1、 本科 毕业论文 （ 设计 ） （ 20 届） 重积分的数值计算 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 重积分的数值计算是数值计算方法中的一个分支 .数值计算方法是利用数字计算机求解数学问题的方法 .本篇论文 归纳总结常用的数值积分公式， 比如梯形公式及其复合公式，抛物线公式及其复合公式， Gauss 求积公式等等 .将这些方法推广应用到重积分的数值计算；最后，借用软件如 MATLAB 对其中一些方法进行编程实现 . 关键词 ： 重积分；数值计算； MATLAB The Numerical Calculation of Multiple
2、Integration Abstract: The numerical calculation of multiple intergration is a branch of numerical calculation. Numerical calculation is the method by using digital computer to solve mathematic problems.In this thesis,some frequently-used numerical integration formulas,such as trapezoidal rule,compou
3、nd trapezoidal rule,Simpson rule,compound Simpson rule, Gaussian quadrature formula and so on are summarized.These methods are extended to the numerical calculation of multiple integration.Finally, the MATLAB code of some methods is given. Key words: multiple integration;numerical calculation;MATLAB
4、 目 录 1 绪论 1 1.1 问题的背景 1 1.2 问题的意义 2 2 重积分的数值计算 3 2 1 梯形求积公式及其复合公式 3 2.1.1 梯形求积公式 3 2.1.2 复合梯形求积公式 4 2.2 抛物线求积公式及其复合公式 5 2.2.1 抛物线求积公式 5 2.2.2 复合抛物线求积公式 7 2.3 Gauss 型求积公式 8 2.3.1 Gauss 型求积公式 8 2.3.2 另外几种 Gauss 型求积公式 11 3 MATLAB 实例 14 3.1 MATLAB 介绍 14 3.2 MATLAB 中的重积分计算 14 致谢 19 参考文献 20 本科生毕业论文（设计） 1
5、1 绪论 1.1 问题的背景 多重积分是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数 (多变量的函数 )，例如求 f(x,y)或者f(x,y,z)类型的多元函数的积分 . 设 f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域 D 上的函数 .J 是一个确定的数，若对任给的正数 ，总存在某个正数 ，对于 D 的任何分割 T，当它的细度 T 时，属于 T 的所有积分和都有 ni iii Jf1 ),( ，则称 f(x,y)在 D 上可积，数 J 称为函数 f(x,y)在 D 上的二重积分，记作 dyxfJ D ),( ， 其中 f(x,y)称为二重积分的被积函数， x,y 称为积分变量， D 称为积分区域 .
6、1 定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题 .求不定积分 是求 导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限 2.定积分的几乎所有性质都可以推广 到重积分 3. 将科学技术中的实际问题转化为数学问题，即根据相关科学理论，建立数学模型，然后求解，这是进行科学计算的前提或先决条件 .实际上，许多数学问题是没有办法求出其精确解的 .因此，只好通过数值计算方法求其近似值 .数值计算方法以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象，其内容包括：函数插值，数值微分和积分，线性方程组的解法等 .重积分的数值计算是数值计算方法中的一个分支，是我们人类从事科学探索和研究时必不可少的手段 .在计算机技术与计算机
7、得到迅速发展的今天，我们有了快速数字电子计算机的工具，科学计算被推 向科学活动的前沿，上升为一种重要的科学 . 重积分是应用极为广泛，无论是日常工农业生产还是国防尖端科学技术的研究，如，大、中型机电产品的优化设计、重大工程项目的设计、地质勘探与油田开发、气象预报与地震预测、新型尖端武器的研制和航天与航空的发展等都离不开它，近年来还被应用到医学、生物学及经济管理、金融和社会学等领域 .4 目前，许多学者研究的重点集中在以下几个方面： 1、面对不同的权函数，构造不同的直交多项式，然后得到不同的 Gauss型求积公式，然后进行验证 . 2、构造新的重积分的计算公式，在已有公式下证明算 法的精确性 .
8、 3、二者结合 ,构造新的算法 ,然后从理论上证明其精确性 . 4、充分利用 Gauss公式 ,研究牛顿迭代的变形 . 本科生毕业论文（设计） 2 5、讨论和别的最优化方法的结合 ,比如牛顿法和共轭梯度法的结合 ,但是这方面的研究还比较薄弱 . 6、几种求积公式计算精确度的比较 . 1.2 问题的意义 微分实际上是求一函数的导数，而积分则是已知一函数的导数，求这一函数 .所以，微分运算与积分运算是互为逆运算 .积分运算是高等数学中的重要运算之一，但由于它的逆运算性质往往使它的运算过程具有复杂性 .本文的最终目的就是，归纳总结常用的数值积分公式 .实际上，有多种常用的数值积分公式 .本文选举其中
9、几种富有代表性的来论述 . 重积分是有界闭区域上定义的有界多元函数的积分和 (或上和或下和 )的极限，它具有丰富的内涵，包括对积分区域分割的任意性、自变量在积分区域上取值的任意性及与重积分对应的极限是一个确定实数等方面 .然而，随着高等教育规模的不断扩大与数学分析 (高等数学 )教学课时量的不断压缩，重积分的概念几乎只与概念本身对应的几何 (或物理 ) 模型有关，更多的人关注的是怎样将重积分转化为累次积分进行计算的问题，而且成果丰硕 .准确把握重积分本质内涵并辅之以适当计算方法， 将有助于重积分类问题的完满解决 . 那么，本篇论文为什么要加入 MATLAB？目前数值分析对自然科学尤其是数学的各
10、个分支来说占着很重要的地位 .利用 MATLAB 解决数学问题不仅可以增强各种重积分理论的直观性，呈现出各种事物的现象和内部结构及其发展变化规律，帮助我们获得更多的感性材料，加深对重积分理论的理解与掌握，而且也有助于学习上的情感教育，充分调动我们学习数学的兴趣，同时还可以增大学习的容量，有效地提高学习效果与效率 .利用 MATLAB 制作出来的文档把符号功能、数值计算、图形和编程有机结合起来 .把“枯燥的”归纳 各种理论变成生动活拨充满情趣的学习过程 .本文通过实例介绍 MATLAB 在重积分的数值计算中的应用，指出了 MATLAB 在解决重积分中遇到的某些问题的优势 . 本科生毕业论文（设计
11、） 3 2 重积分的数值计算 2 1 梯形求积公式及其复合公式 2.1.1 梯形求积公式 当我们需要计算函数 ),( yxfz 在 xOy 平面的某个区域上的定积分时候，必须要计算多重积分 .在初等微积分中已经学过， 2 重积分可以化成累次积分计算 .于是我们有 ( , ) ( ( , ) ) ( ( , ) ) .b d d bA a c c af x y d A f x y d y d x f x y d x d y (2.1.1) 在式 (2.1.1)中，积分区域是由下面的直线围成的矩形区域 dycybxax , . 事实上，积分区域不必是矩形的，累次积分分限也不必是常数，但是我们把这种
12、情况放到后面来讨论 .在累次积分过程中，当对 y 积分时 ,设 x 是常数 . 当求积节点取为等距节点 khaxk , (k=0,1, ,n,h=(b-a)/n) (2.1.2) 时，记 x=a+th,则得求积系数 ba nkkkkkk nkkkba knk dxxxxxxxxx xxxxxxxxxxdxxl )()()( )()()()()( 110 1110)( =0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) , 0 , 1 , , .! ( ) !nk nh t t t k t k t n d t k nk n k (2.1.3) 求积节点为等距节点的求积公式， nk knk
13、 ffQn0)( 称为 Newton-Cotes 公式 . 在 Newton-Cotes 公式求积系数公式中，当 n=1 时有 ),(21)1()( 10)1(0 abdttab (2.1.4) 1(1)10 1( ) ( ) .2b a td t b a (2.1.5) 将求积系数 )1(1)1(0 , 代入求积公式 nk knk ffQn0)( 得到 ).()(2 bfafabfQn (2.1.6) 称为梯形求积公式，它的余项是 ba badxbxaxffR ).,(,)()(211 (2.1.7) 本科生毕业论文（设计） 4 设积分区域是矩形 ,|),( BybAxayxR ， (2.1
14、.8) 它的每一边平行于坐标轴，令 BybyAxax 1010 , . 于是得到 4 个点 )1,0,)(,( lkyx lk .如果 f 在 R 内连续，则有 R ),(),( BbAa dyyxfdxd x d yyxf . (2.1.9) 利用梯形公式计算内部积分 01R ( , ) ( , ) ( , ) 2 AaBbf x y d x d y f x y f x y d x ， (2.1.10) 对上式右边再次应用梯形公式 ,可得 R yxfyxfyxfyxfaAbBd x d yyxf ) .,(),(),(),()(41),( 11100100 (2.1.11) 这式 (2.1.
15、11)即梯形求积公式在 2 重积分上的形式 . 2.1.2 复合梯形求积公式 由定积分的几何意义可以知道，梯形的面积近似的代替于曲边梯形的面积 .因此，通常采取的方法是细分求积区间 .应用高阶的 Newton-Cotes 型求积公式计算积分 ba dxxf )(会出现数值不稳定，低阶公式 (如梯形 )又往往因为积分区间步长过大使得离散误差大 .然后，若积分区间愈小，则离散误差愈小 .因此，为了提高求积公式的精确度，可以把积分区间分 成 若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来 .这种公式称为复合求积公式 . 记 h=(b-a)/m, .,1,0, mkkhax k 在每个小区
16、间 , 1kk xx 上使用梯形求积公式，便得到 )2(2 110)(1 mk kmm fffhfQ , (2.1.13) 称之为复合梯形求积公式，它的余项为 ),(12 )()(12)(12 231 3)(1 fhabfmhfhfR mk km (2.1.14) 本科生毕业论文（设计） 5 其中 ),( ba .公式 (2.1.10)的第 2 个等号的推导用到了介值定理 . 把上面的矩形 R 的边分别分为 n 等分和 m 等分，这样便把 R 分为边长为 h 和 k 的 m*n 个小矩形 .在每个小矩形上应用梯形求积公式得 ),(),(),(),(4),( 111110 10 iiiiiini
17、 iimjRyxfyxfyxfyxfhkdydxyxf , (2.1.15) 其中 ),1,0(),1,0( mjjkyniihx ji 上式可以改写为 ),(4),( 0 0 jini mj ijR yxfkhd x d yyxf , (2.1.16) 其中 ij 是下面矩阵 的相应元素， 122. . .221244. . .442244. . .442. . . . . . . . . . . . .244. . .442244. . .442122. . .221, (2.1.17) 式 (2.1.16)称为重积分上的复合梯形求积公式 . 在使用复化形式的梯形公式之前，必须给出合适的步
18、长，但步长如果取得太大，则精度难以保证，步长太小，则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的 . 2.2 抛物线求积公式及其复合公式 2.2.1 抛物线求积公式 梯形公式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数 .如果用 2次或者 3次插值多项式，那么逼近效 果会更好 .抛物线求积公式建立的基础就是这种逼近 .我们给出两个公式：抛物线求积公式和复合抛物线求积公式 .抛物线求积公式也叫辛普森求积公式，复合抛物线求积公式也叫复合辛普森求积公式 .5 我们用 2次牛顿 -格雷格里向前多项式推到抛物线求积公式，其中结点 210 , xxx 是均与分布的，相邻两点的距离是 h ： 本科
19、生毕业论文（设计） 6 )3122()46(2)2)1()2)1()(0200202302202020020020002002020fffhssfhsfhshfdsfssfsfhxdfssfsfdxxfxxxx).4(3210 fffh (2.2.1) 通过对多项式误差的积分得到积分误差： 20)4(5 ),(901 xxfh . (2.2.2) 抛物线求积公式需要将积分区间分成偶数个小的子区间 . 设积分区域是矩形 ,|),( BybAxayxR ,分别用点 Ahaxhaxax 2, 210 , 和 Bkbykbyby 2, 210 . 划分区间 a,A和 b,B，其中 )(21),(21
20、bBkaAh .这样得到 9 点 )2,1,0,)(,( jiyx ji ，点的分布为1414164141 ，利用式 (2.1.9)，并对内部积分用抛物线求积公式，有 ),(),(4),(3),( 210 AaAaAaR dxyxfdxyxfdxyxfkd x d yyxf (2.2.3) 再对上式右边的每个积分应用抛物线公式，有 ),(4),(),(),(),(9),( 0122022000 yxfyxfyxfyxfyxfkhd x d yyxfR ),(16),(),(),( 11211210 yxfyxfyxfyxf (2.2.4) 此公式称作重积分上的抛物 线公式 . 6 2.2.2 复合抛物线求积公式
