （ D） 12 2004 年 “TRULY信利杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : （ B） 详解 : 由 DEABFG 知， CDECAB， CDECFG，所以 41322

10、C A BC D ESSCACD， 又由题设知 21FAFD ，所以 31ADFD ， ACACADFD 41433131 ， 故 DCFD ，于是 41212 CFGCDESS， 8CFGS . 因此，结论（ B）是正确的 . 15. 如图，有一块矩形纸片 ABCD， AB 8， AD 6. 将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将 AED 沿 DE 向右翻折， AE 与 BC 的交点为 F，则 CEF 的面积为（ ） FABCDEEA BCDD CBAA.2 B.4 C.6 D.8 2005 年 “卡西欧杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : A 16.已知点 I 是锐

11、角三角形 ABC 的内心， A1， B1， C1分别是点 I 关于边 BC， CA， AB 的对称点 . 若点 B 在 A1 B1 C1 的外接圆上，则 ABC 等于（ ） A.30 B.45 C.60 D.90 2005 年 “卡西欧杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : C 17 RtABC 的三个顶点 A， B， C 均在抛物线 2xy 上，并且斜边 AB 平行于 x 轴若斜边上的高为 h，则（ ） （ A） h2 2006 年全国初中数学竞赛试题 答案 : B 详解 : 设点 A 的坐标为（ a， a2），点 C 的坐标为（ c， c2）（ |c|a|），则点 B 的坐标为 （ a， a

12、2），由勾股定理，得 22222 )()( acacAC ， 22222 )()( acacBC ， 222 ABBCAC 所以 22222 )( caca 由于 22 ca ，所以 a2 c2=1，故斜边 AB 上 高 h= a2 c2=1 故选 B 18如图，正方形 ABCD 内接于 O，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP，交 AC 于点 Q若QP=QO，则QAQC的值为（ ） （ A） 132 （ B） 32 （ C） 23 （ D） 23 2006 年全国初中数学竞赛试题 答案 : D （第 5 题图） A B C D O O Q P 详解 : 如图，设 O 的半径为 r， QO=m

13、，则 QP=m， QC=r m， QA=r m 在 O 中，根据相交弦定理，得 QAQC=QPQD 即 (r m)(r m)=mQD ，所以 QD= mmr 22 连结 DO，由勾股定理，得 QD2=DO2 QO2， 即 22222 mrmmr ， 解得 rm 33 所以， 2313 13 mr mrQAQC故选 D 19已知 ABC 为锐角三角形， O 经过点 B， C，且 与边 AB， AC 分别相交于点 D，E 若 O 的半径与 ADE 的外接圆的半径相等，则 O 一定经过 ABC 的（ ） （ A）内心 （ B）外心 （ C）重心 （ D）垂心 “数学周报杯 ”2007 年全国 初中数学竞赛 答案 : （ B）