1、 http:/ 第 1 页 共 13 页 2004 年普通高等学校招生全国统一考试 (重庆卷 ) 数学 (理工农医类 ) 本试卷分第部分（选择题）和第部分（非选择题）共 150 分 考试时间 120 分钟 . 第部分（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、 B 相互独立，那幺 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 knkknn PPCkP )1()( 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给 出的四个选
2、项中，只有一项是符合题目要求的 . 1函数12log (3 2)yx的定义域是： （ ） A 1, ) B 23( , ) C 23,1 D 23(,1 2设复数 zziz 2,21 2 则 , 则 2 2ZZ （ ） A 3 B 3 C 3i D 3i 3圆 22 2 4 3 0x y x y 的圆心到直线 1xy的距离为 （ ） A 2 B 22 C 1 D 2 4不等式 2 21x x 的解集是 （ ） A ( 1,0) (1, ) B ( , 1) (0,1) C ( 1,0) (0,1) D ( , 1) (1, ) 5 s i n 1 6 3 s i n 2 2 3 s i n 2
3、 5 3 s i n 3 1 3 （ ） A 12 B 12 C 32 D 32 6若向量 a与 b 的夹角为 60 ， | | 4 , ( 2 ) .( 3 ) 7 2b a b a b ,则向量 a 的模为 （ ） A 2 B 4 C 6 D 12 7一元二次方程 2 2 1 0 , ( 0 )ax x a 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （ ） A 0a B 0a C 1a D 1a 8设 P 是 60 的二面角 l 内一点， ,P A P B平 面 平 面 ,A,B为 垂足，4, 2,PA PB则 AB 的长为 （ ） A 23 B 25 C 27 D 42 9 若 na 是
4、等差数列，首项 1 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 40 , 0 , . 0a a a a a ，则使前 n 项和 0nS成立的最大自然数 n 是： （ ） http:/ 第 2 页 共 13 页 A B C A B C A B C A B C P P P P A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 10已知双曲线 2222 1, ( 0 , 0 )xy abab 的左，右焦点分别为 12,FF,点 P 在双曲线的右支上，且 12| | 4 | |PF PF ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为： （ ） A 43 B 53 C 2 D 73 11某
5、校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位，其它班有 5 位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为： （ ） A 110 B 120 C 140 D 1120 12若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与 ABC 组成图形可能是 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 第部分（非选择题 共 90 分） 题 号 二 三 总 分 17 18 19 20 21 22 分 数 二、
6、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 . 13.若在 5(1 )ax 的展开式中 3x 的系数为 80 ，则 _a . 14曲线 23112224y x y x 与 在交点处切线的夹角是 _，（用幅度数作答） http:/ 第 3 页 共 13 页 15如图 P1是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 P1的左下端剪去一个半径为 12 的半圆后得到图形 P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形 P3、 P4、 .，Pn， , 记纸板 Pn的面积为 nS ，则 lim _ _nx S . 16对任意实数 K，直线： y kx
7、b与椭圆： )20(s in41 c o s23 yx恒有公共点，则 b 取值范围是 _ 三、解答题：本题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分 12 分） 求函数 44s in 2 3 s in c o s c o sy x x x x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 0, 上的单调递增区间。 18（本小题满分 12 分） 设一汽车在前进途中要经 过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34 ，遇到红灯（禁止通行）的概率为 14 。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，P1 P2 P3 P4 http:/ 第 4
8、 页 共 13 页 B Y y2=2px 表示停车时已经通过的路口数，求： （ 1） 的概率的分布列及期望 E ; (2 ) 停车时最多已通过 3 个路口的概率。 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， , , / / ,P A A B C D A E P D E F C D A M E F 底 面 （ 1）明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线； （ 2）若 3PA AB ,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值。 20（本小题满分 12 分） 设函数 ( ) ( 1 ) ( ) , ( 1 )f x x x x a a （ 1）求导数 /(
9、)fx; 并证明 ()fx有两个不同的极值点 12,xx; （ 2）若不等式 12( ) ( ) 0f x f x成立，求 a 的取值范围 . 21（本小题满分 12 分） 设 0p 是一常数，过点 (2 ,0)Qp 的直线与抛物线 2 2y px 交于相异两点 A、 B，以线段 AB 为直经作圆 H（ H 为圆心）。试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程 . http:/ 第 5 页 共 13 页 A O X Q(2p,0) 22（本小题满分 14 分） 设数列 na 满足11 12 , , ( 1 , 2 , 3 . . . .)nn na a a n
10、a （ 1）证明 21nan对一切正整数 n 成立； （ 2）令 , ( 1, 2 , 3 .)nn abnn,判断 1nnbb与 的大小，并说明理由。 http:/ 第 6 页 共 13 页 参考答案 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分 . 1 D 2 A 3 D 4 A 5 B 6 C 7 C 8 C 9 B 10 B 11 D 12 D 二、填空题：每小题 4 分，共 16 分 . 13 2 14415316 1，3 三、解答题：共 74 分 . 17（本小题 12 分） 解： xxxxy 44 c o sc o ss in32s in )62s in (22c o s2s in3
11、2s in3)c o s) ( s inc o s( s in 2222xxxxxxxx故该函数的最小正周期是 ；最小值是 2； 单增区间是 31,0 ， ,65 18（本小题 12 分） 解：（ I） 的所有可能值为 0， 1， 2， 3， 4 用 AK表示“汽车通过第 k 个路口时不停（遇绿灯）”， 则 P（ AK） =4321 ,),4,3,2,1(43 AAAAk 且独立 . 故 ,41)()0(1 APP http:/ 第 7 页 共 13 页 2 5 681)43()()4(,2 5 62741)43()()3(,64941)43()()2(1634143)()1(44321343
12、21232121AAAAPPAAAAPPAAAPPAAPP从而 有分布列： 0 1 2 3 4 P 41 163 649 25627256812 5 65 2 52 5 68142 5 627364921631410 E （ II） 2 5 61 7 52 5 6811)4(1)3( PP 答：停车时最多已通过 3 个路口的概率为 256175 . 19（本小题 12 分） （ I）证明：因 PA底面，有 PA AB，又知 AB AD， 故 AB面 PAD，推得 BA AE， 又 AM CD EF，且 AM=EF， 证得 AEFM 是矩形，故 AM MF. 又因 AE PD， AE CD，故
13、AE面 PCD， 而 MF AE，得 MF面 PCD， 故 MF PC， 因此 MF 是 AB 与 PC 的公垂线 . （ II）解：连结 BD 交 AC 于 O，连结 BE，过 O作 BE的垂线 OH， 垂足 H 在 BE 上 . 易知 PD面 MAE，故 DE BE， 又 OH BE，故 OH/DE， 因此 OH面 MAE. 连结 AH，则 HAO 是所要求的线 AC 与面 NAE 所成的角 设 AB=a，则 PA=3a， aACAO 2221 . 因 Rt ADERt PDA，故 http:/ 第 8 页 共 13 页 中从而在 A H ORtaEDOHaaaaPDADED.10221,
14、10)3( 2222.10 520122102s in aaAOOHH A O20（本小题 12 分） 解：（ I） .)1(23)( 2 axaxxf 0)(,;0)(,;0)(,:)()(3)(,04)1(4.0)1(230)(221121212122xfxxxfxxxxfxxxfxxxxxfxxxxaaaaxaxxf时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此 1x 是极大值点， 2x 是极小值点 . （ II）因 故得不等式,0)()( 21 xfxf .0)(2)(1(3)( .0)()(1( 21212212122121 2122213231 xxaxxx
15、xaxxxxxx xxaxxaxx即又由（ I）知 .3),1(322121axxaxx代入前面不等式，两边除以（ 1+a），并化简得 .0)()(,2,)(212.0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得xfxfaaaaa21（本小题 12 分） 解法一：由题意，直线 AB 不能是水平线， 故可设直线方程为： pxky 2 . http:/ 第 9 页 共 13 页 又设 ),(),( BBAA yxByxA ，则其坐标满足 .2 ,22 pxypxky 消去 x 得 042 22 ppkyy 由此得 .4 ,22pyypkyyBABA 22224)2( )(,)24()(4ppyy
16、xxpkyykpxxBABABABA 因此 OBOAyyxxOBOA BABA 即,0. 故 O 必在圆 H 的圆周上 . 又由题意圆心 H（ HHyx, ）是 AB 的中点，故 .2,)2(2 2kpyyypkxxxBABBAH 由前已证， OH 应是圆 H 的半径，且 pkkyxOH HH 45| 2422 . 从而当 k=0 时，圆 H 的半径最小，亦使圆 H 的面积最小 . 此时，直线 AB 的方程为： x=2p. 解法二：由题意，直线 AB 不能是水平线，故可设直线方程为： ky=x 2p 又设 ),(),( BBAA yxByxA ，则其坐标满足 .2 ,22 pxypxky 分别
17、消去 x， y 得 .04)2(2 ,042 22222pxkpx pp kyy故得 A、 B 所在圆的方程 .02)2(2 222 p k yxkpyx 明显地， O（ 0， 0）满足上面方程所表示的圆上， 又知 A、 B 中点 H 的坐标为 ),)2()2,2( 2 kppkyyxx BABA 故 22222 )2(| pkpkOH 而前面圆的方程可表示为 22222222 )2()()2( pkpkpkypkx http:/ 第 10 页 共 13 页 故 |OH|为上面圆的半径 R，从而以 AB 为直径的圆必过点 O（ 0， 0） . 又 22422 )45(| pkkOHR ， 故当
18、 k=0 时 ， R2最小，从而圆的面积最小，此时直线 AB 的方程为： x=2p. 解法三：同解法一得 O 必在圆 H 的圆周上 又直径 |AB|= 22 )()( BABA yyxx .44222222222pxxpxxpxpxxxyyxxBABABABABABA上式当 BA xx 时，等号成立，直径 |AB|最小，从而圆面积最小 . 此时直线 AB 的方程为 x=2p. 22（本小题 14 分） （ I）证法一：当 ,1122,1 1 an 时 不等式成立 . .1)1(2,1.1)1(213221,1.12,122221时成立时时当成立时假设kaknkakaaaknkaknkkkkkk综上由数学归纳法可知， 12 nan 对一切正整数成立 . 证法二：当 n=1 时， 112321 a .结论成立 . 假设 n=k 时结论成立，即 .12 kak 当 )1(1)(,1 xxxxfkn 由函数时 的单增性和归纳假设有 .012132)12112(.3212112:.12112121显然成立而这等价于因此只需证kkkkkkkkkaaakkk所以当 n=k+1 时，结论成立 . 因此， 12 nan 对一切正整数 n 均 成立 .
