1、 本科毕业论文（设计） （ 20 届） 分块矩阵的初等变换及其应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换， 分块矩阵的初等变换在一些问题中的 相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用， 用 22 分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。 并根据各种的应用给出了大量的例题， 充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。 关键词： 分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用 E
2、lementary block matrix transform and its application Abstract： This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix， also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transfo
3、rmation of partitioned matrix to compute matrixs determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22 elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of
4、symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrixs elementary transformation in algebra. Key words： partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application 目
5、 录 1 绪论 . 1 1.1 问题的背景 . 1 1.2 问题的意义 . 1 2 矩阵 的介绍 . 2 2.1 矩阵的概念 . 2 2.2 矩阵的运算 . 4 2.3 矩阵的行列式与秩 . 6 2.4 矩阵的逆 . 8 2.5 初等矩阵 . 8 3 分块矩阵的介绍 . 10 3.1 分块矩阵的定义 . 10 3.2 分块矩阵的分类 . 10 3.3 分块矩阵的运算 . 11 3.4 分块矩阵的初等变换和分块初等阵 . 12 3.5 分块方阵的行列式 . 15 4 分块矩阵初等变换的相关应用 . 18 4.1 利用分块矩阵的初等变换计算行列式 . 18 4.2 利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆
6、 . 20 4.3 分块矩阵的初等变换在秩问题中的应用 . 23 4.4 用 22 分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性 . 25 4.5 分块矩阵的初等变换在相似问题中的应用 . 26 结论 . 27 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 28 1 绪论 1.1 问题的背景 在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数 据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由 19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设
7、备也叫矩阵。 矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具。矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用。计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展。 在 数学 的 矩阵理论 中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将 矩阵 分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。 将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与
8、运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为 对角矩阵 或者是三角矩阵 等特殊形式的矩阵。 1.2 问题的意义 矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于 计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用。 2 矩阵的介绍 2
9、.1 矩阵的概念 线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究， 甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。 矩阵是指纵横排列的二维数据表格。 由 mn 个复数 ija （其中 1, 2 , , ; 1, 2 , ,i m j n）构成的长方形阵 1 1 1 2 12 1 2
10、 2 212nnm m m nA A AA A AAA A A， 称为一个 m 行 n 列的矩阵，或 mn 矩阵，它共有 m 个行和 n 个列。 1.在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（反时针方向转轴），那么平面直角坐标变换的公式为 c o s s i n , (1 )s i n c o s ,x x yy x y 其中 为 x 轴与 x 轴的夹角。显然，新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的 22矩阵 c o s sin , ( 2 )sin c o s 表示出来。通常，矩阵（ 2）称为坐标变换（ 1）的矩阵。在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式 1
11、 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3, ( 3 ).x a x a y a zy a x a y a zz a x a y a z 同样，矩阵 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3, ( 4 )a a aa a aa a a就称为坐标变换（ 3）的矩阵。 2.在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵。例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有 s 个产地 12, , , sA A A 和 n 个销地 12, , , nB B B ，那么一个调运方案就可用一个矩阵来表示，其中 ija 表示有产地 iA 运到销地 jB 的数量。 3
12、.二次曲线的一般方程为 222 2 2 0 ( 5 )a x b x y c y d x e y f （ 5）的左端可以用表来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应的 ,xy或 1的乘积的系数，而（ 5）的左端就是按这样的约定所形成的项的和。换句话说，只要规定了 , ,1xy 的次序，二次方程（ 5）的左端就可以简单地用矩阵 a b db c ed e f， （ 6） 来表示。通常，（ 6）称为二次曲线（ 5）的矩阵，以后我们会看到，这种表示法不只是形式的。事实上，矩阵（ 6）的行列式就是解析几何中二次曲线的不变量 3I ，这表明了矩阵（ 6）的性质确实反映了它所表示的二次曲线的性质。 4
13、. n 维向量也可以 看成矩阵的特殊情形。 n 维行向量就是 1n 矩阵， n 维列向量就是 1n 矩阵。 用大写的拉丁字母 , , ,AB 或者 ( ),( ),ij ijab 来代表矩阵。有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把 sn 矩 阵写成 , , ,sn snAB 或者 ( ) ,( ) ,ij sn ij snab 设 ( ) , ( ) ,ij mn ij lkA a B b如果 , ij ijm l n k a b 且 ，对 1, 2 , , ; 1, 2 ,i m j n都成立，我们就说 AB .即只有完全一样的矩阵才叫做相等。 5.对方阵而言： 两个下标相等的元素称为主
14、对角线上的元素，简称为对角元素： 除对角元素外其余元素均为 0 的方阵称 为对角矩阵； 主对角线以下均为 0 的矩阵称为上三角矩阵 ; 主对角线以上均为 0 的矩阵称为下三角矩阵 ; 关于主对角线对称，即满足条件 ij jiaa 的矩阵，称为对称矩阵； 满足条件 ij jiaa 的矩阵，称为反对称矩阵，此时显然有 112 3 3 2,1 2 4 3AD ，即主对角线为 0 。 复数域 C 上 mn 矩阵全体常常记为 mnC ，一般地，数域 F 上 mn 矩阵全体记为 mnF 。 2.2 矩阵的运算 矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系。包括矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵
15、的转置。 为了确定起见，取定一个数域 p ，以 下所讨论的矩阵全是由数域 p 中的数组成的。 1.加法 定义 2.1 设 1 1 1 2 12 1 2 2 2121 1 1 2 12 1 2 2 212( ) ,()nnij s ns s s nnnij s ns s s na a aa a aAaa a ab b bb b bBbb b b。 是两个 sn 矩阵，则矩阵 1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2( ) ( ),ij s n ij ij s nnnnns s s s s n s nC c a ba b a b a ba b a
16、b a ba b a b a b 称为 A 和 B 的和，记为 C A B 。 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数。由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证，它有 结合律： ( ) ( )A B C A B C ； 交换律： A B B A 。 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 snO ，在不致引起含混的时候，可简单的记为 O 。显然，对所有的 A ， A O A。 矩阵 1 1 1 2 12 1 2 2 212nns s sna a aa a aa a a ， 称为矩阵 A 的负矩阵，记为 A 。显然有 ( ) 0AA 。
17、矩阵的减法定义为 ： ()A B A B 。 2.乘法 定义 2.2 设 ： ( ) , ( ) ,i k s n k j n mA a B b 那么矩阵 ()ij smCc ，其中1 1 2 2 1 ,nij i j i j in n j ik k jkc a b a b a b a b 称为 A 与 B 的乘积，记为 C AB 。 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A 与 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的元素等于第一个矩阵 A的第 i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素乘积的和。当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。 矩阵的乘法适合结合律，即
18、( ) ( )AB C A BC 。 但是，矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来， AB BA .这是由于，一方面在乘积中要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义。所以，当 AB 有意义时， BA 不一定有意义。另一方面即使 AB 与 BA 都有意义，它们的级数也不一定相等，因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数。 3.数量乘法 定义 2.3 矩阵 1 1 1 2 12 1 2 2 212nns s snka ka kaka ka kaka ka ka称为矩阵 ()ij snAa 与数 k 的数量乘积，记为 kA 。换句话说，用数 k 乘矩阵就是把矩阵的每个元
19、素都乘上 k 。 4 转置 把一矩阵 A 的行列互换，所得到的矩阵称为 A 的转置，记为 A 。可确切地定义如下： 定义 2.4 设 1 1 1 2 12 1 2 2 212nns s sna a aa a aAa a a, 所谓 A 的转置就是指矩阵 1 1 2 1 11 2 2 2 212ssn n sna a aa a aAa a a。 显然， sn 矩阵的转置是 ns 矩阵。 2.3 矩阵的行列式与秩 定义 2.5 由 sn 个数排成的 s 行（横的 n 列（纵的）的表 1 1 2 1 11 2 2 2 212, ( 7 )ssn n s na a aa a aa a a称为一个 sn 矩阵。 例如 11 0 221 2 1 0， 是一个 24 矩阵， 1 1 2013 2 1ii， 是一个 33 矩阵。 数 , 1 , 2 , , , 1 , 2 , , ,ija i s j n称为矩阵（ 7）的元素， i 称为元素 ija 的行指标， j 称为列指标。当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，它就称为这一数域 P 上的矩阵。在上面所举的例子中，第一个是有理数域上的矩阵。第二个是复数域上的矩阵。
