1、 本科毕业论文（设计） （ 20 届） 数学建模方法及其在金融领域的应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 ： 随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等许多方面得到了越来越广泛而深入 的应用。尤其是在经济发展中的金融领域，数学建模有着很重要的作用。数学建模方法有很多，而在解决实际问题的过程中，建立数学模型是其关键之步。因此，本次论文我们主要研究数学建模的基本方法和它在金融领域中的应用。 我们首先介绍数学建模方法的历史背景、研究意义、应用前景。接着总结 数学建模的基本方法及相关应用领域，并举出两个在某些
2、领域中的具体实例，建立数学模型来说明建模的方法和使用过程。最后讨论数学建模在金融中的应用和意义，重点分析金融中的期权定价问题和数学建模在其他经济管理领域中的应用，并 辅助实例加以说明。 关键词： 数学建模方法；数学模型；金融；期权定价；应用II Mathematical modeling method and its application in the financial sector Abstract: With the rapid development of science and technology ， mathematics got more and more extensive
3、 and in-depth applications in natural science, social science, engineering technology and modern management and many other aspects. Especially in the financial sector of the economic development, mathematical modeling has the very important role. Mathematical modeling methods are many, and in the pr
4、ocess of solving practical problems, establishing the mathematical model is the key step. Therefore, in this paper we mainly study the basic methods of mathematical modeling and its application in the financial sector. We first introduce the historical background, significance and application foregr
5、ound of method of mathematic modeling. Then summarize the methods of mathematical modeling and the basic fields of application, along with two in some areas in the specific examples, the mathematical modeling to illustrate the method and the use of process modeling. Finally discuss the application o
6、f mathematical modeling and significance in financial and focus on analyzing the option pricing financial problems and mathematical modeling in other economic management, and the application fields of auxiliary examples to illustrate it. Key words: Mathematical modeling method； Mathematical modeling
7、； Finance；Option pricing； Application III 目 录 摘要 . I Abstract . II 目 录 . III 1 绪 论 . 1 1.1 数学建模简介 . 1 1.2 数学建模思想 . 2 1.3 金融相关概念和理论知识 . 3 2 数学建模方法及应用 . 5 2.1 数学建模的基本方法 . 5 2.2 数学建模的应用领域 . 7 2.3 数学建模的应用实例 . 7 3 数学建模方法在金融领域的应用 . 11 3.1 期权定价的数学模型 . 11 3.1.1 期权定价理论的基本思想及其发展史 . 11 3.1.2 金融价格行为 . 12 3.1.3
8、Black Scholes 模型 . 12 3.2 数学经济模型的应用 . 14 4 总 结 . 18 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参 考 文 献 . 19 1 1 绪 论 1.1 数学建模简介 数学建模 (mathematical modeling)1 是指建立数学模型的过程。简明不列颠百科全书“数学模型 (mathematical mode1)”指出，这个术语的第二种用法是“理论和分析意义下的模型，也许是更为重要的一类模型，本质上就是指在物理和生物世界中的任何现实情形。无论它是天然的或是与技术和人的干预有关的，只要它可用定量的术语来描述，就能够通过建立模型使它服从解析的规律。”有学者
9、认为，在工业设计、经济设计或任何其他设计中运用数学的语言和方法，实际上就是数学建模。 数学建模是将实际问题抽象、简化，明确变量和参数，然 后根据某种“规律”建立变量和参数间的数学关系，再解析地或近似地求解并加以解释和验证这样一个多次迭代的过程。但要进行建立真正好的数学建模必须要有有关领域的专家、工作人员的通力合作，也就是说数学建模的过程往往是一个跨学科的合作过程。 数学建模的重要性主要在于通过建模对各种实际问题获得深刻认识，在此基础上才能解决问题。因而把它们“翻译”成与实际问题有关的物理、化学或生物学等的语言，甚至平常人能懂的语言极为重要，只有这样才有可能让有关领域的专家来判定是否获得了深刻认
10、识。建模正确与否还必须用实验、现场测试或历史记录来 进行验证，通过验证的才能付之使用。 英文中 model 一词的动名词 modeling 的基本含义是“塑造艺术” 1 ，这是一种添加性工艺，塑造过程中可以修正形象，这与数学建模过程中多次迭代修改是一致的。此外，不同的建模者由于看问题角度不同所建立的模型往往不同。因此，许多人认为数学建模也带有艺术特点，我们也可以把数学建模看成是数学的塑造艺术。（参见文献 12） 数学建模方法的可应用领域非常广泛。在许多情况下，只要存在选择的机会，无论在哪个领域，几乎都可以用数学建模的理论 和方法将现实问题转换为数学问题进行分析。例如最优化和控制可用来对工业问题
11、、交通模式、河流中沉积物的输进和其他情形建立模型；信息和通讯理论可以用来对信息传输、语言特征和其他类似的问题建立模型；而堆数分析和计算机模拟可以用来对大气环流模式、工程结构中的压力分布、地形的形成和发展以及在科学和工程中许多其他过程来建立模型。在应用过程中，建立数学模型是其关键的一步。尤其是在经济发展方面，数学建模有着很重要的作用。数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。 然而，实际问题往往极为复杂，只能就主要方面先作定量研究，这正是抽象和简化的过程。2 正确的抽象和简化往往不是一次能够完成的，如由开普勒和牛顿发现的万有引力定律
12、是把星球、物体简化成没有大小只有质量的质点，再应用物理规律和数学推导得到的，而万有引力定律正是发射卫星、宇宙飞船等空间飞行器的重要依据。当然在真正设计、研究宇宙飞船及其飞行轨道时，必须考虑其质量、形状结构等因素，从而必须研究修正的数学模型。变量和参数的确定既重要，又是复杂和困难的，需要用到数学关系。数学关系可以是等式、不等式及其组合的形式，甚至可以是一个 明确的算法，能用数学语言把实际问题的诸多方面 (关系 )“翻译”成数学问题是极为重要的。同时，我们需要应用某种“规律”建立变量、参数间的明确数学关系，这里的“规律”可以是人们熟知的物理学或其他学科的定律，例如牛顿第二定律、能量守恒律等，也可以
13、是实验规律。（参见文献 3-5） 1.2 数学建模思想 数学建模 (Mathematical Mode1) 6 是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越 重要，已经渗透到各种领域。可以毫不夸张地说数学和数学建模无处不在，甚至报刊中也越来越多的出现数学建模、建模和数学模型这样的术语（包括它们的英文称 Mathematical Mode1ing、 Modeling 和Mathematical Model） ，它们正在成为人们日常生活和语言交流中常见的术语。 数学建模方法有很多种，但是建立数学模型基本思想是一样的。在建立教学
14、模型的过程中，就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。数学建模的步骤大体可分为以下几步 7 ： 模型准备：弄清问题的背景，搜集必要的信息，由此确定需要用到哪些数学知识，必要的话，可向实际工作者请教。 模型假设：抓住主要因素，忽略次要因素，做出合理及必要的假设，如“航行问题”中假设航行中船速和水速为常数。如果试图把所有因素都考虑进去，会使下一步的工作非常困难甚至无法进行，做假设的依据在于对问题内在规律的认识、准确的判断。 模型构成：根据假设用数学的语言描述对象的内在规律，建立包含常量和变量的数学模型，如“航行问题”中所建立的二元一次方程组。这里可能还需要一些相关学科的知识，要善
15、于发挥想象力，常使用 类比的方法，借用已有的模型。 模型求解：可以利用求解方程 (组 )、数值计算、统计知识及图形法对数学模型进行求解，必要时要借用数学软件和计算机技术来解决复杂的问题。 模型分析：对求解结果进行数学上的分析，比如结果的误差分析、统计分析及模型对数据3 的灵敏性分析。 模型检验：把求解结果和分析结果翻译回原问题，看是否符合实际情况，如果结果和实际不符，问题可能出在模型假设上，应该修改、补充假设、重新建模。 建立起来的比较简单的数学模型主要包括：方程 (组 )模型、不等式 (组 )模型、函数模型等。 方程（组 ) 模型：方程是描述丰 富多彩世界中的数量关系的重要语言，要求通过了解
16、社会日常生活、生产实践、经济活动的有关常识，学会用方程思想去分析和解决一些实际问题。 不等式 (组 )模型：生活中的不等式关系是普遍存在的，特别是在市场营销、生产决策的社会活动中，有关最佳决策、最优化等问题可转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关知识和方法求出某个量的变化范围。 函数模型：函数应用问题也是近年来中考的热点题型，它以函数知识为背景，针对社会热点，贴近生活实际，有强烈的时代气息，解答这类问题的关键是将实际问题中内在、本质的联系转化为数学联系，建立函数模 型，从而求得实际问题的答案。 在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产
17、品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，用快速报价系统与客户进行商业谈判，比如根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济模型的建立。 应用数学去解决经济学实际问题时，经济数学建模是十分关键的一步，同时是十分困难的一步。数学模型就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，由数字、字母或其他数学符号组成，用来描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。也 可以这样说：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构模型。 (参见文献 6-8) 1.3 金融相关概念和理论知识 金融 9 的定义： 金，金子 ；
18、 融，融通；金融 金子的融会贯通。古今中外，黄金因其不可毁灭性、高度可塑性、相对稀缺性、无限可分性、同质性及色泽明亮等特性特点，成为经济价值最理想的代表、储存物、稳定器和交换媒介之一，并因此成为世人喜爱和追逐的对象。 在现代生活中， 金融就是资金的融通 ， 是指在经济生活中 的 银行、 期货 证券或保险业者从市场主体（例如储户、 期货 证券投资者或者保险者等）募集资金，借贷给其它市场主体的经济活动 。 传统金融的概念是研究货币资金的流通的学科。西方定义，新帕尔 格雷夫经济学大字典，指资本市场的运营，资产的供给与定价。其基本内容包括有效率的市场 、 风险与收益 、 替4 代与套利 、 期权定价和
19、公司金融。 我们这里所讨论的金融是广义下面的涵义，顾名思义，就是指与货币、经济和买卖相关联的所有方面和领域。 从 金融学和其他学科的交叉学科 可以了解数学建模方法的作用和意义。 伴随社会分工的精细化，学 科交叉成为突出现象，金融学概莫能外。实践中与金融相关性最强的交叉学科有两个：一是由金融和数学、统计、工程学等交叉而形成的 “ 金融工程学（ Financial Engineering） ” ；二是由金融和法学交叉而形成的 “ 法和金融学 (Law and finance)” 。 金融工程学使金融学走向象牙塔，而法 和 金融学将金融学带回现实 。（参见文献 9） 数学方法在金融学中被广泛应用，阐
20、述金融思想从日常语言发展到数理语言，具有了理论的精神与抽象，是金融学科的一个进步。 在 应用数学应用于金融模型的高峰期 ，用到的理论有使用差分、偏 微分方程和随机积分等数学工具描述股票走势、收益率曲线等 ，但实际上 数学并未能统治金融学，完美的金融模型并没有出现，金融学经历了对数学的狂热期后， 最后还是 回归到了基本面分析的基础上 。又因为实际应用中受各因素影响较大，所以数学建模在金融领域中的应用有相当大的难度，在今后还需要加强研究。 数学不能直接处理经济领域 中 的客观情况 ，为了 能用数学解决经济领域 上 的问题 ， 就必须建立数学模型 。 数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象
21、的、简化的结构的数学刻画 。或者说 ， 数学经济建模就是为了经济目的 ， 用数学符号建立起来的等式或 不等式以及图表、 图像 、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的 刻画 。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系 ， 数学经济建模促进经济学的发展带来了现实的生产效率。 数学建模方法的实质是将抽象的数字和理论实际转化为数学模型，更加形象展现在人们眼前，从而让人们更好解决实际生活中的金融经济问题。排队是日常生活中经常遇到的现象 (如顾客到移动公司办理业务，或是病人到医院看病常常要队 )，此时要求服务的数量超过了服务机构的容量；如果增添服务设备，就要增加投资或发生空闲
22、浪费，如果服务设备太少排队就会 严重，因此管理人员必须考虑今后如何改进对策，以期提高服务质量降低成本。 (参见文献 9-11) 本次论文中，我们首先介绍数学建模的基本方法及其应用领域，并举出在某些领域中的具体实例，建立数学模型来说明建模的方法和使用过程。接着我们研究讨论数学建模在金融中的应用和意义，重点分析金融中的期权定价问题和数学建模在其他经济管理领域中的应用。 5 2 数学建模方法及应用 2.1 数学建模的基本方法 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方 法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解
23、决实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。 建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想象力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化。全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环。可用一下流程图表示 12 ： 数学模型的解答 现实对象的信息 数学模型 表达 （归纳） 现实对象 验证 （检验） 解释 （实际解答） （演绎） 求解 数学模型的解答 表述 根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将 实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来。 这是一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做必要的调查
24、研究，查找相关资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系。 求解 选择适当的方法，求得数学模型的解答。 解释 数学解答翻译回到现实对象，对实际问题进行解答。 验证 检验解答的正确性。 常用的 数学建模方法 如下： （一）机理分析法 从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法： 1. 比例分析法 建立变量之间函数关系的最基 本、最常用的方法。 2. 代数方法 求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法 是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论、对策论等学科中得到广泛应用
25、。 4. 常微分方程 解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式。 5. 偏微分方程 解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 6 （二）数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法： 1. 回归分析法 用于对函数 ()fx的一组观测值 , 1, 2 , ,iix f x i n ，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 2. 时序分析法 处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 (三 ) 仿真和其他方法 1. 计算机仿真（模拟） 实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 离散系统仿真 有一组状态变量。 连续系统仿真 有解析表达式
26、或系统结构图。 2因子试验法 在系统 上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 3人工现实法 基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。（参见文献 12） 除了上述的一般数学建模思想，我们还要根据实际情况来建立相关、更适用的数学模型。如在金融领域，我们需要在以上及其他基本的数学建模方法上，根据问题分析方法和思想，找出适用于金融发展的数学建模方法。应用于经济发展的数学建模步骤，如下： 建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生 产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题？问题
27、就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题。” 因此，发现问题的过程就是分析矛盾的过程。贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到需要解决的实际问题。如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题。 建模假设：建模假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化。 构造模型：构造模型的方法各有其优点和缺点，在构造模型时，可以同时采用，以取长补短，达到 建模的目的。 模型求解构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，在必要时，编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型求解。 模型分析：通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条款，重新建模，直到符合要求。如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。
