1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 行列式的计算方法和应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 ： 行列式是线性代数的一个重要内容，它也是讨论线性方程组的有力工具，它在数学的很多分支中都有着广泛的应用。行列式的计算灵活多 变，具有较强的规律和技巧。本文首先介绍了行列式的概念和性质，然后在行列式的概念、性质的基础上，讨论了行列式的各种常见的求解方法，其中包括化三角法，利用范得蒙行列式求解法以及利用拉普拉斯定理的解法等，最后讨论了行列式在求解线性方程组中的应用。 关键 词 ：行列式；化三角法；范得蒙行列式；拉普拉斯定理 II
2、 Calculation and application of determinant Abstract： Determinant is an important part of linear algebra, and it is also a powerful tool in discussing linear equations, so it has a widely applications in many branches of mathematics. The method of calculating the determinant is flexible, and it also
3、 a challenging and exploratory task.In this paper, we firstly introduce the concept and property of determinant, then based on the concept and property of determinant, we discuss of the determinant methods which including triangulation Change method,Vandermonde determinant method and Laplace theorem
4、 method etc. Finally we discuss the application of determinants in the solving of linear equations. Key words: The determinant; Change triangulation ;Vandermonde; Laplace theorem III 目 录 1. 绪论 . 错误 !未定义书签。 1.1 选题的背景 . 错误 !未定义书签。 1.2 选题的意义 . 错误 !未定义书签。 2. 行列式的概念及性质 . 3 2.1 行列式的概 念 . 3 2.2 行列式的性质 . 3
5、3. 行列式的计算方法 . 6 3.1 化三角形法 . 6 3.2 按行列展开法（降阶法） . 11 3.3 递推法 . 13 3.4 加边法 . 14 3.5 析因法 . 15 3.6 辅助行列式法 . 1 错误 !未定义书签。 3.7 范德蒙行列式 . 18 3.8 利用拉普拉斯定理 . 19 4. 行列式在求解线性方程组的应用 . 21 4.1 行列式在求解标准形式的 n 元线性方程组中的应用 . 21 4.2 行列式在求解含参数线性方程组中的应用 . 23 5. 结论 . 25 致谢 . 26 参考文献 . 271 1 绪论 1.1 选题的背景 行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末
6、，它的理论体系已基本形成了。 1693年，德国数学家莱布尼茨（ Leibnie， 1646 1716）解方程组时将系数分离出来用以表示未知量，得到行列式原始概念。当时，莱布尼兹并没有正式提出行列式这一术语。 1729年，英国数学家马克劳林 (Maclaurin， 1698 1746)以行列式为工具解含有 2、 3、 4个末知量的线性方程组。在 1748年发表的马克劳林遗作中，给出了比菜布尼兹更明确的行列式概念。 1750年，瑞士数学家克拉默 (Gramer，1704 1752)更完整地叙述了行列式的展开法则并将它用于解线性方程组。即产生了克拉默法则。1772年。法国数学家范德蒙 (Vander
7、monde， 1735 1796)专门对行列式作了理论上的研究，建立了行列式展开法则，用子式和代数余子式表示一个行列式。 1172年，法国数学家拉普拉斯 (Laplace。1749梷 1827)推广了范 德蒙展开行列式的方法。得到我们熟知的拉普拉斯展开定理。 1813一 1815年 ，法国数学家柯西 (Cauchy， 1789 1857），对行列式做了系统的代数处理，对行列式中的元素加上双下标排成有序的行和列，使行列式的记法成为今天的形式。英国数学家凯菜 (Cayley），于 1841年对数字方阵两边加上两条竖线。柯西证明了行列式乘法定理。 1841年，德国数学家雅可比 (jacobi)发表的
8、论行列式的形成与性质一文，总结了行列式的发展。同年，他还发表了关于函数行列式的研究文章，给出函数行列式求导公式及乘积定理。至 19世纪末，有关行列的研究成果仍在式不断公开发表，但行列式的基本理论体系已经形成。 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的应用早已超出了代数的范围， 已 成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具 。 1.2 选题的意义 行列式是线性代数的一个重要内容，是讨论线性方程组的一个有力工具，在很多数学分支中都有着广泛的应用，行列式的计算灵活多变，具有一定的规律和技巧，选择合适的方法计算行列式就变得至关重要。 行列式的一个主要应用是解线性
9、方程组。当线性方程组的方程个数与 未知数 个数相 等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有 n 个方程和 n 个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解 当且仅当 它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。 当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推 导。行列式2 在数学中是一个函数，其定义域为的矩阵 A ，取值为一个标量，写作 )det(A 或 A 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维
10、欧几里得空间中，行列式描述 的是一个线性变换对 “ 体积 ” 所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 3 2. 行列式的概念及性质 2.1 行列式的概念 n 级行列式 nnnnnnaaaaaaaaa.212222111211 等于所有取自不同行不同列的个 元素的乘积nnjjj aaa .21 21的代数和，这里 njjj .21 是 1,2， .，n 的一个排列， 每一项都按下列规则带有符号：当 njjj .21 是偶排列时， 带有正号；当 njjj .21 是奇排列时， 带有 负 号 。这一定义可以写成
11、 nnnnjjjjjjjjjrnnnnnnaaaaaaaaaaaa. . .1. . . . . . .2211212. . .1. . .212222111211 这里 njjj .21表示对所有 n 级排列的求和。 定义表明，为了计算 n 级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积 。 把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号 。 由定义看出， n 级行列式是由 !n 项组成的 。 如计算行列式1210 0 00 0 00 0 00 0 0nnaaDaa 的值 。 解：根据定义， D 等于 !n 项的代数和 .然而在这个行列式
12、里，除了 12naa a 这一 项外，其余各项均为 0，与其对应的排列为 23 1n ， 故 1 1( 1)n nD a a 。 2.2 行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起来 。 事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地， n 级行列式中的项可以写成 nn jijiji aaa 2211, (1) 其中 nn jjjiii 2121 , 是两个 n 级排列 .利用排列的性质，不难证明 (11)的符号等于 4 )()( 2121)1( nn jjjiii . (2) 按 (1)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指
13、标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 nnniiiniiiiiinnnnnnaaaaaaaaaaaa 21212121)(212222111211)1( . (3) 由此即得行列式的下列性质： 性质 1.行列互换，行列式的值不变，即 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa. . . . . . . . . . . . .212221212111212222111211 性质 2.行列式中某一行（列）元素有公因子 k ，则 k 可以提到行列式记号之外，即 nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaa
14、kakakaaaa212111211212111211这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。 事实上， ininiiiinnnniniinAkaAkaAkaaaakakakaaaa . . .2211212111211 ininiiii AaAaAak . . .2211 nnnniniinaaaaaaaaak2121112115 令 0k ，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。 性质 3.如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即 nicba ijijij ,.,2,1 则这个行列式等于另两个行列式之和。 即 nnnjnnjj
15、nnnjnnjjnnnjnjnnjjjjacaacaacaabaabaabaacbaacbaacba12221111111222111111122221111111这就是说 ，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 性质 4.如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是说两行的对应元素都相等。 性质 5.如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。 性质 6.如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数 k 后加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式不变。 性质 7.对换行列式中两行（列）的位置，行
16、列 式反号。 利用上面行列式的性质可以计算各种类型的行列式，下面 将介绍 行列式的各种常见的计算方法。 6 3. 行列式的计算方法 3.1 化三角形法 此方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的 n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带负号。 我们看 到，一个上三角形行列式 nnnnaaaaaa000 22211211就等于它主对角线上元素的乘积 nnaaa 2211 。 这个计算是很简单的 ， 下面我们想
17、办法把任意的 n 级行列式化为上三角形行列式来计算 。 定义 由 sn 个数排成的 s 行 (横的 )n 列 (纵的 )的表 snssnnaaaaaaaaa212222111211(4) 称为一个 ns 矩阵。 njsia ij ,2,1,2,1, ,称为矩阵 (1)的元素， i 称为元素 ija 的行指标， j 称为列指标 。当一个矩阵的元素全是某一数域 p 中的数时，它就称为这一数域 p 上的矩阵。 nn 矩阵也称为 n 级方阵。一个 n 级方阵 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211定义一个 n 级行列式 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵 A 的行列式，记作 |A 。
