次正交矩阵及其性质[文献综述].doc

1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 次正交矩阵及其性质 一、前言部分 矩阵不仅是各种数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具。就其本身的研究而言，矩阵理论和线性代数也是极富创造性的领域。它们的创造性又极大的推动和丰富了其他众多学科的发展：许多新的理论、方法和技术的诞生于发展就是矩阵理论和线性代数的创造性应用于推广的结果。可以毫不夸张地说，矩阵理论和线性代数在物理、土木、电机、航空、和航天等众多学科中是最富创造性和灵活性，并起着不可代替作用的数学工具。 作为数学的一个重要的分支，矩阵理论具有极其丰富的内容 。作为一种基本的工具，矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域，如数值分析、最优化理论、概

2、率统计、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有十分重要的应用。因此，学习和掌握矩阵的理论和应用对于工程研究生来说是必不可少的。 由于矩阵论既是一门发展完善、理论严谨、方法独特的数学基础课，又广泛应用于工程科学的各个领域，故下面的基本内容在硕士研究生的培养过程中是不可缺少的组成部分，对培养学生的逻辑能力、推理能力及解决实际问题的能力等方面具有极其重要的地位和作用。 分析并了解矩阵性质及应用的 一个意图是，它要包括由于数学分析（例如，多元，多元微积分、复变量、微分方程、最优化和逼近理论等）的需要而产生的线性代数中的论题。矩阵分析的另一个意图是，它是解决实的和复的线性

3、代数问题的一种方法，这种方法果断地采用诸如极限、连续和幂级数这些来自分析的概念，这些概念有时比纯代数方法更为有效或更为自然。矩阵分析的这两个出发点影响下面的讨论和分析。我们认为采用术语矩阵分析比线性代数更能准确地反映该领域的广泛内容和研究方法。 矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念，是代数学的一个主要研究对象和重要工具。它广泛应用 于数学、物理学、经济学等多个领域，因而也就使矩阵成为代数，特别是线性代数的一个主要研究对象。近年来，人们对次对角线方向的矩阵理论（如次对称性、次正交性）展开的研究正日益增多，有关次对角线方向的矩阵理论在信息论、线性系统论、现代经济数学、矩阵方程论、物理学等众多

4、学科中均有应用，因此研究次正交矩阵及其性质有重要的意义。 下面将给出次正交矩阵的概念及其性质，并在此基础上给出 J-次正交矩阵的概念及其性质和 K-次正交矩阵的概念及其性质。 二、主题部分 2.1 矩阵简史 矩阵并非如同一种容易产生的猜想那样直接源自 线性方程组系数的研究。系数阵列导致数学家们发展了行列式而不是矩阵。微积分创建者 Leibniz 在 1963 年使用了行列式，先于矩阵成为独立研究对象约 150 年。 Cramer 在 1750 年建立线性方程组的行列式基本公式，Guass 在 1820 年左右提出了消去法。这些事件都出现在矩阵概念存在之前。 确定矩阵概念和产生“矩阵”一词的动机

5、是试图为研究行列式提供适当的代数语言。 1848年 J.JSylvester 引进术语“矩阵”，作为数的阵列的名称。它用“ womb”是因为他视矩阵为行列式的生成体。 在围绕行列式研究而寻求好的记号 期间， Sylvester 在 1851 年提提议把方形矩阵写成如下形式： nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122212121112.2 矩阵的概念 定义 1： 由 nm 个数 ),2,1,2,1( njmiPa ij 排成的 行、 n 列的长方形表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为数域 P 上的一个 nm 矩阵（ maxtrix）。其中的 ija 称为

6、这个矩阵的元。 矩阵通常用一个大写字母 A 表示，如果矩阵的行数 m 与列数 n 相等，则称它为 n 阶方阵。数域 P 上的所有 nm 矩阵的集合记为 )(, PMnm ，所有 n 阶方阵的集合记为 )(PMn ，元全为零的矩阵称为零矩阵，记为 0。矩阵 A 的位于第 i 行、第 J 列的元简称为 A 的 ),( ji 元，记为 ),(jiA 。如果矩阵 A 的 ),( ji 元是 ),2,1,2,1( njmiaij ，则可以写成)( ijaA 。 2.3 预备知识 定义 2：设 nm 矩阵 mnnmmmnmnmmmnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA1,21,11,12,11,121

7、,2221211,11211则称如下的 nm 矩阵 11211,1112222,121,11,21,11,12,1aaaaaaaaaaaaaaaammmmnnnmnmnnnmmn为矩阵 A 的次转置，记为 STA 或 1A 。如果记 )( ijST bA ，则 ),2,1;,2,1(1,1 mjniab injmij 。 定义 3：一个 n 阶方阵 )( ijaA 叫做次对称矩阵：假若 ),2,1,(1,1 njiab injnij ；一个 n 阶方阵 )( ijaA 叫做反次对称矩阵，假若 ),2,1,(1,1 njiab injnij 。 显然，一个 n 阶反次对称矩阵 )( ijaA 中

8、，有 ),2,1(01,1 nia in 。 例如： 32/1457/42/1753A是一个三阶次对称矩阵。 430503054B 是一个三阶反次对称矩阵。 显然，设 E 是 n 阶单位矩阵，则 EEST 。 推论： （ 1） AA STST )( ； （ 2） STSTST BABA )( （ A 与 B 是同级矩阵 ）； （ 3） STST AA )( （ 是常数）； （ 4） STSTST ABAB )( （ A 是 sm 矩阵， B 是 ns 矩阵）。 2.4 次正交矩阵的定义与性质 定义 4：如果在数域 P 上的 n 阶方阵满足 EAAST 。则称 A 为次正交矩阵。 显然，定义 3

9、 中的条件 EAAST 也可以用 EAAST 代替；且单位矩阵 E 是次正交矩阵。 例如，矩阵 1221342/124A 是实域 P 上的一个三阶次正交矩阵。 证： 已知 A ，可求得 4422322/111STA 则可求得 EAAST 。 证毕 性质 1：若 A 是 n 阶次正交矩阵，则 STA 也是次正交矩阵。 证： 因为 A 是次正交矩阵；所以 EAAST 。两边取次转置得 EAAAA STSTSTST )( 证毕 性质 2：若 A 是 n 阶次正交矩阵，则 1A 或 1A 。 证： 因为 A 是次正交矩阵，所以 EAAST 。两边取行列式得 12 AAAAA STST 所以 1A 或

10、1A 。 证毕 性质 3：若 A 是 n 阶次正交矩阵，则 A 可逆，且 1A 也是次正交矩阵。 证： 因为 A 是次正交矩阵，所以 EAAST 。由性质 2 知 0A ，所以 A 可逆。同理 STA 可逆，且 STST AA )()( 11 。 因 EEAAAAAA STSTST 111111 )()()()( ， 所以 1A 也是次正交矩阵。 证毕 性质 4：若 A 、 B 均是 n 阶次正交矩阵，则 AB 也是次正交矩阵。 证： 因为 EBBEAA STST , ，可得 EAAABBAABABABAB STSTSTSTSTST )()()( 从而 AB 也是次正交矩 阵。 证毕 定理 1

11、：数域 P 上的 n 阶方阵 A 是次正交矩阵的充分必要条件是 STAA 1 。 证： 必 要性 因为 A 是次正交矩阵，所以 EAAST ，由性质 3 可知 A 与 STA 均可逆，且 STAA 1 。 充分性 因为 ,1 STAA 将等式 STAA 1 两边左乘 A 可得 STAAAA 1 ，即EAAST ，所以 A 是次正交矩阵。 证毕 命题 1：对 n 阶方阵 A ，若下列三个条件中任意两个条件成立，则另一个条件也成立。 （ 1） AAST ，（ 2） EAAST ，（ 3） EA2 。 证：（ 1）当 EAAAA STST , 时， EAAAAA ST 2 。 （ 2）当 EAAAS

12、T 2, 时， EAAAAAST 2。 （ 3）当 EAEAAST 2, 时， AEAAAAAAEAA STSTSTST )(2 证毕 命题 2：若 A 是 n 阶次对称阵， Q 是 n 阶次正交矩阵，则 AQQ1 是次对称矩阵。 证： 因为 A 是次对称矩阵， Q 是次正交矩阵 ，所以 STSTST QQEQQAA 1, AQQQAQAQQAQQ STSTSTSTST 11 )()( 所以 AQQ1 是次对称矩阵。 证毕 命题 3：若 是次正交矩阵 A 的特征值， 则 /1 也是 STA 的特征值。 证： 设 是 A 的属于 的特征向量，所以 A 。 由性质 3 知 A 可逆，且 1A 也是

13、次正交矩阵，将等式 A 两边左乘 1A 得 )()( 11 AA 即 )/1(1 A 所以 1A 的特征值为 /1 。 证毕 由定理 1 可知 STAA 1 ，从而 /1 也是 STA 的特征值。 命题 4：如果 A 是 n 阶方阵，且满足 n 是奇数， 1, AEAA ST ，则 0AE 。 命题 5：如果 A 是 n 阶方阵，且满足 ,1, AEAA ST 则 0AE 。 命题 6：设 BA, 是两个 n 阶次正交矩阵，且 1AB ，则 1 STSTSTST BAABBA 命题 7：设 A 是 n 阶实次对称矩阵， B 为 n 阶实反次对称矩阵，且 BABAAB , 可逆，则 1)( BA

14、BA 是次正交矩阵。 2.5 J-次正交矩阵的定义及其性质 在下面，用 E 表示单位矩阵，用 J 表示次单位矩阵，即次对角线上的元素都是 1，其余位置上的数字都是 0 的方阵；用 AAAA STT det, 和 trA 分别表示方阵 A 的转置矩阵、次转置矩阵、伴随矩阵、行列式和迹。 显然，次单位矩阵 J 也是次正交矩阵。 定义 5：设 nmRDCBA , ，若 B 为 A 的全转置矩阵，则记为 0AB ；若 C 为 A 的右转置矩阵，则记为 RAC ，若 D 为 A 的左转置矩阵，则记为 LAD 。 定义 6：设 ,)( nmij RaA 称其次对角线元素之和为 A 的次迹，记为 StrA

15、，即 ni iniaStrA 1 1, 。 定义 7：设 ,)( nmij RaA 如果 JAAAA STST ，则称 A 为 n 阶 J-次正交矩阵。 容易得出，若 A 为 n 阶 J-次正交矩阵 ，则 A 必定为当 4/n 或 4/n-1 时的 n 阶实矩阵，以下所提到的 n 阶 J-次正交矩阵，均指此类型矩阵。 性质 1：设 ,)( nmij RaA 若 A 为 J-次正交矩阵，则 A 一定可逆，且 STJAA 1 。 推论 1：设 nmRA ，若 A 为 J-次正交矩阵，则 1A 与 STA 可互换。 证： 由性质 1 可知 ,1 JAJAA STST 可得 ,11 AAJAAAJAA

16、A STSTSTSTSTST即 ,11 AAAA STST 所以 1A 与 STA 可互换。 性质 2 ：设 nmRA ，若 A 为 J-次正交矩阵，则 （ 1） 1A 也是 J-次正交矩阵； （ 2） LR AAA ,0 都是 J-次正交 矩阵； （ 3） 1det A 。 性质 3：若 nmRA 是 J-次正交矩阵，则当 nmRB 为 J-次正交矩阵时， BBAT 及ABB1 均为 J-次正交矩阵。 性质 4：设 nmRBA , 为 J-次正交矩阵，则有 （ 1） )d e t ()d e t ()d e t ( ABBABA STSTST ； （ 2）若 1)det( AB ，则 0)d

17、et( BA ； （ 3）若 0detdet BA ，则 0)det( BA ； （ 4）若 ,1)d et()1( ABn 则 0)d e t (,0d e td e t BABA ； （ 5）若 n 为奇数，则 0)(d et( BABA 。 性质 5：设 nmRBA , 为可逆矩阵，则 JBBAA STST 的充分必要条件是：存在 J-次正交矩阵 P 使得 PBA 。 性质 6：设 nmRA 为 J-次正交矩阵，则对任意 nmRB 有 （ 1） )()( STST A B AS trBAAS tr ； （ 2） )()( 11 A B AS trBAAS tr ； （ 3） )()( T

18、T AB AS trBAAS tr 。 性质 7：设 是 n 阶 J-次正交矩阵 A 的特征值，则 （ 1） 0 ； （ 2） 1 是 STJA （且是 LA 和 RA ）的特征值； （ 3） r , 21 是 A 的特征值，则 121 r 。 J-次正交矩阵的性质不仅仅是这些，还有很多性质 ，有待进一步讨论。 2.6 K-次正交矩阵的定义及其性质 前面给出了次正交矩阵和 J-次正交矩阵的性质，这里，在此基础上进一步分析了次正交性，给出了 K-次正交矩阵的基本性质。 记 00nnE EK ，则 1K 。（ nE 为 n 阶单位矩阵） 定义 8：设 nmRA 22 ，若 KAAAA STST ，

19、则称 A 为 K-次正交矩阵。记为 KUA 性质 1：若矩阵 KUA ，则 （ 1） A 是非奇异矩阵，且 1A 或 1A ； （ 2） KTKST UAAAUA , 1； （ 3） K 与 TST AAAAA , 1 均可以交换。 性质 2：设 mmRA 22 ，则 KUA 的充分必要条件是 KAKAA STST 1 。 性质 3：设 mmRA 22 ，则 KUA 当且仅当 KUA 0 。 性质 4：设 KUBA , ，则 KUBABABB 00 , 。 性质 5：设 DC BAQ，其中 mmRDCBA , ，则 KUQ 的充分必要条件是 ,;0,0;,;0,0ICAACIDBBDADBCC

20、BDAIDCCDIBAABDACBBCADSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTST同时成立。 K-次正交矩阵的性质不仅仅是这些，还有很多性质，有待进一步讨论。 三、总结部分 本文中首先介绍了矩阵的来由以及矩阵的基本概念，让我们初步了解矩阵的基本情况。矩阵在数学上跟代数紧密相关，了解矩阵不仅能帮助我们更好的了解数学，还锻炼了我们的思维逻辑。然后归纳了次对称矩阵的定义，帮助本次论文中次正交矩阵的性质的阐 述。该矩阵通全转置、次转置，矩阵可逆等知识与正交矩阵，次对称矩阵等特殊矩阵紧紧相关，在矩阵论中有着必不可缺的作用。然后，在此基础上，进一步拓广，提出了 J-次正交矩阵的性质

21、以及 K-次正交矩阵的性质。更全面的揭示了次正交矩阵在矩阵中的作用。因为次正价品矩阵与一些特殊矩阵紧密相关，所以研究次正交矩阵的性质不仅仅只是对其本身的了解，还帮助我们对更多特殊矩阵进行深入研究，进一步帮助我们对矩阵的了解与探索。 四、 参考文献 1 陈景良，陈向晖 .特殊矩阵 .北京：清华大学出版社， 2000:51-55 2 刘丁酉 .矩阵分 析 .武汉：武汉大学出版社， 2003.8:61-67 3 秦兆华 .矩阵的次转置及实次对称矩阵的次正定性 .渝州大学学报：自然科学版，1994.11： 14-18 4 袁晖坪 .次正交矩阵与次对称矩阵 .西南师范大学学报：自然科学版， 1998，

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