1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 矩阵逆的推广及应用 一、选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 1 选题的背景 Moore.E.H 是公认的研究广义逆矩阵的第一人，他在美国数学会 1920 年一个会议报告的摘要中，对任意矩阵定义了广义逆，当时他称之为 general reciprocal。 Moore 关于广义逆的较详细结果发表在 Moore(1935)的著名论文中。于是，许多学者通常把 1935 年作为广义逆研究的起点。在这篇论文中，对任意 nm 矩阵 A ， Moore 用下面两个矩阵方程 )(ARPAX ， )(XRPXA (1) 来定义广义逆 X ，这里
2、 )()( XRAR PP 和 分别是 )()( XRAR 和 上的正交投影算子。在这之后的20 多年中，人们对广义逆的研究并未给予 应有的重视。 到了二十世纪 50 年代，一些学者开始注意到广义逆矩阵的最小二乘性质。 Bjerhammar（ 1951a,1951b）在不知道 Moore 结果的情况下，重新提出了广义逆矩阵的概念（他称之为reciprocal matrix），并注意到了广义逆与线性方程组解的关系。 Bott 和 Duffin(1953)在研究电网理论时，引进了一种后来被称为 Bott-Duffin 广义逆的逆矩阵。当时他们称为约束逆（ constrained inverse）。
3、但这时期的研究工作缺少一般性，零散而不系统。 在广义逆研究中，一个重要 的里程碑是 Penrose（ 1955）的著名论文。在这篇文章中，Penrose 以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵 A 满足的四个条件（也称 Penrose 条件）：设 nmCA ，则满足 XAXAAXAXXX A XAA X A HH )(4(;)(3(;)2(;)1( (2) 的矩阵 nmCX 称为矩阵 A 的广义逆（其中 的共轭转置表示 AA H ），并证明了（ 2）式的 解是唯一的。他还建立了（ 2）式的第一方程的解 A 与方程组 bAx 解的联系。 Penrose的这项工作在广义逆的研究中起着十分重要的作用
4、，它使广义逆这一概念获得再生。从此以后，学者们对广义逆的研究倾注了前所未有的兴趣。在此后短短 10 余年 中，发表了数百篇关于广义逆的研究论文。这包括 Greville（ 1957）， Bjerhammar（ 1957,1958） ,Ben-Israel 和Charnes(1963)， Chipman（ 1964）， Scroggs 和 Odell（ 1966）等。在这期间， Erdelyi(1967)引进了群逆，而 Drazin 于 1958 年引进了另一种广义逆，他称之为 pseudo inverse，现在通称为Drazin 逆。 在广义逆研究的这一高峰时期，统计学家的研究工作占了相当的分
5、量。 Rao（ 1955,1962,1966,1967）和 Mitra(1968a， 1968b)研究了 1-逆结构表示和不唯一性，并把他们应用于统计参数估计理论，特别是线性模型和方差分析估计与检验问题。现在广义逆矩阵已经成为数理统计的许多分支不可缺少的有效工具 ，参见王松桂（ 1987）， wang 和chow(1994)。 1968 年 3 月，在美国 Texas 举行了广义逆矩阵的专题学术会议，并出版了会议文集，见 Boullion 和 odell(1968)。后来，分别于 1973 年和 1976 年举行了关于这一课题的讨论班和区域性会议，并出版有文集，分别见 Nashed(1976)
6、和 Campbell（ 1982）。 Ben-Israel(1966)， Stewart（ 1969）， Wedin（ 1973）和何旭初（ 1979）研究了广义逆矩阵的扰动和连续性问题，他们建立了 A 连续性的条件。 在二十世纪 70 年代前后，一些关于广义逆矩阵及其应用的专著陆续问世，其中主要有Rao 和 Mitra（ 1971）， Boullion 和 Odell（ 1971）， Ben-Israel 和 Greville(1974)。这些著作广泛收集和系统总结了散见在各种刊物中关于广义逆的理论、方法和应用的许多重要结果，并在一定程度上规范了许多常用的术语和记号。 我们知道，矩阵是现代自
7、然科学、工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少的数学工具，因此广义逆矩阵的应用也相当广泛。可以这样说，凡是用到矩阵 的地方，都有可能用到广义逆。 Nashed（ 1976）和 Campbell(1982)介绍或综述了广义逆在许多方面的应用，其中包括数理统计、数学规划、数值分析、控制论、博弈论和计量经济等，部分内容的详细讨论可以再 Rao 和 Mitria(1971)以及 Ben-Israle 和 Greville(1974)中找到。 现在，广义逆矩阵已广泛应用于人工智能与模式识别、信息安全、图像恢复、现代控制论、概率统计、网络定理、测绘学等方面。 环上矩阵的广义逆是揭示环的代数结构的有力工
8、具。国内，以庄瓦金、陈建龙、屠伯勋、曹重光为代表的 众多学者已经作了大量的研究，得到了除环、主理想环、正则环、一般结合环等环上矩阵广义逆的一系列结果。最近，陈焕艮、刘晓冀、岑建苗等人在这方面又做了进一步的工作，得到了环上矩阵广义逆存在的新的充要条件及性质，从而推广了以往文献的相应结果。 国外，在环上矩阵广义逆的研究方面， K.P.S.Rao、 R.Bapat、 D.Robinson 等人研究了整环、交换环上矩阵的广义逆。 2002 年， K.P.S.Rao 出版了专著“ The theory of generalized inverses over commutative rings”。在非交
9、换环上矩阵广义逆的研究上， R.E.Hartwig、 R.Puystjens、J.J.Koliha 等深入研究了除环、正则环、 Noetherian 环、 Artian 半单环乃至一般结合环上矩阵的广义逆。 2 选题的意义 在解决实际问题时，经常会碰到这样的线性方程组，其系数矩阵时方阵，但却是奇异的。众所周知，对于系数矩阵时非奇异的线性方程 bAx ，它的解与系数矩阵的逆有着紧密的联系，即方程组的解可表示为 bAx 1 。那么对于奇异 的系数矩阵解的情况会是怎么样的呢？是否也存在一个矩阵类似于可逆矩阵的逆矩阵呢？ 这就促使人们去想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵 G
10、 ，使得其解仍可以表示为类似于bAx 1 的紧凑形式呢？这些矩阵就是本文即将引进的广义逆矩阵。应用 M-P 逆及其所衍生出的其他类型的广义逆彻底解决线性系统： mnnm CbCxCAbAx , 的求解问题。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 在生产实践和科学实验中，人们经常碰到一类线性系统 bAx ， （ 3） 其中， nmCA ， nCx ， mCb 。 当 rbArankArank ),()( 时，该方程组有解，且 nr 时，有唯一解 ， nr 时，有无穷多组解，当 ),()( bArankArank 时，该方程组无解。 无解的线性方程组好像是最为乏味并且没有实际意义。但事实相反，在某
11、些实际问题中，如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论、网络理论等学科中，所遇到的方程组往往是不相容方程组，没有一个 nCx 能使方程精确相等。因此在实际应用中，需要找一个 nCx ，使得 Ax 尽 可能的逼近 b ，如何去找这样的 x ？为了解决这一问题，数学家们做了大量的工作。高斯最先引入了最小二乘法，并从统计方面证明它的合理性。所谓最小二乘，就是找出一个 nCx ，使得系统的残差 Axbr 的 2 范数最小，即2|min rnCx。如何计算最小二乘问题，成了一个重要的课题。但人们总希望能像 A 可逆时那样显式地写出其解 x 的表达式，为适应这种需要，广义逆应运而生。 由文献 1 的
12、结果，我们知道了广义逆的确是逆矩阵的推广，以下是广义逆矩阵中一些常用的广义逆矩阵，包括 减号逆、自反减号逆以及加号逆等。通过这些广义逆矩阵的求解方法的研究，我们可以探讨矩阵的广义逆在解线性方程组中的应用。 1 几种常用的广义逆矩阵的性质及求解方法 1.1 减号逆 A 的性质与求解 1减号逆 A 的定义 6 ： 定义 1.1 对 nmCA ，若 nmCG 满足 AAGA ， 则称 G 为 A 的 1-逆（或称为 A 的 g 逆），记为 )1(A （或 A ）。 2 减号逆 A 的性质 6 ： 定理 1.1 设 nmCA ， C ，则有 （ 1） )()( HH AA ； (2) AA )( ，其
13、中 ；若若 00 01 (3) )()( ArankArank ； （ 4） AAAA 与 都是幂等阵，且满足 )()()( Ara n kAAra n kAAra n k 。 3减号逆 A 的求解 7 对于任意的 nm 矩阵 A ,它的减号逆 A 是存在的但不唯一，这一结论在文献 98 上已有证明或进行了说明。 接下来我们介绍一种常用的求 A 的公式： 1）设矩阵 A 的秩为 r ，且 A 的左上角的 r 阶子块为满秩，即 ）（ rnrmrrmrnrrr AA AAA)()( 其中 rrA 的行列式 0| rrA ，则有 00 01rrAA （ 4） 将上式直接代入（ 4）式验证即可。 2）
14、若矩阵 A 的秩为 r ，但其左上角的 r 阶子块 rrA 不满秩。这时若有初等列变换（ P 为相应的初等矩阵）使得 AAP ,而 A 的左上角 r 阶子块 rrA 为满秩的，则有 000)()()( 1 rrAAPA 再由 APAP 1)( 即可求得 000)()( 1 rrAPAPA （ 5） 这意味着，当 A 的左上角无满秩的 r 阶子块时，需先对 A 实行某种列变换，使其左上角 r 阶子块变为满秩的，再由（ 5）式对 )( A 施行相同的初等变换行变换，即可得到 A 。同理，对 A 先做行变换变形，再作相应的列 变换还原，也可得到 A 。 1.2 自反广义逆 rA 的性质与求解 众所周
15、知，对于普通的逆矩阵 1A ，有 AA 11)( ，但这一事实对于减号逆 A 一般不成立，例如： 010 001,010101AA 但 AAAA 001 001即 AA )( ，为 了使 A 与 A 能互为减号逆，我们不妨对前面的定义的减号逆 A 给予某种限制条件，使 A 具有这种“自反”的性质。 1 自反广义逆 rA 的定义 10 定义 1.2 设 nmCA ，若存在 mnCB ，使 BBABAABA ， 则称 B 为 A 的自反广义逆矩阵，记为 rA ，即 rAB ，这时 A 与 B 互为自反广义逆矩阵。早在 50 年代，统计学家 C.R.Rao 11 就对半正定方阵使用了这种广义逆 。
16、2 自反广义逆 rA 的性质 10 显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，于是它具有前面讨论过减号逆 A 的所有性质。 定理 1.2 设 nmmn CACYX , ，且 YX, 均为 A 的广义逆矩阵，即 AAYAAAX A , 则 XAYZ （ 6） 为 A 的自反广义逆矩阵。 定理 1.3 设 mnCA 是 nmCA 的广义逆矩阵，则 A 是 A 的自反广义逆的充要条件是 )()( ArankArank . 3 自反广义逆 rA 的求解 12 对于任意的 nm 矩阵 A ,它的自反广义逆 rA 是存在的，这一结论在文献 13 上已有证明。为了得到自反广义逆的计算方法，我们先引进所谓“矩阵的右
17、逆，左逆” 14 的概念。 定义 1.3 设 A 是 nm 的矩阵，若有 mn 的矩阵 G ，满足 mIAG （或 nIGA ） 则称 G 为 A 的右逆（或左逆），记为 1RA （或 1LA ）。 在一 般情况下， 11 LR AA ，若 11 LR AA ，则 1A 存在，且 111 LR AAA 。 下面给出左逆，右逆存在的充要条件： 定理 1.4 设 A 是 nm 的矩阵， A 有右逆 1RA 的充要条件是 mArank )( 若 A 有右逆，则其中一个右逆是 11 )( HHR AAAA , （ 7） 通式为 11 )( HHR AVAVAA (8) 其中 V 是任意一个满足 )()
18、( HAV ArankArank 的矩阵。 定理 1.5 设 A 是 nm 的矩阵， A 有左逆 1LA 的充要条件是 nArank )( 若 A 有左逆，则其中一个左逆是 HHL AAAA 11 )( , （ 9） 通式为 VAVAAA HHL 11 )( （ 10） 其中 V 是任意一个满足 )()( VAArankArank H 的矩阵。 另外，由式（ 7） (或（式 9） )所定义的右逆（或左逆）满足 M-P 方程的四个条件，即 （ 1） )( 11 AAAAAAAA LR ； （ 2） )( 111111 LLLRRR AAAAAAAA ； (3) AAAAAAAA LHLRHR 1
19、111 )()( ； (4) 1111 )()( LTLRHR AAAAAAAA ； 有了上面的定理，接下来我们讨论自反广义逆具有相当普遍性的计算方法： 设 nmCA ，分两种情况讨论： (1) 若 A 是行（或列）满秩矩阵，即 )()( mnAranknmArank 或，则 ；或 )()( 1111 HHLrHHRr AAAAAAAAAA (2) 若 A 既不是行满秩也不是列满秩，即 )0(.m in )( rnmrAra n k ，则 A 进行一系列初等变换，可成标准形 00 0rIPAQ， 其中 rI 为 r 阶单位矩阵，即 1111 0000 0 QIIPQIPA rrr. 然后令 0
20、1 rIPB, 10 QIC r ， 从而有 BCA (11) 计算 1111 )(,)( HHRHHL CCCCBBBB 于是 11 LRr BCA （ 12） 值得 指出的是，由式（ 12）确定的自反广义逆 rA 并不唯一。这是因为用 11 )( HHR AAAA来计算右逆 1RC 和用 HHL AAAA 11 )( 来计算左逆 1LB 并非唯一。 1.3 加号逆 A 的唯一性证明与求解 1加号逆 A 的唯一性证明 14 在自反广义逆矩阵中，还有一种更特殊的也更为重要的广义逆矩阵，这就是 MP 广义逆矩阵，记为 A 。它有很多重要的性质，在应用上特别重要。其定义在上面我们已经讲过了，接下来
21、我们介绍 A 的存在性与唯一性。 存在性： A 的奇异值分解 15 为 Hr VUA 00 0,其中 r ird ia g ),( 21 （ ri ,2,1 ）是 A 的非零奇异值， VU与 是酉矩阵，令 Hr UVG 00 01 （ 13） 容易验证 G 满足四个 Penrose 方程，因此 A 存在。 下面证明 A 的唯一性。假定矩阵 Y 也满足 4 个 Penrose 方程，则 YY A YYYAYYAGAG A Y A Y G A YG A G A YAYAGGAGGG A GG HHHHHHHHHHHH 因此 YG ，说明 A 是唯一的，且 Hr UVA 00 01 2 加号逆 A
22、的性质 4 陶玉娟 16 在文中详细介绍了加号逆 A 与逆矩阵的性质比较，指出了两者相似与相异的性质。接下来我们介绍加号逆 A 的基本性质：对任意的矩阵 A （ 1） 若 A 可逆，则 AA1 . （ 2） AA )( . （ 3） HHTT AAAA )()()()( ，. （ 4） 记 00 0,1 若 ，若 则 .)( AA (5) 若 ),( 1 ndddiagD ，则 ),( 1 ndddiagD . (6) )()( TTTT AAAAAAA 3加号逆 A 的求解 12 加号逆 A 的计算方法在文献 1817 皆有介绍， 为了得到加号逆的计算方法，我们先引进一个定理： 定理 1.6 若 nmCA ，且 BCA 是最大秩分解，则 TTTT BBBCCCX 11 )()(
