1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 微积分理论中的重要思想及其应用 一 前言部分 微积分又称“数学分析”，人们还常简单的称之为“分析学”。事实上，“数学分析”是在微积分发展趋于成熟时期才比较通用的名称。它主要包括实数理论、极限理论、微分学、积分学和无穷级数等部分。微分学与积分学是以极限作为基础的，极限论是以实数理论作为基础的。那么，什么是微积分的主题？答案很明确：微分学主要是处理函数变量（应变量）的变化率问题，即讨论微商（导数）的计算法则和有关问题。积分学是处理微分学的反问题，即如何从变化率去寻求（包括分析、 计算）原函数问题 1 。 微积分是一门变量数学，它是通过合理的抽象模式来表现变量间的种
2、种普遍关系结构的。在人们对微积分的不断探索中，形成了各式各样的理论：柯西的积分概念、积分中值定理、微分中值定理、洛必达法则、泰勒展式等等，其中最重要的灵魂核心是著名的牛顿 -莱布尼茨公式，又叫做“积分学基本定理”，它表明了积分与微分互为反运算过程的基本关系。 在实际应用上，利用变化率来描写的数量是多不胜举。例如曲线的斜率、变速运动的速度、交流电的电流强度、空间温度场的梯度以及现代经济学上的边 际劳动生产率、边际税率等等，反过来，已知斜率、速度等变量来寻求满足的方程或函数等。与此同时，微积分对其他学科以及人类物质文明也有着巨大的影响。有了微积分就有了工业革命，就产生了现代化社会，同时现代的工程技
3、术直接影响着人们的生产，而工程技术的基础就是微积分。由此可见，微积分的重要性。 微积分也蕴含着一些哲学思想，它体现了对立与统一的规律，渗透着辩证法的思想，为解决芝诺悖论提供了新思路，这个悖论事实上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的，我们运用微积分中的极限来解决，无限是有限的发展，把它定义为“部分和 ”的极限，只有借助极限才可以认识无限，于是就得到了整体与部分相互转化的关系，同时微积分也蕴含着物质是无限可分的，物质世界是不断变化等真理 2 。 二主题部分 2.1 历史背景 2.1.1 微积分思想的酝酿和产生 古典意义下的微积分是微分学和积分学的总称，是马克思主义经典著作中所说的“变量数
4、学”或“高等数学”的主体部分。它作为一门学科，产生于 17 世纪后半期，以牛顿和莱布尼茨的工作为标志，经过 18世纪的讨论、研究，于 19世纪才用极限法改造、定型成今天的形式。但是微积分中 某些重要概念却萌芽于两千多年以前。古希腊芝诺的“二分法”、“阿基里斯追龟”和我国庄子中“一尺之锤”等都是早期的极限思想。我国古代用“割圆术”求圆的面积，以及希腊用“穷竭法”计算曲边图形的面积和体积，都是极限思想在数学中的应用。今天的微分和积分思想虽然可以追溯到古代原子论学说，但是知道 17世纪中期之前，二者却互不相干，各自独立而又平行地发展着。 从 16 世纪后半期到 17 世纪前半期，积分思想是围绕“求积
5、问题”发展的。它主要包括几何学和力学两个方面的问题。几何学方面是求平面曲线包围的面积、空间曲面包围的体积以及 求曲线的弧长；力学方面是计算非匀速运动物体经过的路程、物体的中心以及液体压力等。求积法从最初修改穷竭法开始，到同维无穷小法，卡瓦列利得不可分元法，再到不可分元的算术化，中间经过许多人的工作，积聚了极其丰富的材料，诞生了现代的积分学。 在历史上，几何学中求曲线在其上一点之切线问题，力学中求质点运动的瞬时速度问题，以及求变量的极值问题，是产生微分学的基本问题。在牛顿以前，求切线问题对微积分的产生有直接的影响。马克思指出“全部微分学本来产生了求任意一条曲线上任何一点的切线的问题”，于是产生了
6、笛卡尔用“重根法”作切 线，费尔马借助微小增量作切线，罗伯尔瓦等借助合成运动速度作切线，巴罗等利用“特征三角形”作切线等等。微积分经过大约一个半世纪的酝酿，以费尔马和巴罗的工作为结束。 2.1.2 微积分基本定理的历史 早在中世纪时，某些经院哲学家对运动和变化曾进行过思辨式的研究，文艺复兴开始以后大约两个世纪的时期内，是微分学和积分学平行而又独立地迅速发展的时期，是微积分作为一门学科的酝酿时期，也是微积分基本定理的酝酿时期。在微积分的先驱那里，已经意识到求非匀速运动的路程、求一直曲线下的面积以及求曲线的弧长等问题有某种统一性 都 是无穷多个无穷小的总和；也认识到求非匀速运动在给定时刻的速度、求
7、曲线在一点的切线以及求变量的机制等问题也有某种统一性 都是求变量的变化率问题。但是都没有明确的提出微积分定理，直到在牛顿和莱布尼茨的工作中才比较明确地提了出来 3 。 基本定理的思想，牛顿在 1666年已有。他在 1666年 10月所写的短论一文中就讨论了如何借助反微分计算面积问题。他说，反微分“总能做出可以解决的一切问题”。如果设曲线 ()y f x 同 x 轴之间的面积为 Ax ，牛顿断定 Ax 就是 fx。这是微积分的历史上第一次用比较明确的形式提出的微积分基本定理。牛顿意识到用反微分法代替求积法的重要性和普遍性，所以他强调了这个方法既可以“直接用”，也可以“反过来用”。所谓“直接用”，
8、就是切线法，即今天的由 Fx求它的导数 Fx；所谓“反过来用”，就是积分法，即今天的由 fx求 Fx，使得 F x f x 。牛顿这一思想用今天的符号表示就是微积分基本定理： xd f t dt f xadx 。 莱布尼茨也是微积分的重要奠基人之一，他的积分完全继承了先驱们求微元和的思想。设给定的曲线是 Z f x ，为了求出该曲线在区间 ,ab 上面积 Zdx ，必须求出另一条纵坐标为 y 的曲线 ，即他所谓的割圆曲线，使得 dy Zdx a ， a 为常数。这时由于 Zdx ady ，于是就有 Zdx a dy ay，莱布尼茨通常假定曲线 y 经过原点，于是在莱布尼茨的微积分中，求积问题就
9、化归为反切线问题。也就是说，为了求得纵坐标为 Z 的曲线下的面积Zdx ，只须求出一条纵坐标为 y 的曲线，使得它的切线满足条件 dy Zdx a ，设 1a ，再由曲线 Z f x 在区间 ,ob 上的面积减去在区间 ,ao 上的面积，就得出公式 a f x d x y b y ab 。在现在的微积分中，我们称这个式子为“牛顿 莱布尼茨公式”。 随后柯西又用极限理论定义了积分，设函数 fx在区间 0,xX上连续，并用分点 1, 2 , 3 , ,inx i x X 对其分割，于是和式 111nn i i iiS f x x x，表示以 1ifx为高，以 1iixx 为底的 n 个矩形面积之和
10、，当 n 很大，且 1iixx 很小时，和式 nS 就同该曲线在曲线 0,xX上的面积 S 近似，即 111ni i iiS f x x x，它最终到达某一个极限，这个极限仅仅依赖于函数 fx的形式以及变量 x 的两个端值 0x 和 X ，我们把这个极限称为定积分，用符号表示就是 1110 l i mni i in ixS f x dx f x x xx ，当柯西定义了闭区间上连续函数的定积分之后，又把这一定义应用到分段连续函数。即设 fx在区间 0,xX 上有 n 个有限间断点 ix ，则 fx 在该区间上的定积分定义为 101n ii ixxf x dx f x dx 47 。 之后黎曼和
11、勒贝格等也为微积分定理做出了伟大的贡献。 2.2 现代微积分 2.2.1 极限 微积分是在极限得基础上建立起来的，那么什么是极限呢？ 定义 1：设函数 fx在点 0x 的某一去新领域内有定义，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 ，使得当 x 满足不等式 00 xx 时，对应的函数值 fx都满足不等式 f x A 。那么常数 A 就叫做函数 fx当 0xx 时的极限，记作 0limxxf x A 或 f x A （当 0xx ） 我们指出，定义中 00 xx 表示 0xx ，所以 0xx 时 fx有没有极限，与 fx在点 0x 是否有定义并无关系。 定义 2：
12、设函数 fx当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 X ，使得当 x 满足不等式 xX 时，对应的函数值 fx都满足不等式 f x A ，那么常数 A 就叫做函数 fx当 x 得极限，记作 limx f x A 或者 f x A （ x ）。 定理 1：（函数极限的唯一性） 如果 0limxxfx存在，那么这极限唯一。 定理 2：（函数极限的局部有界性） 如果 0limxxf x A ，那么存在常数 0M 和 0 ，使得当 00 xx 时，有 f x M 定理 3：（函数极限的局部保号性） 如果 0limxxf x A ，而且 0A
13、（或 0A ），那么存在常数 0 ，使得当 00 xx 时，有 0fx （或 0fx ） 定理 3：如果 0limxxf x A 0A，那么就存在着 0x 的某一去心领域 0oUx，当 0ox U x 时，就有 2Afx 定理 4： （函数极限与数列极限的关系）如果 0limxxfx存在， nx 为函数 fx的定义域内任一收敛于 0x 的 数列，且满足： 0nxx nN ，那么相应的函数值数列 nfx必收敛，且 0lim limn xxf x f x 811 。 2.2.2 微积分的应用 微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分及微积分方程从万有引力中导出了开普勒行星运动第三定理，此
14、后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用 科学中各个分支中的发展，并在这些领域中有越来越广泛的应用，航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下完成的。并且微积分在人类从农业社会跨入工业社会的过程中起到了决定性的作用。微积分在物理学上，研究变力做功问题，圆周向心加速度的方向问题，等；在经济领域，研究边际需求与编辑供给问题，边际成本函数、边际利润函数等；在生物领域，研究生物种群数量问题 1215 。 2.3 微积分蕴含的哲学思想 微积分是一门十分抽象的纯理性科学，它有一系列符号表现形式及远离日常生
15、活的抽象术语，因 而使许多人都误以为微积分是一门枯燥无味而严酷的学科，似乎与美学无关，实际上，微积分是一门最美的科学，它对于塑造完美的人性来说，有着理想不到的功效。微积分教会人们客观地、公正地对待事物和处理问题，能杜绝人们的主观偏见，还能激发人们对真理的热爱，并能增长人们追求真理的勇气和毅力。微积分中美的标准和一般事物中的一些美的标准时完全一致的，它们都表现为简单性、统一性、和谐性、对称性、奇异性等。同时微积分还蕴含着辩证关系，微积分中的一些基本概念如变量、极限、函数、微分、积分等从本质上看是辩证法在数学中的运用。辩证法在微 积分中体现了曲线形和直线形、无限和有限、近似和准确、量变和质量等范畴
16、的对立统一。它使得局部与总体、微观与宏观、过程与状态、瞬间与阶段的联系更加明确。 三总结部分 本文首先介绍了微积分的基本概念，它的起源发展，以及古代微积分中的一些重要思想。极限是微积分的基础，于是介绍了极限的概念以及极限的一些基本性质，如唯一性定理等。在现代生活中，微积分的应用越来越广泛，本文简单描述了微积分的一些基本应用。最后本文将微积分上升到一个哲学的高度去认识，在微积分中蕴含中许多哲学思想，如整体与部分的转化、质变与量变的关系、对立 统一的规律等等。 四参考文献 1. 徐利治 . 微积分大意 M. 大连理工出版社 , 2007 2. 周述岐 . 数学思想和数学哲学 M. 中国人民大学出版
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