1、 本科毕业论文（设计） （ 20 届） 双曲型偏微分方程的求解及其应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘 要 :双曲型偏微分方程是偏微分方程极其重要的组成部分。它可以描述物体内部的振动，尤其是波动传播过程。本文通过 叙述偏微分方程以及其相关的概念定义，并且以波动方程作为双曲型偏微分方程的典型的例子来介绍其求解和应用。文章重点讲述了用分离变量法来求解波动方程的的具体过程，并简单介绍了达朗贝尔方法以及积分变换方法。 关键词 : 双曲型；分离变量；积分变换 Solution of hyperbolic partial differential
2、equations and its application Abstract： Hyperbolic partial differential equations is partial differential equation of the most important components. It can describe object interior vibration, especially wave process. This article through narrative partial differential equation and its related concep
3、ts in wave equation is defined, and hyperbolic partial differential equations as the typical example to introduce its solution and the application. This paper tells the method of separation of variables to solve with the specific process of wave equation, and briefly introduces the method of lang be
4、ll and integral transform method. Keywords: hyperbolic type ; separation of variables ; Integral transform 目录 1 绪论 . 1 1.1 问题的背景、意义 . 1 1.1.1 背景 . 1 1.1.2 意义 . 2 2 双曲型偏微分方程的基本概念 . 3 2.1 偏微分方程的基本概念 . 3 2.1.1 定义 . 3 2.1.2 定解条件和定解问题 . 3 2.1.3 定解问题的适定性 . 3 3 双曲型偏微分方程的求解 . 5 3.1 基本概念 . 5 3.1.1 双曲型 . 5 3.
5、1.2 分离变量法 . 5 3.1.3 一些方程的通解 . 5 3.2 分离变量法 . 6 3.3 达朗贝尔方法 . 12 3.4 积分变换法 . 15 4 双曲型偏微分方程 的应用 . 17 4.1 定解问题的求解 . 17 4.2 弦自由振动的求解 . 18 4.3 求解定解问题 . 19 5 结论 . 21 致 谢 . 22 参考文献 . 23 1 1 绪论 1.1 问题的背景、意义 1.1.1 背景 扩展微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，成为 18 世纪数学的鲜明特征之一，产生的新思想使数学本身大大受惠，一系列新的数学分支在 18 世纪成长起来。如，常微分方程、偏微分方程、变分
6、法 3个分支的形成。 微积分对弦振动等力学问题的应用引导一门新的 数学分支，偏微分方程的建立。包含未知函数以及偏导数的等式称为偏微分方程。 偏微分方程理论研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质与求解方法，及其应用。 一阶偏微分方程的解法。 1722年拉格朗日（ 法， 1736-1813 ）和 1819年柯西（ 法，1798-1857年 ）发现将其转化为一阶常微分方程组。 二阶偏微分方程的突破口是弦振动方程。给定一个拉紧的均匀柔软的弦，两端固定在 x轴的某两点上，考察该弦在平衡位置附近的微小横振动。弦上个点 的运动可以横向位移 ),( txu 表示，则 22222
7、 xuatu 。这个方程称为弦振动方程，或一维的波动方程。 1715 年和 1727 年泰勒和约翰 .伯努利分别提出了建立弦振动方程的问题。 1747 年达朗贝尔（ 1717-1783 ）发表弦振动研究和 1749 年欧拉都导出了弦振动方程并求出解，成为偏微分方程研究的开端。 1753年丹尼尔 .伯努利的论文（ 1755年发表）在假定所有可能的初始曲线均可表为正弦级数的前提下，导出了具有正弦周期模式的解。欧拉在 1759 年 的论文（ 1766 年发表）中将弦振动方程作了推广，讨论了二维鼓膜的振动和声波的三维传播，分别得到了二维和三维的波动方程，获得了解的初步性质。波动方程现称为双曲型偏微分方
8、程。 另一重要类型的二阶偏微分方程是位势方程，是 1752年欧拉在研究流体力学时提出的。欧拉证明了对流体内任一点的速度分量 x ,y ,y ，一定存在函数 ),( zyxs （速度势）满足0222222 z sy sx s ，这就是位势方程。在热传导过程中，当热运动达到平衡状态时，温度 u也满足上述方程，所以它也称为调和方程。 1785 年拉普拉斯（法， 1749-1827年）用球调和函数求解，稍后又给出了这方程的直角坐标形式。现在称这方程为拉普拉斯方程，这属2 于椭圆形偏微分方程。 对二阶偏微分方程的求解构成 19 世纪数学家和物理学家关注的中心问题之一 1-4。 1.1.2 意义 在科学技
9、术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少 问题有多个变量的函数来 描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上 的张力 状态的描述出的量叫 做张量 ，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 随着电子计算机的出现和发展 , 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用 .在科学的计算机化进程中 ,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展 .由于科学基本
10、规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科 学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程 . 随着 物理科学所 研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 3 2 双曲型偏微分方程的基本概念 2.1 偏微分方程的基本概念 这一节，我们来了解一下关于偏微分方程的相关概念，如定解条件和定解问题以及定解问题 的适定性。 2.1.1 定义 含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方
11、程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。 方程的个数是 1的称为方程式，方程的个数多于 1的称为方程组。对于方程组而言，一般要求方程的个数与未知函数的个数相同。如果方程的个数少于未知函数的个数，称方程组是欠定的。如果方程组的个数多于未知函数的个数，称方程组是超定的。 方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方 程（组）的阶数。 2.1.2 定解条件和定解问题 给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态，这种解通常有无穷多个。特解除了要求满足方程外，还要满足给定的外加（特殊）条件。对偏微分方程也是一样的。换句话说，为了完
12、全确定一个物理状态，只有相应的偏微分方程是不够的，必须给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件。描述初始时刻物理 状态的定解条件称为初值条件或初始条件，描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。 2.2.3 定解问题的适定性 对于不同的物理问题，一般来讲其定解条件也是（例如，弦振动问题和热传导问题有不同的初值条件，描述不同物理状态的热传导问题也有不同的边界条件）。从数学上来看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述一个给定的物理状态，一般来讲有以下三个标准： （ 1）解的存在性 所给的定解问题有解 （ 2）解的
13、唯一性 所给的定解问 题只有一个解 （ 3）解的稳定性 当定解条件（初值条件，边界条件）以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也有微小变动。解的稳定性也只有微小变动。解的稳定性也称为解关4 于参数的连续依赖性。 解的存在性、唯一性和稳定性，三者合起来称为解的适定性。一般来说，一个具体的物理问题在一定的条件下，总有唯一确定的状态，反应在定解问题中就是解的存在唯一性。定解条件都是通过测量和统计而得到的，在测量和统计的过程中误差总是难免的，同时在建立数学模型的过程中也多次用了近似 5-10。 5 3 双曲型偏微分方程的求解 3.1 基本概念 首先，让我们了解一下有关于双曲型偏微分方程的概念。比如什么
14、是双曲型的，什么是分离变量法以及了解常微分方程中的一些解，为后面我们要讲到的方法的求解做准备。 3.1.1 双曲型 考察两个自变量的二阶线性偏微分方程 fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2 ， （ 3.1.1） 其中 ija ,ib ,c ,f 都是 xx ,y 的连续可微实值函数，并且 11a ， 12a ， 22a 不同时为零。 存在任一点 ),( 00 yx 的一个领域内。 结论 如 果 在 点 ),( 00 yx （ 任 一 点 ),( 00 yx 的 一 个 领 域 内 ） 处02211212 aaa ，则称方程（ 3.1.1）在点 ),( 00 yx
15、处是双曲型的。 3.1.2 分离变量法 给定一个二元数组 ),( txu 。 0 c o s),( n n xnatxu ， （ 3.1.2） （ 3.1.2）式实际上一些变量分离形式的函数 xntan cos)( 的和（叠加）。这就启发我们设法求出一个线性方程线性方程的具有上述形式的解。求这种形式的解的方法就称为分离变量法 3.1.3 一些方程的通解 我们首先来了解一下有关于常系数二阶线性常微分方程的通解。 给定一个常系数二阶线性常微分方程 0 cybyay ， 对应的特征方程是 02 cbkak ，有两个根为 1k 和 2k 。根据 1k ， 2k 的不同情况，有下面的已知结论： (1)
16、当 1k ， 2k 为实数且 21 kk 时， 6 xx 21 k2k1 eC+eC = y ( x ) ； (2) 当 kkk 21 为实数时， xk21 x )eC(C = y (x ) ； （ 3）当 ik 1 ， ik 2 时， x)s inCc o s(Ce = y ( x ) 21 xx 。 3.2 分离变量法 有了以上的基础知识打底，我们现在就来求解典型的双曲型偏微分方程。 这里我们主要讨论具有很强实际背景的一个典型的二阶线性偏微分方程，是研究弦振动的方程，称为波动方程，属于双曲型。这里运用分离变量法。 给出具有任意初始位置（位移）和速度时这个问题的完整解答，即求解描述端点 固定
17、的弦振动的波动方程的边值问题。 假设弦沿 x 轴张紧放置，端点分别固定在 x=0 和 x=L 处（图 1）。令 ),( txu 表示弦在 t 时刻 x 点处的位置。我们知道 u 满足一维波动方程： 022222 xuctu ， 0,0 tLx （ 3.2.1） 为求出 u ，我们将求解这个方程，其边界条件为 0),0( tu 和 0),( tLu 对所有 0t ， （ 3.2.2） 初始条件为 )()0,( xfxu 和 )()0,( xgxtu 当 Lx0 。 （ 3.2.3） 边界条件说明弦的端点在任 何时刻都是固定的，而初始条件给出的弦的初始形状)(xf ，以及其初始速度 )(xg 。 我们将给出这个问题的两个解，一个是基于所谓的分离变量法，这个非常有力的方法将用来求解这里的偏微分方程；另一个解是由达朗贝尔发现的，用闭形式来表达 u ，从而得
