1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 微积分理论中的重要思想及其应用 一 选题的背景 1选题的背景 西方分析权威 R 柯朗说“微积分是人类的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。”微积分是人类智力的伟大结晶，它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元。并因此加强和加深了数学的作用。有了微积分，人类才有能力把握运动和过程，有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船都是微积分的直接后果。 从此，数学一下子就走到了前台，数学在人类社会的第二次浪潮的作用比第一次浪潮要明显的多。微积分已成为人的基本要素之一，微积分
2、教会我们在运动和变化中掌握世界，它具有将复杂问题化归为简单规律和算法能力。没有微积分很难理解现代社会发生的变化，很难跟上时代的脚步 1 。 2选题的意义 微积分在实际生活中起到了极大的作用，很多问题都是通过微积分来解决的。比如曲线的斜率，交流电的电流强度、空间温度场的梯度以及现代经济学上的边际劳动生产率、边际税率等等，反过来，已知斜率、速度等变 量来寻求满足的方程或函数等。与此同时，微积分对其他学科以及人类物质文明也有着巨大的影响。有了微积分就有了工业革命，就产生了现代化社会，同时现代的工程技术直接影响着人们的生产，而工程技术的基础就是微积分。由此可见，微积分的重要性 微积分也蕴含着一些哲学思
3、想，它体现了对立与统一的规律，渗透着辩证法的思想，为解决芝诺悖论提供了新思路，这个悖论事实上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的，我们运用微积分中的极限来解决，无限是有限的发展，把它定义为“部分和”的极限，只有借助极限才可以认识无限，于是就得到了整体与 部分相互转化的关系，同时微积分也蕴含着物质是无限可分的，物质世界是不断变化等真理 2 。 二研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 微积分的基本定理思想 基本定理的思想，牛顿在 1666 年已有。他在 1666 年 10 月所写的短论一文中就讨论了如何借助反微分计算面积问题。他说，反微分“总能做出可以解决的一切问题”。如果设曲线 ()
4、y f x 同 x 轴之间的面积为 Ax ，牛顿断 定 Ax 就是 fx。这是微积分的历史上第一次用比较明确的形式提出的微积分基本定理。牛顿意识到用反微分法代替求积法的重要性和普遍性，所以他强调了这个方法既可以“直接用”，也可以“反过来用”。所谓“直接用”，就是切线法，即今天的由 Fx求它的导数 Fx；所谓“反过来用”，就是积分法，即今天的由 fx求 Fx，使 得 F x f x 。牛顿这一思想用今天的符号表示就是微积分基本定理： xd f t dt f xadx 。 莱布尼茨也是微积分的重要奠基人之一，他的积分完全继承了先驱们求微元和的思想。设给定的曲线是 Z f x ，为了求出该曲线在区间
5、 ,ab 上面积 Zdx ，必须求出另一条纵坐标为 y 的曲线，即他所谓的割圆曲线，使得 dy Zdx a ， a 为常数。这时由于 Zdx ady ，于是就有 Zdx a dy ay，莱布尼茨通常假定曲线 y 经过原点，于是在莱布尼茨的微积分中，求积问题就化归为反切线问题。也就是说，为了求得纵坐标为 Z 的曲线下的面积Zdx ，只须求出一条纵坐标为 y 的曲线，使得它的切线满足条件 dy Zdx a ，设 1a ，再由曲线 Z f x 在区间 ,ob 上的面积减去在区间 ,ao 上的面积，就得出公式 a f x d x y b y ab 。在现在的微积分中，我们称这个式子为“牛顿 莱布尼茨公
6、式”。 随后柯西又用极限理论定义了积分，设函数 fx在区间 0,xX上连续，并用分点 1, 2 , 3 , ,inx i x X 对其分割，于是和式 111nn i i iiS f x x x，表示以 1ifx为高，以 1iixx 为底的 n 个矩形面积之和，当 n 很大，且 1iixx 很小时，和式 nS 就同该曲线在曲线 0,xX上的面积 S 近似，即 111ni i iiS f x x x， 它最终到达某一个极限，这个极限仅仅依赖于函数 fx的形式以及变量 x 的两个端值 0x 和 X ，我们把这个极限称为定积分，用符号表示就是 1110 l i mni i in ixS f x dx
7、f x x xx ，当柯西定义了闭区间上连续函数的定积分之后，又把这一定义应用到分段连续函数。即设 fx在区间 0,xX 上有 n 个 有 限 间 断 点 ix ，则 fx 在 该 区 间 上 的 定 积 分 定 义 为 101n ii ixxf x dx f x dx 36 。 2.2 极限的基本概念和定理 定义 1：设函数 fx在点 0x 的某一去新领域内有定义，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 ，使得当 x 满足不等式 00 xx 时，对应的函数值 fx都满足不等式 f x A 。那么常数 A 就叫做函数 fx当 0xx 时的极限，记作 0limxxf
8、 x A 或 f x A （当 0xx ） 我们指出，定义中 00 xx 表示 0xx ，所以 0xx 时 fx有没有极限，与 fx在点 0x 是否有定义并无关系。 定义 2：设函数 fx当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 X ，使得当 x 满足不等式 xX 时，对应的函数值 fx都满足不等式 f x A ，那么常数 A 就叫做函数 fx当 x 得极限，记作 limx f x A 或者 f x A （ x ）。 之后黎曼和勒贝格等也为微积分定理做出了伟大的贡献。 定理 1：（函数极限得唯一性） 如果 0limxxfx存在，那么这极
9、限唯一。 定理 2：（函数极限得局部有界性） 如果 0limxxf x A ，那么存在常数 0M 和 0 ，使得当 00 xx 时，有 f x M 定 理 3：（函数极限得局部保号性） 如果 0limxxf x A ，而且 0A （或 0A ），那么存在常数 0 ，使得当 00 xx 时，有 0fx （或 0fx ） 定理 3：如果 0limxxf x A 0A，那么就存在着 0x 的某一去心领域 0oUx，当 0ox U x 时，就有 2Afx 定理 4： （函数极限与数列极限得关系）如果 0limxxfx存在， nx 为函数 fx的定义域内任一收敛于 0x 的数列，且满足： 0nxx nN
10、 ，那么相应的函数值数列 nfx必收敛，且 0lim limn xxf x f x 78 。 2.3 微积分的应用 微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分及微积分方程从万有引力中导出了开普勒行星运动第三定理，此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学中各个分支中的发展，并在这些领域中有越来越广泛的应用，航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下完成的。并 且微积分在人类从农业社会跨入工业社会的过程中起到了决定性的作用。微积分在物理学上，研究变力做功问题，圆周向心加速度的方向问题
11、，等；在经济领域，研究边际需求与编辑供给问题，边际成本函数、边际利润函数等；在生物领域，研究生物种群数量问题 2.4 微积分的哲学思想 微积分是一门十分抽象的纯理性科学，它有一系列符号表现形式及远离日常生活的抽象术语，因而使许多人都误以为微积分是一门枯燥无味而严酷的学科，似乎与美学无关，实际上，微积分是一门最美的科学，它对于塑造完美的人性来说，有着理想不到的功效。微积分教会人们客观地、 公正地对待事物和处理问题，能杜绝人们的主观偏见，还能激发人们对真理的热爱，并能增长人们追求真理的勇气和毅力。微积分中美的标准和一般事物中的一些美的标准时完全一致的，它们都表现为简单性、统一性、和谐性、对称性、奇
12、异性等。同时微积分还蕴含着辩证关系，微积分中的一些基本概念如变量、极限、函数、微分、积分等从本质上看是辩证法在数学中的运用。辩证法在微积分中体现了曲线形和直线形、无限和有限、近似和准确、量变和质量等范畴的对立统一。它使得局部与总体、微观与宏观、过程与状态、瞬间与阶段的联系更加明确 911 。 三研究的方法与技术路线、研究难点、预期达到的目标 1研究内容 （ 1）了解微积分的起源和发展，以及历史背景 （ 2）掌握极限的概念，原理，定义 （ 3）掌握微积分中的重要思想，重要定理，以及微积分在日常生活中的应用 （ 4）深入了解微积分中所蕴含的哲学思想，站在哲学的高度去看微积分的法则规律、定理等等 2
13、研究的方法及技术路线 本文主要以查找资料、以现有的知识水平、在前人的研究论述基础上进行论述，采用了从大量阅读现有的数据资料 然后对这些内容进行归纳总结 最后通过自己整理的技术路线 3研究难点 （ 1）由于论题比较深奥，很难有独创或新颖之处 （ 2）微积分的重要思想有很多，本文只列举了若干个 （ 3）哲学的思想很难掌握 4预期达到的目标 通过这次论文的撰写深刻认识极限在微积分理论中的重要地位和作用。基本掌握微积分中的重要思想以及一些基本概念，了解微积分在社会中的应用。同时要上升到哲学的角度对极限和微积分有一个新的认识。 四论文详细工作进度和安排 第一阶段（ 2010.11.5 2011.1.10
14、） 完成毕业论文文献检索、文献综述、外文 文献翻译和开题报告 第二阶段（ 2011.1.10 2011.3.11） 完成毕业论文的数据收集、论文初稿 第三阶段（ 2011.3.11 2011.5.3） 进入实习单位进行毕业实习、对论文进行修改 5.3 之前必须返校，完成毕业实习，递交毕业实习报告，并进一步完善毕业论文 第四阶段（ 2011.5.23 2011.5.28） 完成第一轮毕业论文答辩 第五阶段（ 2011.5.28 2011.6.3） 第一轮毕业答辩未通过的学生进行第二轮答辩，并随机抽取论文较好的同学进行校级答辩 五主要参考文献 1. 徐利治 . 徐利治谈数学哲学 M. 大连理工出版
15、社 , 2008 2. 周述岐 . 数学思想和数学哲学 M. 中国人民大学出版社 , 1993 3. 加龚升著 . 话说微积分 M. 中国科学技术大学出版社 , 1998 4. 赵树螈 . 微积分 M. 中国人民大学出版社 , 2002 5. 温秉仁 . 微积分讲义 M. 台湾大学数学系主编 , 1998 6. 古诺 . 财富理论的数学原理的研究 M. 北京商务印书馆 , 1994 7.同济大学应用数学系主编 . 高等数学 M. 高等教育出版社 , 2002 8. 徐利治 . 徐利治治学方法和数学教育 M. 大连理工大学出版社 , 2008 9. 徐利治 . 微积分大意 M. 大连理工出版社 , 2007 10. Luis A. Santal. Integral geometry and geometric probability M. London: Addision Wesley.1976 11. Piskuov.N.Differential and integral calculusM. Moscow: Mir 1974
