1、 本科毕业论文（设计） （ 20 届） 中国古代数学中的极限思想 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： “ 极限 ” 是高等数学中最基础和最重要的概念之一，高等数学中许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。其中 ，中国古代数学中的极限思想对整个数学的发展起到了非常重要的作用。本文在中国古代数学中前人研究的基础上，结合国外古代极限思想，介绍极限思想的萌芽、发展到完善的整个过程，并对其相应的应用和影响做较为全面的探讨。我们首先介绍中国古代的极限思想，接着从三个角度对中西方的极限思想进行比较，最后总结中国古代极限思想对后世数学的影响极其在
2、文学、哲学和实际生活中的应用。 关键字： 古代数学；极限思想；割圆术；圆周率；微积分 The Ancient Chinese Mathematics Limit Thought Abstract： “ Limit “ is one of the most basic and most important concepts in the field of higher mathematics, many deep-level mathematics theories and their applications are extension and deepening of limit. Espe
3、cially the ancient Chinese limit thought plays a very important role during the whole development of mathematics. Based on the ancient Chinese mathematics and previous studies, combined with the ancient limit of foreign ideas, in this paper we will introduce the whole process of limit thought from e
4、mbryonic, development to perfect and make a comprehensive discussion about its corresponding applications and impact. First of all, we introduce the ancient Chinese limit thought. Then, we compare the Chinese and the west limit thought from three aspects. Last, we summarize the influence of the anci
5、ent Chinese mathematics limit thought on mathematics and the application in literature philosophy and actual life. Key words： Ancient mathematics; limit thought; the method of cutting circle; ; calculus . 目录 1 绪论 . 1 1.1 问题的背景和意义 . 1 1.2 极限相关概念 . 2 1.2.1 数列极限 . 2 1.2.2 函数极限 . 2 2 中国古代的极限思想 . 4 2.1 极
6、限思想的萌芽 . 4 2.2 关于数 . 4 2.2.1 的来历 . 4 2.2.2 的数值精确度的发展 . 4 3 中西方极限思想的比较 . 7 3.1 割圆术与穷竭法 . 7 3.2 先秦极限观与古希腊极限观的比较 . 8 3.2.1 对无穷大和无穷小认识的比较 . 8 3.2.2 对无限可分性、连续性以及无穷数和的认识比较 . 8 3.3 从中西方哲学传统看微积 分的创立 . 9 4 对后世数学的影响及其应用 . 10 4.1 对后世数学的影响 . 10 4.2 极限思想在文学和哲学方面的影响 . 10 4.3 极限思想在古代的应用 . 11 5 结论 . 13 致谢 . 错误 !未定义
7、书签。 参考文献 . 14 1 1 绪论 1.1 问题的背景和意义 微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。美国学者 C.B.波斯湾耶在他的微积分概念史一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无限性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的启 迪，继承并发展了极限思想，在为九章算术作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成为数学方法，这种方法在圆田术和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准备了必要的条件。（参见
8、文献 1） 作为数学中最重要的思想和方法之一，极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联系初等数学和高等数学的一条重要的纽带。这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。作为研究函数最基本的方 法 极限方法，早在古代就有比较清楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具体实例。极限的应用及推广已涉及社会、科学及研究的很多方面，对其进行研究不仅在理论上也在实践中具有很大的意义。 微积分的形成与发展是数学界的重要话题。但翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述 ， 无论是外国
9、人编写的 ， 还是我国的作者 ， 无论是过去 ， 还是现在 ， 大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名 ， 却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。大量历史事实无可辩驳地说明 ， 我国是人类数学的故乡之一。中华民族有着光辉灿烂的数 学史 ， 中国古代数学对微积分形成所做出的贡献 ， 理应受到世人的承认与尊重。众所周知 ， 在牛顿与莱布尼兹发明微积分前经历了十分艰难曲折的一个世纪的酝酿阶段。作为产生微积分的必要条件中 ， 有些是在我国早已有之，而为希腊式数学所不及的。 学习和研究中国古代极限可以对学生进行爱国主义教育。现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就，对我国在数
10、学史上的贡献提得很少 , 其实中国数学有着光辉的传统，有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家，有中国剩余定理、祖暅公理、 “ 割圆术 ”等具有世界影响的数学成就，对其中 很多问题的研究也比国外早很多年。然而，现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。从明代以后中国数学逐渐落后于西方， 20世纪初，中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。在新时代的要求下，除了增强学生的民族自豪感之外，还应该培养学生的 “ 国际意识 ” ，让学生认识到爱国主义不是体现在 “ 以己之长，说人之短 ” 上，在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高，我们要
11、尊重外国的数学成就，虚心的学习， “ 洋为中用 ” 。 因此，结合国外的极限思想的应用实例，对中国古代极限思想2 的理论及实际应用进行研究十 分必要。 1.2 极限相关概念 极限是数学的一个重要概念。在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值 ， 那么该定值就叫做变化的量的极限。 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、 极限理论 (包括级数 )为主要工具来研究函数的一门学科。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用 极限思想 解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结
12、果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果 。 极限思想是 微积分 的基 本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、 导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问 ：“ 数学分析是一门什么学科 ?” 那么可以概括地说 ：“ 数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科。 ” 1.2.1 数列极限 若函数 f的定义域为全体正整数集合 错误 !未找到引用源。 ，则称 f： 错误 !未找到引用源。 或 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 为数列。 定义 1 2 设 错误 !未找到引用源。 为数列， a为定数。若对任给的正数 ，总存在正整数 N，使得当 错误 !未找到
13、引用源。 时有 错误 !未找到引用源。 , 则称数列 错误 !未找到引用源。 收敛于 a，定数 a称为数列 错误 !未找到引用源。 的极限，并记作 错误 !未找到引用源。 . 1.2.2 函数极限 x 趋于 错误 !未找到引用 源。 时函数的极限 定义 2 3 设 f为定义在 a,错误 !未找到引用源。 ） 上的函数， A为定数。若对任给的 错误 !未找到引用源。 ，存在正数 M，使得当 错误 !未找到引用源。 时有 则称函数 f当 x趋于 错误 !未找到引用源。 时以 A为极限， 记作 错误 !未找到引用源。 . x趋于 错误 !未找到引用源。 时函数的极限 定义 33 设函数 f在 错误
14、!未找到引用源。 的某个空心邻域内有定义 ,A为定数。若对任给的 错3 误 !未找到引用源。 ，存在正数 ，使得当 错误 !未找到引用源。 时有 错误 !未找到引用源。 , 则称函数 f当 x趋于 错误 !未找到引用源。 时以 A为极限，记作 错误 !未找到引用源。 . 本次论文中，我们首先介绍极限思想的萌芽和数与极限的关系。接着对中西方的极限思想进行比较，分别从割圆术与穷竭法的角度考 察古代东西方民族思维方式的异同；从先秦极限观与古希腊极限观方面比较论述；从中西方哲学传统看微积分的创立。最后对极限思想对后世数学的影响，在文学和哲学方面的反映，以及其在古代中的应用进行总结。 4 2 中国古代的
15、极限思想 2.1 极限思想的萌芽 极限思想是人们对有限、无限问题不断深化认识的过程中取得的。从萌芽到完善，经过了近 2000年时间，可以说是数学史上一次漫长的旅途。 早在春秋战国时期（公元前 770 前 221）道家的代表人物庄子就有了极限思想，据庄子“天下篇”中记载 ：“一尺之棰，日取其半，万事不竭。” 4意思是说，一尺长的木棒每天取下前一天所剩的一半，如此下去，永远也取不完。这反映了古人对极限的一种思考，它不但表达了我们祖先的极限思想，也提供了一个“无穷小量”的实际例子。这个经典论断，至今在微积分的教学中还经常使用。 我国古代的极限思想与方法主要寓于求积 (面积、体积 )理论。 刘徽继承和
16、发扬了先秦诸子关于极限的思想用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求积问题。在九章算术的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则 :“半周半径相乘得积步。”即圆的面积 S与一个长为半周 错误 !未找到引用源。 ,宽为半径的长方形的面积相等 :错误 !未找到引用源。 。（参见文献 5） 刘徽注文首先指出古率“周三径一” （ 即 = 3） 实际上既是圆内接正六边形的周长 C与直径2R之比 ， 以此说明古率之粗疏。为推证圆面积公式 ， 刘徽从圆内接正六边形开始 ， 不断割圆 ， 徽注曰 ：“ 又按为图 ， 以六觚之一面乘半径 ， 因而三之 ， 得十二觚之幂。若又割之 ， 次以十二觚之一面乘半径 ， 因而六
17、之 ， 则得二十四觚之幂。割之弥细 ， 所失弥少 ， 割之又割 ， 以至于不可割 ， 则与圆合体 ， 而无所失矣。” 6 2.2 关于数 2.2.1 的 来历 如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。我国古代数学家们对这个问题研究也很早。在周髀算经和九章算术中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。 2.2.2 的数值精确度的发展 西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛（一种量器）的过程中，发现直径为一、圆周为三的古率过于粗略，经过进一步的推算，求得圆周率的数值为 3.1547。东汉著名科学家张衡推
18、算出的圆5 周率值为 3.162。三国时，数学家王蕃推算出的圆 周率数值为 3.155。（参见文献 7） 魏晋之际的著名数学家刘徽在为九章算术作注时创立了新的推算圆周率的方法 割圆术，圆周率的研究才获得了重大的进展。他设圆的半径为 1，把圆周六等分，作圆的内接正六边形，用勾股定理求出这个内接正六边形的周长。其实如果把内接正六边形的边数加倍，改为内接正十二边形，再用适当方法求出它的周长，可以看出，这个周长比内接正六边形的周长更接近圆的周长，这个内接正十二边形的面积也更接近圆面积。从这里就可以得到这样一个结论：圆内所做的内接正多边形的边数越多，它各边相加的总长度（周长） 和圆周周长之间的差额就越小
19、。所以用增加圆的内接正多边形边数的办法求圆周率，得数永远稍小于的真实数值。（参见文献 8）刘徽就是根据这个道理，从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加边数，一直计算到内接正九十六边形为止，得出它的边长和为 6.282048，而圆内接正多边形的边数越多，它的边长就越接近圆的实际周长，所以此时圆周率的值为边长除以 2，求得了圆周率是 3.141024。并得出的两个近似值就是 错误 !未找到引用源。 和 错误 !未找到引用源。 。 刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天、 皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为 3.1428；皮延宗求出圆周率值为 错误 !未找到引用源。 。以上的科学家
20、都为圆周率的研究推算做出了很大贡献。 祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据隋书律历志的记载，祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为 3.1415927；一个是 朒 数（即不足的近似值），为 3.1415926。圆周率真值正好在盈 朒两数之间。祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的 内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形 一 直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的
21、圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为 1，那么圆周小于 3.1415927误差不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。 盈朒两数可以列成不等式，如： 错误 !未找到引用源。 ， 这表明圆周率应在 盈 朒 两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是 错误 !未找到引用源。 （约等 3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另一个约等于 3.14，这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。现在我们用数论中的连分数法可知， 错误 !未找到引用源。 是一个渐进分数，渐进分数都是最佳逼近，用这种方法可求出的更精确的渐近分数为 错误 !未找到引用源。 ，用其他方法可得出在 错误 !未找到引用源。之后，第一个出现而精确程度又超过 错误 !未找到引用源。 的最 佳分数值是 错误 !未找到引用源。 ，这两个最佳逼近分子、分母都很大，使用价值很小，由此更看出祖冲之的密率更精彩。（参见文献9） 6
