1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 矩阵方程的数值解法 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 :本文首先介绍了解线性方程组的常用的几种数值解法直接法和迭代法，然后把线性代数方程组的解法推广用来解矩阵方程。接着，详细介绍 了 解矩阵方程的高斯消元法、 Jacobi迭代法、 Gauss-Seidel迭代法和 SOR迭代方法的具体的步骤，并举例说明了 Jacobi迭代法、 Gauss-Seidel迭代法。最后，应用 MATLAB 工具编写了以上几种方法的程序求解矩阵方程，并通过数值算例比较了几种方法的优劣。 关键词 : 高斯消元法；
2、Jacobi 迭代法； Gauss-Seidel 迭代法； SOR 迭代方法；矩阵方程。 Some Numerical Methods of Matrix Equation Abstract： Firstly, this paper introduces the numerical method of linear system the direct method and iterative methods, and then generalizes these numenical methods to solve matrix equation solution. Then,for matr
3、ix equation we describe the specifice steps in detail of the Gaussian elimination method, Jacobi iterative method, Gauss-Seidel iteration and SOR iterative methods, respectively.Finally, these above algorithms for solving matrix equations are coded by Matlab software. And the advantages and disadvan
4、tages of them are compared by numerical examples. Keywords: Gaussian elimination method; Jacobi iterative method; Gauss-Seidel iteration;SOR iterative method;Matrix equation. 目录 1 绪论 . 错误 !未定义书签。 1 1 问题的背景、意义 . 错误 !未定义书签。 1.1.1 选题的背景 . 错误 !未定义书签。 1.1.2 选题的意义 . 错误 !未定义书签。 1.1.3 求解线性方程组 . 错误 !未定义书签。 1
5、.1.4 求解矩阵方程 . 2 2 矩阵方程的解 . 4 2.1 矩阵方程有解的判定 . 4 2.2 矩阵方程的一些常用数值算法 . 4 2.2.1 高斯消元法 . 4 2.2.2迭代法 . 7 3数值算例 . 12 4结论 . 15 致 谢 . 16 参考文献 . 17 附录 1：用矩阵方程的数值解法用高斯消去法解矩阵方程的程序 附录 2：用雅克比迭代法解矩阵方程的 程序 附录 3：用 Gauss-Seidel解矩阵方程的程序 1 1 绪论 1.1 问题的背景、意义 1.1 1选题的背景 在科学、工程计算中，求解矩阵方程的任务占相当大的份额。这是因为，矩阵方程不仅能以完整的形式作为许许多多实
6、际问题的模型之一，而且还能作为不少其他数值方法处理过程中转化而成的组成部分。例如，在电路网络、弹性力学、潮流计算、热传导、振动等领域，其基本模型就是矩阵方程，而求微分方程边值问题的差分法和有限元法等数值计算本身，也导致求解某些矩阵方程。在系统控制等工程研究领域经常遇到矩 阵方程的求解问题。自动控制系统最重要的一个特征是稳定性问题 ,它表示系统能妥善地保持预定工作状态 ,耐受各种不利因素的影响 ,因此矩阵方程在系统的稳定性理论 ,极点配置等方面具有重要的意义。在常微分方程的定性研究以及数值求解常微分方程的隐式 Rung-kwtta方法和块方法中 ,也需要求解矩阵方程。此外 ,在广义特征值问题的摄
7、动研究中及隐式常微分方程的数值解中 ,经常遇到矩阵方程的求解问题。 1.1.2选题的意义 随着科学技术的迅速发展，矩阵方程越来越多地出现在科学与工程计算领域，关于这类问题的研究也日益受到人们的高度重视 对矩阵方程的研究具有很重要的理论意义和很高的应用价值所以，学会如何更好的解矩阵方程就显得非常重要。本文主要介绍了解矩阵方程的高斯消元法、 Jacobi迭代法、 Gauss-Seidcl迭代法和 SOR迭代方法。在这些方法的基础上，利用 matlab软件，快速求出矩阵方程的解。通常熟练使用这些工具或编写程序，而这通常是一项入门缓慢、熟练精通时间较长的工作。 MATLAB在提供强大的计算功能，也为我
8、们用数值方法求解矩阵方程提供了很大的方便。 1.1.3求解线性方程组 由于线性方程组是矩阵方程的一个特例，所以本文试图将 解线性方程组的一些经典方法推广用来解矩阵方程。 记线性方程组为 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（ 1） 这里 ija （ nji ,2,1, ）为方程组的系数， ib （ ni ,2,1 ）为方程组自由项。 2 方程组（ 1）的矩阵形式为 bAx 其中 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，n21xxxx ，n21bbbb ， 实际应用中，主要处理实数情形的方程组，即 nnRA ，
9、nRb 。 如果系数矩阵 A 的行列式不为 0, 则可根据 Gramer(克兰姆）法则知上述方程组存在唯一解 DDx ii （ ni ,2,1 ） 其中 nnnnaaaaaaaaaD2n1n2222111211 ，nnninninniiniiiaabaaaabaaaabaaD11-121221-22111111-111 。 由此可知利用 Gramer法则求解一个 n 阶方程组需要计算 1n 个 n 阶行列式 , 若 n 阶行列式通过行列式的展开定理来计算 , 则其计算量不低于 !n 次乘法 , 因此 , Gramer法则求解一个 n 阶方程组的工作量不少于 )!1( n 次乘法运算 . 由此可
10、见 Gramer法则是不实用的 , 不是面向计算机的算法 , 必须研究其它数值方法 。 解上述线性方程组数值的数值方法主要有如下两类 : (1)直接法 : 就是在没有舍入误差的情况下 , 通过有限步的四次运算可以求得方程组准确解的方法 , 但由于实际计算中舍入误差是客观存在的 , 因而使用此类方法也只能得到近似解。 (2)迭代法 : 就是先给出解的一个初始近似值 , 然后按一定的法则逐步求各个更准确的近似解的方法 , 因此是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。 1.1.4求解矩阵方程 记矩阵方程组 AX=B nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 1 1 1 2 12 1 2
11、 2 212nnn n n nx x xx x xXx x x1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n nnb b bb b bBb b b则 3 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n nna a aa a aa a a11 12 121 22 212nnn n nnx x xx x xx x x=11 12 121 22 212nnn n nnb b bb b bb b b已知 A,B,求 X; 第一步，1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n nna a aa a aa a a11211nxxx=11211nbbb， 11 ii Dx D（ ni ,2,1
12、 ） 其中，nnnnaaaaaaaaaD2n1n2222111211 ，1 1 1 - 1 1 1 1 1 12 1 2 - 1 1 1 2 1 211 - 1 1 1i i ni i nin n i n n i n na a b a aa a b a aDa a b a a ； 第二步，1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n nna a aa a aa a a12222nxxx=12222nbbb， 22 ii Dx D（ ni ,2,1 ） 中，nnnnaaaaaaaaaD2n1n2222111211 ，1 1 1 - 1 1 2 1 1 12 1 2 - 1 1 2 2 1
13、221 - 1 2 1i i ni i nin n i n n i n na a b a aa a b a aDa a b a a ； 依次类推，可分别得到 ijij Dx D（ ni ,2,1 ； nj ,2,1 ）； nnnnaaaaaaaaaD2n1n2222111211 ，1 1 1 - 1 1 j 1 1 12 1 2 - 1 2 j 2 1 21 - 1 1i i ni i nijn n i n j n i n na a b a aa a b a aDa a b a a 4 2 矩阵方程的解 2.1 矩阵方程 AX=B 有解的判定 定理 1.矩阵方程 AX=B 有解的充要条件是 ：
14、 ( ) ( , ) (0 ) ; ( )nr A r A B r r n I 为 单 位 阵 证明：将矩阵 B及 X按列分块 ,于是 方程 可以写成 .： 1 2 n 1 2 n( , , ) ( , , ) ,A X X X B B B， 即 1 2 n 1 2 n( , , ) ( , , )A X A X A X B B B， AX=B有解 A的列向量组与（ A,B）得列向量组等价于 ( , ) (0 )r A B r r n 。 推论 1：若 AX=B有解 ， 则 （ 1） ()r A n 时， 方程 有唯一解 ； （ 2） ()r A n 时 ，方程 有无穷解 。 2.2 矩阵方程
15、 的一些常用数值算法 2.2.1 Guass消去法 Gauss消去法主要包括两个过程 : 消元过程和回代过程。具体如下 : 化一般方程为三角方程 (消元过程 ) 考虑矩阵方程方程 BAX 其中 nnij RaA ， nnij RbB 。 设 011a ，令 ,/1 111 a ,),( 121111 Tnaaaa ,),0( 1211 Tnaaa Te )0,0,1(1 。构造 Gauss矩阵 TeaIG 1111 ， 用 1G 左乘 1a 得 TTn aaaaGaG )0,0,(),( 1112111111 ， 从而 ),( 11 ibAG 具有下列形式： 5 )2()2()2(2)2(2)
16、2(2)2(2211121111)2()2(00),(),(nnnnnnibaabaabaaabAGbA， 其中 ( 2 ) ( 2 )1 1 1 1 1 11111, , 2 , , .ij ij ij j i i iiia a l a b b l bal i j na 一般地，如果已经利用 Gauss矩阵 11 , kGG 得到 11 12 1 11( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 2 21( ) ( )1 1 1 1 ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )1( , ) ( , )nnkki k i k k kk k k n kk k knk nn na a a ba a b
17、A b G G A ba a ba a b，则当 0)( kkka 时，取 Tkkkk eaIG ， ,/1,),0,0( )()()( ,1 kkkkTknkk kkK aaaa 就有 11 1 1 , 1 1 11( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 2 2 , 1 2 21( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ), 1 , 111( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 , 1 1 , 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ), 1 1( , ) ( , )k k nk k nk k k kk k k kk k k k k n ki k i
18、k k kk k k n kk k kn k nn na a a a ba a a a ba a a bA b G A ba a ba a b ，其中 ( ) ( )( 1 ) ( ) ( )1 1 1( 1 ) ( ) ( )/, , 1 , , .,kkik ik k kk k ki i ik kk k kij ij ik k jl a ab b l b i j k na a l a 如此继续下去。最后，当 0)1( 1,1 n nna 时得到 6 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 11 1 1( , ) ( , ) ( , )n n n n ii n iA b G A b U b
19、， 其中 ()11niibb ， ，nnnnnuuuuuuUA 22211211)( 而 )(1111 , kkkkk auau 。称这一过程为消元过程。 解上三角方程组 (回代过程 ) 给定三角形方程组 1 1 1 1 2 2 1 1 12 2 1 2 2 11nnnnn n n nu x u x u x bu x u x bu x b 其矩阵形式为 11iiUx b 其中 1 1 1 2 1 1 12 2 2 2 11,nnn n nu u u bu u bUbub 当 U非奇异，即 0iiu （ ni ,2,1 ）时，给定三角形方程组容易求解。可以首先求出 nx ，然后依次求出 11 , xxn 。在消元法中这种依次把后一方程结果代入前一方程，从而将解逐个求出的方程，称为回代过程。回代过程可用下面的递推形式实现： 111 1 11/,( ) / , 1 , , 1 .n n n nni i ij j iijix b ux b u x u i n ； 11/,( ) / , 1 , , 1 ; 1 , , ;n j n j n nnij ij iq q iiqix b ux b u x u i n j n
