1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 分块矩阵的初等变换及其应用 一、 前言部分 在 数学 的 矩阵理论 中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将 矩阵 分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为 对角矩阵 或者是 三角矩阵 等特殊形式的矩阵。 矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的
2、方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有 时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本综述的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用 1。 二、主题部分 2.1 分块矩阵及其初等变换 2.1.1 分块矩阵的定义： 将一个分块矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为 A的子块。以子块为元素的矩阵 A称为分
3、块矩阵。 我们将单位矩阵 E 分块： srrEEE0000001 ，其中 Er是 ri 阶单位矩阵 (10，从而 A正定 假设对于 n-1阶实 对称矩阵命题为真。现在看 n阶实对称矩阵 A=（ ay）把 A写成分块矩阵： mAA n 1 其中 An-1是 n-1阶实对称矩阵。显然 An-1的所有顺序主子式是 A的 1阶至 n-1阶顺序主子式，由已知条件得，它们都大于零。于是据归纳假设得， An-1是正定的。因此有 n-1阶实可逆矩阵C1，使得 : C1An-1C1=In-1 由于 1 111 111 0 00 nnnnnnnnnnn AaAAaAaA记 b=ann- A-1n-1 ，因此 bA
4、AIaAAI nnnnnnnn 0 0101 0 11 1111 11 （ 6） 由于 101 01 111 11 nnnn AIAI因此从（ 6）式得 A与 bAn0 01合同，且 A = An-1 b ，从而 b0由于 ,0 00 010 00 010 0 111111 bIbCACCbAC nnn 因此 bAn0 01与 bIn0 01合同。由于 bIn0 01矩阵是正定的，于是 A是正定的。 根据数学归纳法原理，命题 得证。 2.2.5 分块矩阵在相似问题中的应用 12 定理 3 如果方阵 AB，方阵 CD,则 , CA0 0 DB0 0 AB, 方阵 CD. CAYXYEEXCAEX
5、YE 0 00 00 00 00 00 00 0 1111 DBY C YAXXYX 0 00 00 0 1 而 YEEXYEEXEXYE 0 00 00 00 00 00 01111111 CA0 0 DB0 0三、总结部分 本综述通过大量的例题对分块矩 阵在计算方面的应用进行了总结分析。利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面，本文着重论述了将一个高级矩阵进行行矩阵分块成二级矩阵后，通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法，并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法。通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数学中所具有一定的优越性，也给出了分块矩阵
6、和矩阵分块在代数中的所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨。 四、参考文献 1 吴云，徐小湛 .分块矩阵的初等变换，工科数学， 1997.8，第 13 卷第四期 2 上海交通大学线性代数编写组编 .线性代数，北京，高等教育出版社， 1982.7： 58 3 王萼芳 . 高等代数教程 M. 北京 : 清华大学出版社 , 1996:111. 4 陈凯，麦学贤 .线性代数及其应用，武汉，水利电力出版社， 1985.10： 185 5 杜世平 .分块矩阵行列式计算方法探究，成都，达县师范专科学校
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