1、 本科毕业论文（设计） （ 20 届） 无穷限广义积分的数值计算 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 :本文首先归纳了常用的数值积分公式，包括梯形法则、复合梯形法则、辛普森法则、复合辛普森法则、 Gauss 公式等；然 后主要归纳总结了几种无穷限广义积分的数值计算方法，包含变量替换、无穷区间的截断、无穷区间上的高斯求积公式、极限过程；最后举例给出了两种无穷限广义积分的数值计算方法在 Matlab 环境中的编程实现，并加以比较 . 关键词 ： 无穷限；广义积分；数值计算 Numerical Calculation of Infinite L
2、imited Improper Integration Abstract: In this thesis, firstly the general methods of numerical integration are concluded, including the trapezoidal rule, composite trapezoidal rule, Simpsons rule, composite Simpson rule, Gauss formula, and so on. Then several infinite limit of improper integration n
3、umerical method are summarized, including variable substitution, truncation of infinite interval , Gaussian formula over infinite interval, the limit process. Finally, an example is given to describe two kinds of infinite limit the numerical computation method of improper integration in the Matlab e
4、nvironment of the programming realization, and compared . Key words: infinite limit;improper integration;numerical calculation 目 录 1 绪论 . 1 1 1 问题的背景 . 1 2 数值积分的一般方法 . 2 2 1 梯形法则 . 2 2 2 复合梯形法则 . 2 2 3 辛普森法则 . 3 2 4 复合辛普森法则 . 3 2 5 Gauss 公式 . 4 3 无穷积分的敛散性判别 . 5 4 无穷限广义积分的数值计算方法 . 6 4 1 变量替换 . 6 4 2
5、无穷区间的截断 . 6 4 3 无穷区间上的高斯求积公式 . 7 4 4 极限过程 . 8 4 5 无穷限广义积分的新方法 . 8 5 Matlab 实例 . 9 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 16 1 1 绪论 1 1 问题的背景 在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分” 根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分 1 比如现在 人类要发射人造地球卫星或
6、发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢 ? 地球上的物体要脱离地球 引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度第二宇宙速度为 11 2公里 /秒，是第一宇宙速度的 2倍地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球 我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题 在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分对无界区间，如 ,a ，如果对任何有限的 b ， f 在区 间 ,ab 上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为 a lim babf x d x f x d x 对无界的积分区间，可
7、以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下： 一 种 方 法 就 是 采 用 专 门 计 算 无 穷 限 广 义 积 分 的 求 积 公 式 ， 比 如 说 高 斯 -拉 盖 尔（ Gauss-laguerre）或者高斯 -艾尔米特求积公式 另外就是采用变量替换，无穷区间的截断，无穷区间上的高斯求积公式，极限过程等方法去解决无穷限广义积分的数值计算 2 2 数值积分的一般方法 定积分的数值近似称为数值求积 2它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分 许多定积分都无法用
8、解析方法求出对于那些并不知道函数 fx的表达式只能通过实验得到fx在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法 3 2 1 梯形法则 4 把以曲线 fx为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后，估计小曲边梯形面积的一个方法是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积，但是这时误差会比较大事实上，这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线 fx我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式 一个更好的方法就是用一条折线逼近曲线 fx，事实上，我们让小矩形的上边连续倾斜直到最好地拟合曲线，得到相应的求积公式是 2ba baf x d x f a f b, 2.1.1 对所有 1f （即次数最多是 1 次的全体多
9、项式）公式精确成立此外，它的误差项是 31 12 b a f , 其中 ,ab 通过多项式逼近中的误差 1 2xf x p x f x a x b 积分，再利用积分中值定理，可以确定梯形 法则的误差项 2 2 复合梯形法则 如果划分区间 ,ab 为： 01 na x x x b , 那么在每个子区间上可应用梯形法则这时结点未必是等距的这样，我们得到复合梯形法则 1 111112iinnbxi i i iax iif x d x f x d x x x f x f x , 2.1.2 对等间距 h b a n 及结点 ix a ih ， 复合梯形法则具有形式 0 nba if x d x h f
10、 a ih， 2.1.3 3 其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半复合梯形法则的误差项是 21 12 b a h f , 其中 ,ab 对于每个子区间上的误差 项求和并利用以下事实：在 ,ab 内存在一点 使得 1 1 n iif n f ，其中 1,i i ixx 以及 1 n b a h ，即平均值，这样便得到总误差项 2 3 辛普森法则 5 对任意区间 ,ab 的类似计算可得到熟悉的辛普森法则： 462ba b a a bf x d x f a f f b 2.1.4 从它的推导过程可知，对于所有次数 2 的多项式辛普森法则是精确成立的出乎意料的是， 对于所有次数
11、3 的多项式它也精确成立 与辛普森法则联系在一起的误差项是： 5 41 290 b a f , 其中 ,ab 2 4 复合辛普森法则 在每个小区间 1,kkxx 上使用辛普森求积法则，再求和得到逼近 ba f xdx的求积公式 bna f x dx S 1121 46 kkkh f x f x f x ， 2.1.5 其中 112 1 ,2 kkkx x x 公式 2.1.5 称为复合辛普森法则 nS 的下标 n 表示把积分区间 ,ab 分为 n 等分 设 4 ,f C a b ，那么复合辛普森法则的误差为 bn aE f f x dx S 442880bahf ， ,ab 4 2 5 Gau
12、ss 公式 6 设有计算 baI f f x dx 2.1.6 的求积公式 0nn k kkI f A f x ， 2.1.7 其中求积节点 0,1,kx k n ， 求积系数 0,1,kA k n 如果其代数精度为 21n ，则称为求积公式为 Gauss-Legendre 公式（简称 Gauss 公式），称相应的求积节点为 Gauss 点 由代数精度的定义知，式 2.1.6 为 Gauss 公式的充分必要条件是求积节点 0nk kx 和求积系数 0nk kA 满足下列方程组： 002202 1 2 101nbkaknbkkaknbkkaknbnnkkakA dxx A xdxx A x dx
13、x A x dx 2.1.8 Gauss 积分不但具有高精度，而且是稳定的，其原因是由于它的求积系数具有非负性 高斯求积公 式 ,它不但具有最高的代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证因此是高精度的求积公式高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律，所以不便编程实现，在实际应用中，可以把低阶高斯公式进行复化 7 5 3 无穷积分的敛散性判别 8 无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题，是求解无穷积分近似值的一个先决条件由定义知道，无穷积分 a f x dx收敛与否，取决于函数 uaF u f x dx在 u时 是否存在极限因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则 无穷积分 a f x dx收敛
14、的充要条件是：任给 0 ，存在 Ga ，只要 1u 、 2u G ，便有 2 1 21u u ua a uf x d x f x d x f x d x 3.1.1 我们知道，无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的 9在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通项是收敛于零的那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢 首先我们看看无穷限反常积分 a f x dx收敛时的几何意义：若 fx 是 ,a 上的非负连续函数，则 a f x dx是介于曲线 y f x ，直线 xa 以及 x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积 J 从而可知： a f x dx实际上是表示曲线 y f x
15、与坐标轴所围成的面积的代数和而当 a f x dx收敛时，是否 fx在无穷远处的极限一定为零时，图形的面积才可以计算呢 ?如果回答否定，那么在哪些情况下，被积函数在无穷远处的极限才等于零呢 ?经过对若干例子的研究，我们得出结论：上述第一个问题的回答是否定的，并且有这样的事实： a f x dx收敛时 fx在无穷远处的极限并不一定为零 以下就是经过对 fx作某些限制而得出的几个结论 : 定理 3.1.1 若 a f x dx收敛且 limx fx存在，则有 lim 0x fx ； 定理 3.1.2 若 a f x dx收敛且 fx单调，则 lim 0x fx ； 定理 3.1.3 若 a f x
16、 dx收敛且 fx一致连续，则有 lim 0x fx ； 定理 3.1.4 若 a f x dx收敛且 fx有界， lim 0x fx 6 4 无穷限广义积分的数值计算方法 考虑无穷区间上的积分 aI f f x dx, 4.1.1 其中 a 为有限值或 常用的无穷区间上的积分的求解方法 :10 4 1 变量替换 对于式 4.1.1 ，作变量替换 xte ，可将区间 0, 变为区间 0,1 因此有 110 0 01 ln gtf x d x f t d t d ttt 4.1.2 这样就把无穷区间上的一个积分化成为了有限区间上的积分若 gtt 在 0t 的邻域内有界，那么式 4.1.2 的右边
17、是一个正常积分，反之，积分是一个反常积分，上述变换只是把一种困难装换成另一个困难 变量替换还有很多不同类型 例 4.1 计算积分 221 11sin dxxx 解 令 1y x ，那么有 1 2221011s in s ind x y d yxx ， 对 2siny 泰勒级数展开，有 1 222101 1 1 1 1 1s i n s i n 3 4 2 1 3 2 0 7 5 6 0 0d x y d yxx 0.310268 4 2 无穷区间的截断 将被积函数的“尾巴”略去，可使无穷区间化为一个有限区间，此方法要求事先用某种简单的解析方法估算出尾部的量值选取 Ra ，使 0 f x dx , 4.1.3 其中 为允许误差，那么无穷区间上的积分 4.1.3 可以用 Ra f xdx来近似
