1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 线性方程组的求解方法及应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘 要 ： 方程的求解一直是数 学研究的 重要 问题之 一 ，而线性方程组 的求解也是其中最简单 、 最重要的 方面。线性 方程 解的研究 之所以成为中 心问题，是因为在实践中直接或间接地提出了这类问题 ，同时 线性方程组在数学的许多分支 和 领域 内 都有广泛的应用，因此 熟悉其求解方法就显得尤为重要 。 本文首先介绍了线性方程组的背景及研究意义，其次介绍了线性方程组、解、解的结构的概念，同时介绍了线性方程组有解的五个定理，然后列举
2、了线性方程组的求解方法：初等变换、回代法、 Gauss 消元法以及克莱姆法则。最后 从几何方面、空间向量、矩阵、广义逆矩阵、多项式理论等方面讨论了线性方程组理论的应用 。 关键词 ： 线性方程组；解； 解的结构 ； 矩阵 The solving method and applications of linear equations Abstract： Solving equation is one of the important problems in theoretical mathematical research, and the simplest and most important
3、 topic is solving linear equations. The reason of solving the linear equations becomes the center problem in mathematical research is that it directly or indirectly puts forward this kind of problem in practice. Linear equations have wide range of application in many branches of mathematics, therefo
4、re, it is especially important to be familiar with solving Linear equations method. In this paper, we firstly introduce the background and significance of linear equations, secondly introduce the concept of linear equations, solution and the structure of solution.Meanwhile we introduce five theorems
5、 of linear equations existing solution, and then introduce some important methods to solve linear equations by a lot of examples, including elementary transformation, Gauss elimination and Cramer law. Finally, we discuss the application of linear equations in geometry issue, space vector issue, matr
6、ix, the generalized inverse matrix, polynomial theory etc. Key words: linear equations; solution; structure of solution; matrix 目 录 1 绪 论 . 1 1.1问题的背景及研究意义 . 1 2 线性方程组 的解及解的结构 . 3 2.1 线性方程组的概念 . 3 2.2 线性方程组解的概念 . .4 2.3 线性 方程组解的结构的概念 . .4 3 线性方程组的求解方法 . 6 3.1用初等变换法求解线性方程组 . 6 3.2 用 回代法求解线性方程组 . 8 3.
7、3用 Gauss消元法求解线性方程组 . 9 3.4 用克莱姆法则求解线性方程组 . 13 4 线性方程组的 应用 .15 4.1 线性方程组在几何方面的应用 .15 4.2线性方程组在空间向量中的应用 .15 4.3 线性方程组在矩阵中的应用 .16 4.4线性方程组在广义逆矩阵中的应用 .17 4.5线性方程组在多项式理论中的应用 .18 4.6线性方程组在处理 矩阵秩问题 中的应用 .18 5 结论 .21 致 谢 .22 参考文献 . 23 1 1 绪论 1.1 问题的背景及研究意义 12 线性代数是代数学科的一个分支 ,代数学的起源早在中世纪。 在公元 820年左右，被冠以 “代数学
8、之父”的称号的阿拉伯数学家花拉子米编著了代数学一书这就是 Algebra 一词的最初来源，书中开始探讨了数学问题的一般解法，尝试用代数方法处理线性方程组，同时引进了移项、合并同类项等代数运算。 18世纪，代数学的主题仍是代数方程，其中代数学发展的 一个方向就是方程组理论。首先是线性方程组与行列式理论，莱布尼茨的行列式及其在解线性方程组中的应用思想得到了发展，瑞士数学家克莱姆提出了著名的“克莱姆法则”，即由系数行列式来确定线性方程组解的表达式法则；接着范得蒙行列式、拉普拉斯展开等重要结果被相继提出。而最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作九章算术中已经作了比较完整的叙述，其中所
9、述方法实质上相当于对方程组的增广矩阵的行施行初等变换、消去未知量的方法。在西方，线性方程组的研究是在 17世纪后期由莱布尼兹开创的。他曾研究含两个未知量的三个 线性方程组成的方程组，证明了当方程组的行列式等于零时方程有解，此研究无疑促成了行列式和矩阵理论的发展。大约在 1729年，英国数学家马克劳林开始用行列式的方法解含 2到 4个未知量的线性方程组，得到了克莱姆法则的结果。 18 世纪 60年代以后，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明 n 元 n 个方程齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。大约在 1800年，德国数学家、天文学家和物理学家高斯提出了高斯消元法 ,
10、并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。到了十九世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了 n 个未知量 m 个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。由此可见， 大量的科学技术问 题最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了另人满意的进程。 众所周知， 在数学上要直接得出问题结果是相当不易的 , 但是根据条件建立方程组来求得解就简单得多。 由此可见，线性方程组对解决实际生活中的科学技术问题具有十分重要的意义。 线性方程组是处理
11、线性问题的思想方法。现在已经广泛应用于工程技术中。它与向量组、矩阵、线性映射存在着密不可分的关系，与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广。如：一个向量是否可以由一个向量组线性表示、表 示形式是否唯一往往与非齐次线性方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解是等价的；一个向量组是否线性相关与齐次线性方程组是否有非零解是等价的。从而可见，它由向量组极大线性无关2 组引入，反映了向量组的线性相关程度，并推广到了矩阵，乃至线性映射。矩阵的秩的典型应用就是讨论线性方程组的基础解系个数。至于矩阵乘法最早也是从线性方程组中发展而来，而矩阵运算这种运算方式的产生就是由于应用（线性方程组）
12、，更重要的是这种运算方式使得我们处理问题变得非常容易。至于伴随矩阵，也是线性方程组研究的产物。可见， 线性方程组带我们走出了处理科 学应用中所遇到的一些麻烦，为迅速得出正确的结论指明了前进的方向。 3 2 线性方程组的解及解的结构 2.1 线性方程组的概念 3 对于给定的方程组 bAX ，其中 A 是 ( nm )阶矩阵，则 (1) nm 且 A 为非奇异矩阵时此方程组称为 n 阶线性方程组； (2) nm 时，此方程组称为“超定方程组”； (3) nm 时，此方程组称为“欠定方程组”。 线性 方程组即一次方程组。线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式。含 m 个方程， n 个未知量的线性方
13、程组的一般形式为： mnmnjmjmmininjijiinnjjbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa22112211111212111jx 表示未知量， ija 称系数项， jb 称常数项。线性方程组可分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组。当 j 0b 时，线性方程组为齐次线性方程组，即： 00 02211221111212111nmnjmjmmninjijiinnjjxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa（ 1）而当 j 0b 时，线性方程组为非齐次线性方程组，即： mnmnjmjmmininjijiinnjjbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa
14、22112211111212111（ 2） 线性方程组也可以用矩阵表示。 nm 型线性方程组可表示为 11 nnnm bXA ，称 nmA为线性方程组的系数矩阵； 1nX 为线性方程组的未知量； A,b 为线性方程组的增广矩阵。 线性方程组也可以用向量表示。设矩阵 ijmnAa是线性方程组的系数矩阵，用 iA 记 A 的第 i 列，即 niaaaA Tmiiii ,2,1, 21 ，则 nm 型线性方程组可表示为 4 bAxAxAx nn 2211 2.2 线性方程组解的概念 如果 n 维 列 向 量 12, , , TnX x x x 使 含 有 n 个 未 知 量 的 线 性 方 程 组b
15、AxAxAx nn 2211 组成恒等式，则 X 就叫做 bAxAxAx nn 2211 的一个解。如果线性方程组有无穷多个解，且这些解可以通过自由未知量（ 简化 行 阶梯形矩阵中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量 ）表达主变量（即非自由未知量）， 则称此解为该方程的通解 (或一般解 )， 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解 ,称为方程的特解。 就一般的齐次线性方程组而言 , 解分为零解和非零解。其实 ,非零解还可以再行分类 :如果非零解的每个分量都不等于零 ,则称之为完全非零解 ,否 则称为含零非零解。如果完全非零解的每个分量都大于零则称之为正解；如果
16、含零非零解的每个非零分量都大于零则称之为半正解。非齐次线性方程组的解都是非零解。 2.2 线性方程组解的结构的概念 2.2.1 齐次线性方程组解的结构 456 若 0AX ， nrAr ,则全体向量构成 nK 的一个子空间，它可以由 rn 个线性无关的解向量生成，叫做这个方程组的解 空间。 nr 时，解空间为零空间。而线性子空间的一个向量组称为该子空间的一个基。 如果齐次线性方程组 0AX 的基础解系只含有一个解向量 ,则称之为极小齐次线性方程组 ,简称为极小方程组。此时 ,必要且只要秩1mA ,m 是 A 的列数。设 nrKA nmr , ， K 上 n 元齐次线性方程组 ： 0002211
17、221111212111nmnjmjmmninjijiinnjjxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa（ 3） 有非零解时，它的解空间的一个基 rn , 21 （ 4） 称为齐次方程组（ 3）的一个基础解系。 若向量组（ 4） 线性无关， 方程组（ 3）的任一解向量均可由（ 4） 线性表示。其中 nmrK表示数域 K 上的秩为 r 的 nm 矩阵。 2.2.2 非齐次线性方程组解的结构 5 设 nmrKA , 0b ,称齐次线性方程组 0AX 为非齐次线性方 程组 bAX 的导出组。非齐次线性方程组的两个解的差是它的导出组的一个解；非齐次线性方程组的全部解等于它的一个特解与其导出组的
18、全部解的和。 2.2.3 线性方程组有解的五个基本定理 78 设齐次线性方程组 0AX 的系数矩阵 A 的列向量为 m , 21 ,则它可写成向量形式 02211 mm xxx （ 5） 取它的部分项作为齐次线性方程组 ,02211 pimiiiii xxx mp1 （ 6） （ 6）称之为（ 5）的减列方程组。 定理 1： 线性方程组 bAX 有解的充要条件是 ( , ) ( )R A b R A n。当 nr 时 , bAX 有唯一解； nr 时 , bAX 有无穷多解。 定理 2： 齐次线性方程组 0AX 有非零解的充要条件是 nAR )( 。 推论 1： 当 mn 时， 齐次线性方程组
19、 0XAmn 一定有非零解。 推论 2：含有 n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零。 定理 3：齐次线性方程组 0AX 有正解的充要条件是这个方程组存在若干个减列方程组 ,它们都是有正解的极小方程组 ,并且这些极小方程组全部列向量的并集的秩等于A 的秩。 定理 4：当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解。 定理 5：齐次线性方程组有非零解是解无穷多的充要条件，但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，即此时方程组不一定有解。 6 3 线性方程组的求解方法 本文我们所
20、研究的方法都是用来求解 n 阶线性方程组的。求解线性 方程组的方法很多，但大体上可以分成两大类：直接法与迭代法。所谓直接法，指的是如果所有计算都是精确进行的，那么经过有限步算术运算就可以求出方程组准确解的方法。但是，在实际计算过程中由于舍入误差的存在与影响，直接法一般只能求得方程组的近似解。所谓迭代法，是用某种极限过程去逐步逼近方程组的准确解。关于迭代法本文将不做讨论，本文主要讨论直接法中的初等变换法、 Gauss 消元法、克莱姆法则等。 3.1 用初等变换法 求解线性方程组 9 初等变换包括：线性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换。 线性方程组的 初等变换是对方程组进行换法变
21、换、倍法变换、消元变换。 换法变换：交换两个方程的位置。 倍法变换：用一个非零数乘某一个方程。 消法变换：把一个方程的倍数加到另一个方程上 。 因此，在矩阵形式下，对增广矩阵作初等变换不改变方程组的解。如矩阵 A 和 B 是行初等变换下等价的矩阵，即存在可逆矩阵 P ，使 BPA ，则线性方程组 PbBXbAX ,是等价的线性方程组。 用初等变换法求齐次线性方程组的基础解系步骤如下： 第一步：把方程组的系数矩阵 A 经过初等行变换化为简化行阶梯矩阵。 第二步：根据简化行阶梯矩阵写出方程组的一般解； 第三步：在方程组的一般解中，每一次让一个自由 未知量取值为零，求出方程组的一个解，这样得到的 rn 个解就构成方程组的一个基础解系，其中 r 是齐次线性方程组的秩。 例：用初等变换求解 齐次线性方程组（ 用基础解系求解） 0 2 8 6220 4 3 0701313 304 3 5 2 54321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（ 7） 解：把方程组的系数矩阵 A 经过初等行变换化为简化行阶梯矩阵：
