1、 本科毕业论文（设计） （ 201 届） 微积分理论中的重要思想及其应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 - 2 - 摘要： 本文主要介绍了函数极限的概念，极限存在的条件以及它的一些基本性质。然后在极限的基础上阐述了微分和积 分的概念。微分中值定理包括拉格朗日定理、罗尔定理、柯西中值定理，牛顿 -莱布尼茨公式则是简便计算定积分的有力工具。最后文章介绍了极限所反映的哲学思想如量变与质变、过程和结果、有限与无限等对立统一关系以及微积分在实际生活中的应用。 关键词： 极限；微分；积分；哲学思想 The important thought of t
2、he theory of calculus and its - 3 - applications Abstract: This paper mainly introduces the concept of functional limit, the condition of the existence of limit and its basic properties. Then it introduces the concepts of differential and integration. Differential mean-value theorem includes Lagrang
3、es theorem, Rolles theorem and Cauchy mean-value theorem, Newton-leibniz formula is the definite integral calculates the most essential method. Finally this paper introduces that limit contains the philosophy thought such as quantitative and qualitative change, process and result, finite and infinit
4、e. It also introduces the application of calculus in real life. Key words: limit; differential;integral;philosophy 目录 1 绪论 . 1 本科生毕业论文（设计） 1.1 问题的背景、意义 . 1 1.1.1 背景 . 1 1.1.2 意义 . 1 2 函数极限 . 3 2.1 函数极限的概念 . 3 2.2 函数极限的性质 . 4 2.3 函数极限存在的条件 . 5 3 导数和微分 . 6 3.1 导数的概念 . 6 3.1.1 导数的定义 . 6 3.1.2 导数的几何意义 .
5、 7 3.2 微分 . 7 3.2.1 微分的概念 . 7 3.2.2 微分的运算法则 . 8 3.2.3 高阶微分 . 8 3.3 微分中值定理 . 9 3.3.1 拉格朗日定理和函数的单调性 . 9 3.3.2 柯西中值定理 . 10 4 定积分 . 12 4.1 定积分的概念和莱布尼茨公式 . 12 4.2 可积条件 . 13 4.3 定积分的性质 . 13 5 微积分中的哲学思想及应用 . 15 5.1 极限思想所蕴含的哲学思想 . 15 5.2 微积分的实际应用 . 16 6 总结 . 20 致谢 . 21 参考文献 . 22 本科生毕业论文（设计） 1 1 绪论 1.1 问题的背景
6、、意义 1.1.1 背景 古典意义下的微积分是微分学和积分学的总称，是马克思主义经典著作中所说的“变量数学”或“高等数学”的主体部分。它作为一门学科，产生于 17 世纪后半期，以牛顿和莱布尼茨的工作为标志，经过 18 世纪的讨论、研究，于 19 世纪才用极限法改造、定型成今天的形式。但是微 积分中某些重要概念却萌芽于两千多年以前。古希腊芝诺的“二分法”、“阿基里斯追龟”和我国庄子中“一尺之锤”等都是早期的极限思想。我国古代用“割圆术”求圆的面积，以及希腊用“穷竭法”计算曲边图形的面积和体积，都是极限思想在数学中的应用。今天的微分和积分思想虽然可以追溯到古代原子论学说，但是要知道 17 世纪中期
7、之前，二者却互不相干，各自独立而又平行地发展着。 从 16 世纪后半期到 17 世纪前半期，积分思想是围绕“求积问题”发展的。它主要包括几何学和力学两个方面的问题。几何学方面是求平面曲线包围的面积、空间曲面包围的 体积以及求曲线的弧长；力学方面是计算非匀速运动物体经过的路程、物体的中心以及液体压力等。求积法从最初修改穷竭法开始，到同维无穷小法，卡瓦列利的不可分元法，再到不可分元的算术化，中间经过许多人的工作，积聚了极其丰富的材料，诞生了现代的积分学。 在历史上，几何学中求曲线在其上一点之切线问题，力学中求质点运动的瞬时速度问题，以及求变量的极值问题，是产生微分学的基本问题。在牛顿以前，求切线问
8、题对微积分的产生有直接的影响。马克思指出“全部微分学产生于求任意一条曲线上任何一点的切线的问题”，于是产生了笛卡尔用“重根法” 作切线，费尔马借助微小增量作切线，罗伯尔瓦等借助合成运动速度作切线，巴罗等利用“特征三角形”作切线等等。微积分经过大约一个半世纪的酝酿，以费尔马和巴罗的工作为结束 1。 1.1.2 意义 在实际应用上，利用变化率来描写的量是多不胜举。例如曲线的斜率、变速运动的速度、交流电的电流强度、空间温度场的梯度以及现代经济学上的边际劳动生产率、边际税率等等，反过来，已知斜率、速度等变量来寻求满足的方程或函数等。与此同时，微积分对其他学科以及人类物质文明也有着巨大的影响。有了微积分
9、就有了工业革命，就产生了现代化社会， 同时现代的工程技术直接影响着人们的生产，而工程技术的基础就是微积分。由此可见，微积分的重要性。 微积分也蕴含着一些哲学思想，它体现了对立与统一的规律，渗透着辩证法的思想，为解决芝诺悖论提供了新思路，这个悖论事实上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的，我们运用微积分中的极限来解决，无限是有限的发展，把它定义为“部分和”的极限，只有借助极限才可本科生毕业论文（设计） 2 以认识无限，于是就得到了整体与部分相互转化的关系，同时微积分也蕴含着物质是无限可分的，物质世界是不断变化等真理 2。 本科生毕业论文（设计） 3 2 函数极限 2.1 函数极限的概念
10、定义 1 设 f 为定义在 ,a 上的函数， A 为定数。若对任给的 0 ，存在正数 aM ，使得当 Mx 时有 Axf , 则称函数 f 当 x 趋于 时以 A 为极限，记做 Axfx lim 或 xAxf 。 例 1 证明 01lim xx证 任给 0 ，取 1M ，则当 Mx 时有 Mxx 1101 ， 所以 01lim xx。 定义 2（函数极限的 定义） 设函数 f 在点 0x 的某个空心领域 0U 0;x 内有定义， A为定数。若对任给的 0 ，存在正数 ，使得当 00 xx 时有 Axf ， 则称函数 f 当 x 趋于 0x 时以 A 为极限，记作 Axfxx 0lim 或 0x
11、xAxf 。 例 2 设 242 xxxf ，证明 4lim2 xfx证 由于当 2x 时， 2424244 2 xxxxxf ， 故对给定的 0 ，只要取 ，则当 20 x 时有 4xf 。这就证明了 4lim2 xfx 。 定义 3 设函数 f 在 0;xUo （或 0_ ;xUo ）内有定义， A 为定数。若对任给的 0 ，本科生毕业论文（设计） 4 存在正数 ，使得当 00 xxx （或 00 xxx ）时有 Axf ， 则称数 A 为函数 f 当 x 趋于 0x （或 0x ）时的右（左）极限，记作 Axfxx 0lim （ Axfxx 0lim ）， 或 0xxAxf （ 0xxA
12、xf ）。 右极限与左极限统称为单侧极限。 f 在点 0x 的右极限与左极限又分别记为 xfxf xx 0lim00 与 xfxf xx 0lim00 。 关于函数极限 xfxx 0lim与相应的左、右极限之间的关系，有如下定理： 定理 2.1 AxfxfAxfxxxxxx 000 limlimlim3。 2.2 函数极限的性质 定理 2.2（唯一性）若极限 xfxx 0lim存在，则此极限是唯一的。 定理 2.3（局部有界性） 若 xfxx 0lim存在，则 f 在 0x 的某空心领域 ;0xUo 内有界。 定理 2.4（局部保号性） 若 0lim0 Axfxx（或 0 ），则对任何正数 A
13、r （或 Ar ），存在 0xUo ，使得对 一切 0xUx o 有 0rxf （或 0 rxf ）。 定理 2.5（保不等式性） 设 xfxx 0lim与 xgxx 0lim都存在，且在某领域 0;xUo 内有 xgxf ，则 xfxx 0lim xgxx 0lim 。 定理 2.6（迫敛性） 设 Axgxfxxxx 00 limlim，且在某 0;xUo 内有： xgxhxf ， 则 Axhxx 0lim。 定理 2.7（四则运算法则） 若极限 xfxx 0lim与 xgxx 0lim都存在，则函数 gf ， gf 当本科生毕业论文（设计） 5 0xx 时极限也存在，且 1） xgxfxg
14、xfxxxxxx 000 limlimlim ； 2） xgxfxgxfxxxxxx 000 limlimlim ； 又若 0lim0 xgxx，则 gf/ 当 0xx 时极限存在，且有 3） xgxfxg xf xxxxxx 000 lim/limlim 。 2.3 函数极限存在的条件 定理 2.8（归结原则） 设 f 在 );( 0 xUo 内有定义。 xfxx 0lim存在的充要条件是：对任何含于 );( 0 xUo 且以 0x 为极限的数列 nx ，极限 xfxx 0lim都存在且相等。 定理 2.9 设函数 f 在点 0x 的某空心右领域 )( 0xUo 有定义 。 Axfxx 0l
15、im的充要条件是：对任何以 0x 为极限的递减数列 )( 0xUx on ，有 Axfnn lim。 定理 2.10 设 f 为定义在 )( 0xUo 上的单调有界函数，则右极限 xfxx 0lim存在。 定理 2.11（柯西准则） 设函数 f 在 );( 0 xUo 内有定义。 xfxx 0lim存在的充要条件是：任给 0 ，存在正数 ，使得对任何 x ， x );( 0 xUo 有 xfxf 4。 本科生毕业论文（设计） 6 3 导数 和微分 3.1 导数的概念 3.1.1 导数的定义 导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动
16、规律求速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的 。 定义 1 设函数 xfy 在点 0x 的某邻域内有定义，若极限 000lim xxxfxfxx ， （ 1） 存在，则称函数 f 在点 0x 处可导，并称该极限为函数 f 在点 0x 处的导数，记作 0 xf 00000 limlim xfx xfxxfxy xx ， （ 2） 所以，导数是 函数增量 y 与自变量增量 x 之比 xy 的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数 0 xf 则为 f 在 0x 处关于 x 的变化率。 若（ 1）（或（ 2）式极限不存在，则称 f 在点 0x 处不可导。 定理 3.1 若函数 f 在点 0x 可导，则 f 在点 0x 连续。 定义 2 设函数 xfy 在点 0x 的某右邻域 00,xx 上有定义，若右极限 x xfxxfxyxx 0000 limlim（ x0 ）， 存在，则称该极限为 f 在点 0x 的右导数，记作 )( 0 xf 。 类似地，我们可定义左导数 x xfxxfxf x 0000 lim ， 右导数和左导数统称为单侧导数。 如同左、右极限与极限之间的关系，我们有以下定理： 定理 3.2 若函数 xfy 在点 0x 的某邻域内有定义，则 0 xf 存在的充要条件是 0 xf 与
