1、智浪教育 -普惠英才文库 历年 (95-10)年全国数学竞赛 (联赛 )分类题型详解 - 几何 (1) 选择题 (30 道题 ) 1. 如果边长顺次为 25、 39、 52与 60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为 A 62 B 63 C 64 D 65 1995 年全国初中数学联赛试题 答案 : D 详解:四个选择支表明,圆的周长存在且唯一,从而直径也存在且唯一又由 AB2 AD2 252 602 52( 52 122) 52132 (32 42)132 392 522 BC2 CD2 故可取 BD 65为直径,得周长为 65,选 D 2. 设 AB是 O的一条弦, CD是 O的直径,且与
2、弦 AB相交,记 M SCABSDAB, N 2SOAB,则 A M N B M N C M N D M、 N的大小关系不确定 1995年全国初中数学联赛试题 答案 : B 详解 1: 不失一般性,设 CEED,在 CE上取 CF ED,则有 OF OE,且 SACE SADESAEF 2SAOE同理, SBCE SBDE 2SBOE相加,得 SABC SDAB2SOAB,即 M N选 B 详解 2: 若过 C、 D、 O分别作 AB的垂线(图 3), CEAB、 DFAB、 OLAB,垂足分别为E、 F、 L连 CF、 DE,可得梯形 CEDF又由垂径分弦定理,知 L是 EF的中点根据课本上
3、做过的一道作业:梯形对角线中点的连线平行底边,并且等于两底差的一半,有 CE DF 2OL 即 M N选 B 3如图, A是半径为 1的圆 O外的一点, OA=2, AB是圆 O的切线, B是切点,弦BCOA,连结 AC,则阴影部分的面积等于 1996年全国初中数学联赛试题 答案 : B 4如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的 A内心 B外心 C重心 D垂心 1996年全国初中数学联赛试题 答案 : A 5如果 20个点将某圆周 20等分,那么顶点只能在这 20个点中选取的正多边形的个数有 A 4个 B 8个 C 12个 D 24个 1996年全国初中数学联
4、赛试题 答案 : C 6. 在 ABC 中,已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线,并且 BDCE, BD=4, CE=6,那么ABC 的面积等于( ) () 12() 14() 16() 18 1998 年 全国数学联赛试卷 答案 : C 详解 : 连 ED,则 又因为 DE 是 ABC 两边中点连线,所以 故选 C 7一个凸 n 边形的内角和小于 1999,那么 n 的最大值是( ) A 11 B 12 C 13 D 14 1999 年全国初中数学竞赛 答案 : C 8在三角形 ABC 中, D 是边 BC 上的一点,已知 AC=5, AD=6, BD=10, CD=5,那么三角形 AB
5、C 的面积是( ) A 30 B 36 C 72 D 125 1999 年全国初中数学竞赛 答案 : B 9在正五边形 ABCDE 所在的平面内能找到点 P,使得 PCD 与 BCD 的面积相等,并且ABP 为等腰三角形,这样的不同的点 P 的个数为( ) A 2 B 3 C 4 D 5 1999 年全国初中数学竞赛 答案 : D 10. 设 a, b, c分别是 ABC的三边的长,且 cba baba ,则它的内角 A、 B的关系是( )。 ( A) B 2A;( B) B 2A;( C) B 2A;( D)不确定。 2000 全国初中数学竞赛试题 答案 : B 详解 : 由 cba bab
6、a 得cabba ,延长 CB至 D,使 BD AB,于是 CD a+c,在ABC与 DAC中, C为公共角,且 BC:AC AC:DC, ABCDAC, BAC D,BAD D, ABC D BAD 2D 2BAC。 11. 已知 ABC的三边长分别为 a, b, c,面积为 S, A1B1C1的三边长分别为 a1, b1,C1面积为 S1,且 a a1, b b1, c c1则 S与 S1的大小关系一定是( )。 ( A) S S1;( B) S S1;( C) S S1;( D)不确定。 2000 全国初中数学竞赛试题 答案 : D 详解 : 分别构造 ABC与 A1B1C1如下: 作
7、ABCA1B1C1,显然,即 S S1; 设 ,则 , S 10,则 S1 100 10,即 S S1; 设,则 , S 10, , 则, S1 10,即 S S1;因此, S与 S1的大小关系不确定。 12如下图所示, A+B+C+D+E+F+G=( ) . (A)360 (B) 450 (C) 540 (D) 720 2003 年 “TRULY信利杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : C 详解 : 如图所示, B+BMN+E+G=360, FNM+F+A+C=360, 而 BMN +FNM =D 180,所以 A+B+C+D+E+F+G=540. 13四条线段的长分别为 9, 5, x,
8、1(其中 x 为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且 AB 与 CD 是其中的两条线段(如上图),则 x 可取值的个数为( ) . (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D) 6 个 2003 年 “TRULY信利杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : D 详解 : 显然 AB 是四条线段中最长的,故 AB=9 或 AB=x。 ( 1)若 AB=9,当 CD=x 时, 222 )51(9 x , 53x ; 当 CD=5 时, 222 )1(59 x , 1142 x ; 当 CD=1 时, 222 )5(19 x , 554 x . ( 2)若 AB=x,当 CD=9 时, 222 )
9、51(9 x , 133x ; 当 CD=5 时, 222 )91(5 x , 55x ; 当 CD=1 时, 222 )95(1 x , 197x . 故 x 可取值的个数为 6 个 . 14如图所示,在 ABC 中, DEABFG,且 FG 到 DE、 AB 的距离之比为 1:2. 若 ABC 的面积为 32, CDE 的面积为 2,则 CFG 的面积 S 等于 ( ) . ( A) 6 ( B) 8 (C) 10 ( D) 12 2004 年 “TRULY信利杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : ( B) 详解 : 由 DEABFG 知, CDECAB, CDECFG,所以 41322
10、C A BC D ESSCACD, 又由题设知 21FAFD ,所以 31ADFD , ACACADFD 41433131 , 故 DCFD ,于是 41212 CFGCDESS, 8CFGS . 因此,结论( B)是正确的 . 15. 如图,有一块矩形纸片 ABCD, AB 8, AD 6. 将纸片折叠,使得 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE,再将 AED 沿 DE 向右翻折, AE 与 BC 的交点为 F,则 CEF 的面积为( ) FABCDEEA BCDD CBAA.2 B.4 C.6 D.8 2005 年 “卡西欧杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : A 16.已知点 I 是锐
11、角三角形 ABC 的内心, A1, B1, C1分别是点 I 关于边 BC, CA, AB 的对称点 . 若点 B 在 A1 B1 C1 的外接圆上,则 ABC 等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90 2005 年 “卡西欧杯 ”全国初中数学竞赛试题 答案 : C 17 RtABC 的三个顶点 A, B, C 均在抛物线 2xy 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴若斜边上的高为 h,则( ) ( A) h2 2006 年全国初中数学竞赛试题 答案 : B 详解 : 设点 A 的坐标为( a, a2),点 C 的坐标为( c, c2)( |c|a|),则点 B 的坐标为 ( a, a
12、2),由勾股定理,得 22222 )()( acacAC , 22222 )()( acacBC , 222 ABBCAC 所以 22222 )( caca 由于 22 ca ,所以 a2 c2=1,故斜边 AB 上 高 h= a2 c2=1 故选 B 18如图,正方形 ABCD 内接于 O,点 P 在劣弧 AB 上,连结 DP,交 AC 于点 Q若QP=QO,则QAQC的值为( ) ( A) 132 ( B) 32 ( C) 23 ( D) 23 2006 年全国初中数学竞赛试题 答案 : D (第 5 题图) A B C D O O Q P 详解 : 如图,设 O 的半径为 r, QO=m
13、,则 QP=m, QC=r m, QA=r m 在 O 中,根据相交弦定理,得 QAQC=QPQD 即 (r m)(r m)=mQD ,所以 QD= mmr 22 连结 DO,由勾股定理,得 QD2=DO2 QO2, 即 22222 mrmmr , 解得 rm 33 所以, 2313 13 mr mrQAQC故选 D 19已知 ABC 为锐角三角形, O 经过点 B, C,且 与边 AB, AC 分别相交于点 D,E 若 O 的半径与 ADE 的外接圆的半径相等,则 O 一定经过 ABC 的( ) ( A)内心 ( B)外心 ( C)重心 ( D)垂心 “数学周报杯 ”2007 年全国 初中数学竞赛 答案 : ( B)