1、毕业论文文献综述 信息与计算科学 重积分的数值计算 一、前言部分 多重积分是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数 (多变量的函数 )，例如求 f(x,y)或者 f(x,y,z)类型的多元函数的积分 . 设 f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域 D 上的函数 J 是一个确定的数，若对任给的正数 ，总存在某个正数 ，对于 D 的任何分割 T，当它的细度 T 时，属于 T的所有积分和都有 ni iii Jf1 ),(,则称 f(x,y)在 D 上可积，数 J 称为函数 f(x,y)在 D 上的二重积分，记作 dyxfJ D ),( ， 其中 f(x,y)称为二重积分的被积函数， x,y 称为积
2、分变量， D 称为积分区域 . 1 定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题 .求不定积分时求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限 2.定积分的几乎所有性质都可以推广到重积分 3. 重积分计算是数值计算方法中的一个分支，数值计算方法又是数学的一个分支 ，它以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象，其内容包括：函数插值，数值微分和积分，线性方程组的解法等 .科学计算是我们人类从事科学探索和研究时必不可少的手段 .在计算机技术与计算机得到迅速发展的今天，我们有了快速数字电子计算机的工具，科学计算被推向科学活动的前沿，上升为一种重要的科学 . 将科学技术中的实际问题转化为数学问题，即根据
3、相关科学理论，建立数学模型，然后求解，这是进行科学计算的前提或先决条件 .实际上，许多数学问题是没有办法求出其精确解的 .因此，只好通过数值计算方法求其近似值 .重积分是数值计算方法 里重要的一个部分，应用极为广泛，无论是日常工农业生产还是国防尖端科学技术的研究，如，大、中型机电产品的优化设计、重大工程项目的设计、地质勘探与油田开发、气象预报与地震预测、新型尖端武器的研制和航天与航空的发展等都离不开它，近年来还被应用到医学、生物学及经济管理、金融和社会学等领域 . 4 二、 主题部分 2.1 梯形 求积 公式及其复合公式 2.1.1 梯形 求积 公式 当我们需要计算函数 ),( yxfz 在
4、xOy 平面的某个区域上的定积分时 候，必须要计算多重积分 .在初等微积分中已经学过， 2 重积分可以化成累次积分计算 .于是我们有 ba dc badcA dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),( , (2.1.1) 在式 (2.1.1)中，积分区域是由下面的直线围成的矩形区域 dycybxax , . 事实上，积分区域不必是矩形的，累次积分分限也不必是常数，但是我们把这种情况放到后面来讨论 .在累次积分过程中，当对 y 积分时设 x 是常数 . 当求积节点 取为等距节点 khaxk (k=0,1, ,n,h=(b-a)/n) (2.1.2) 时，记 x=a+th,则得求积
5、系数 ba nkkkkkk nkkkba knk dxxxxxxxxx xxxxxxxxxxdxxl )()()( )()()()()( 110 1110)( = nkn nkdtntktktttknk h 0 .,1,0,)()1)(1()1()!(! )1(2.1.3) 求积节点为等距节点的求积公式， nk knk ffQn0)( 称为牛顿 -科茨公式 . 在牛顿 -科茨公式求积系数公式中，当 n=1 时有 ),(21)1()( 10)1(0 abdttab (2.1.4) ).(21)( 10)1(1 abtd tab (2.1.5) 将求积系数 )1(1)1(0 , 代入求积公式 nk
6、 knk ffQn0)( 得到 ).()(2 bfafabfQn (2.1.6) 称为梯形求积公式，它的余项是 ba badxbxaxffR ).,(,)()(211 (2.1.7) 设积分区域是矩形 ,|),( BybAxayxR , (2.1.8) 它的每一边平行于坐标轴，令 BybyAxax 1010 , 于是得到 4 个点 )1,0,)(,( lkyx lk .如果 f 在 R 内连续，则有 R ),(),( BbAa dyyxfdxd x d yyxf (2.1.9) 利用梯形公式计算内部积分 dxyxfyxfbBd x d yyxf Aa ),(),(2),( 10R ， (2.1
7、.10) 对上式右边再次应用梯形公式，可得 R yxfyxfyxfyxfaAbBd x d yyxf ),(),(),(),()(41),( 11100100. (2.1.11) 这式 (2.1.11)即梯形求积公式在重积分上的形式 . 2.1.2 复合梯形 求积 公式 应用高阶的 Newton-Cotes 型求积公式计算积分 ba dxxf )(会出现数值不稳定，低阶公式(如梯形 )又往往因为积分区间步长过大使得离散误差大 .然后，若积分区间愈小，则离散误差小 .因此，为了提高求积公式的精确度，可以把积分区间分成人若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来 .这种公式称为复合
8、求积公式 . 由于 ）（ bxaxx )( 在区间 a,b上不变号，故由积分中值定理知，存在）（ ba, 使得 ).()(121)()(21 31 fabdxbxaxffR ba (2.1.12) 记 h=(b-a)/m, .,1,0, mkkhax k 在每个小区间 , 1kk xx 上使用梯形求积公式，便得到 )2(2 110)(1 mk kmm fffhfQ ， (2.1.13) 称之为复合梯形求积公式，它的余项为 ),(12 )()(12)(12 231 3)(1 fhabfmhfhfR mk km (2.1.14) 其中 ),( ba .(2.1.10)的第 2 个等号的推导用到了介
9、值定理 . 把上面的矩形 R 的边分别分为 n 等分和 m 等分，这样便把 R 分为边长为 h 和 k 的 mn个小矩形 .在每个小矩形上应用梯形求积公式得 ),(),(),(),(4),( 111110 10 iiiiiini iimjRyxfyxfyxfyxfhkdydxyxf ， (2.1.15) 其中 ),1,0(),1,0( mjjkyniihx ji . 上式可以改写为 ),(4),( 0 0 jini mj ijR yxfkhd x d yyxf , (2.1.16) 其中 ij 是下面矩阵 的相应元素， 122. . .221244. . .442244. . .442. .
10、. . . . . . . . . . .244. . .442244. . .442122. . .221， (2.1.17) 式 (2.1.17)称为复合梯形求积公式 . 2.2.1 抛物线求积公式 梯形公式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数 .如果用 2 次或者 3 次插值多项 式那么逼近效果会更好 .抛物线求积公式建立的基础就是这种逼近 .我们给出两个公式：抛物线求积公式和复合抛物线求积公式 .抛 物线求积公式也叫辛普森求积公式 , 复合抛物线求积公式也叫复合辛普森求积公式 . 我们用 2 次牛顿 -格雷格里向前多项式推到抛物线求积公式，其中结点 210 , xxx 是均与分布的
11、，相邻两点的距离是 h ： )3122()46(2)2)1()2)1()(0200202302202020020020002002020fffhssfhsfhshfdsfssfsfhxdfssfsfdxxfxxxx).4(3 210 fffh (2.2.1) 通过对多项式误差的积分得到积分误 差： 20)4(5 ),(901 xxfh . (2.2.2) 抛物线求积公式需要将积分区间分成偶数个小的子区间 . 设积分区域是矩形 ,|),( BybAxayxR ,分别用点Ahaxhaxax 2, 210 ， 和 Bkbykbyby 2, 210 . 划分区间 a,A和 b,B,其中 )(21),(
12、21 bBkaAh .这样得到 9 点 )2,1,0,)(,( jiyx ji ,点的分布为1414164141 ,利用式 (2.1.9)，并对内部积分用抛物线求积公式，有 ),(),(4),(3),( 210 AaAaAaR dxyxfdxyxfdxyxfkd x d yyxf . (2.2.3) 再对上式右边的每个积分应用抛物线公式，有 ),(4),(),(),(),(9),( 0122022000 yxfyxfyxfyxfyxfkhd x d yyxfR ),(16),(),(),( 11211210 yxfyxfyxfyxf (2.2.4) 此公式称作抛物线 公式 .5 2.2.2 复
13、合抛物线求积公式 相似地，对被积函数的 4 个插值结点的 3 次牛顿 -格雷戈里插值多项式及其插值误差函数积分，我们能推导出复合抛物 线求积公式： )3(83)()( 320533030 fffhdxxPdxxf xxxx . (2.2.5) 误差 =3101)4(5 ),(503 xxfh . 如果子区间数能被 3 整除，则可以用复合抛物线求积公式 .显然复合抛物线求积公式的误差比抛物线求积公式的大，这两个公式的局部误差都是 )(5hO .它们的整体误差都是)( 4hO ，原因同梯形求积分公式的情况 . 既然复合抛物线求积公式的误差大，为什么还要使用它呢？他的一个重要的应用是计算子区间的个
14、数为奇数时的积分值 .另外，对于奇数个子区间上的积分 .在前 3 个或者后 3 个子区间应该用在被积函数近似的直线区 间上 .6 在重积分上， 设积分区域是矩形 ,|),( BybAxayxR ,把矩形 R的每边分别分成 n 等分和 m 等分 ,这就得到了 nm 个小矩形，再把每个小矩形等分为四部分，这样就把 R 剖分成更小的矩形，并把这些矩形的顶点用作求积公式中的节 点 .7 令 maBknaAh 2,2 , (2.2.6) 那么节点的坐标为 ),2,1,0,( ),2,1,0,(0000 mjbyjhyy niaxihxxji (2.2.7) 在第一次分 R 的 nm 个矩形上应用公式并记
15、 ),( jij yxffi 后，有 12,222,1210 22,222,22222,210 (4),(9),( jijini jijijijimjR ffffffhkd x d yyxf16) 12,1212,222,12 jijiji fff . (2.2.8) 改写上式可以得到 ijnimj ijR fhkd x d yyxf 20209),( (2.2.9) 其中系数 ij 是矩阵 的相应的元素， 定义为 1424242418168168168164284848482284848482416816868164142424241(2.2.10) 2.3 Gauss 型求积公式 2.3.
16、1 Gauss 型求积公式 首先，不论求积节点如何选取， n+1 点求积公式 nk knkn ffQ0)( 的代数精确度不能打到 2n+28. .事实上，对任意给定的节点 nxxx , 10 和任意给定的求积系数 )(nk ,取 20 )()( ni ixxxf, (2.3.1) 则 f(x)是 2n+2 次多项式，用求积公式计算得 0)(0 )( nk knk xf ， (2.3.2) 项式，而积分值 ba dxxf 0)( . 这说明对任意给定的 n+1 点求积公式，都可以找到一个 2n+2 次多项式，使得求积公式对该多项式的积分是不 精确的 .9 其 次 ， 通 过 适 当 选 择 插
17、值 结 点 nxxx , 10 和 求 积 系 数 ， 可 使 求 积 公 式 nk knkn ffQ 0 )( 的代数精确度达到 2n+1，这是这个求积公式可能具有的最高的代数精确度 . 考虑计算区间 -1,1上的积分 dxxfI 11 )(的两点 (n=1 的情形 )求积公式 11 1100 )()()( xfwxfwdxxf , (2.3.3) 这时求积公式的代数精确度不超过 2n+1=3,将求积节点 10,xx 和求积系数 10, 作为 4 个待定参数，依次取被积函数 f(x)为 1， 32, xxx ,代入求积公式，得到关于参数 10,xx , 10, 的方程组 .010,3210,
18、0,231302120110010xxxxxx(2.3.4) 由此，可解出 ,110 33,3310 xx.这样便得到求积公式， 1 1 1 ).31()31()( fffQdxxf (2.3.5) 上述方法是将求积节点和求积系数视为同等的参数进行求解 .对一般的求积公式，也可以用此方法将求积节点和求积系数一并求出，从而得到具有最高代数精确度的求积公式，但由于此时的求积公式一定是插值型，只要求积节点确定下来，求积系数便可随之确定 .因此，确定求积节点就成为公式构造的关键 .10 若 a,b区间上一组节点 nxxx , 10 使得相应的求积公式 nk knkn ffQ0)( 具有2n+1 次代数
19、精度，则称此点组为 Guass 点组，相应的求积公式 nk knkn ffQ0)( 为高斯型求积公式 .高斯点组可直接通过求解相应的方程组得到，也可借助正交多项式的零点来确定 . 设区间 a,b=-1,1，在 -1,1上取权函数 1)( x ，那么相应的正交多项式为勒让德多项式 nP ， )1(!2 1)( 2 nnnnn xdxdnxP (2.3.6) 设 1,1Cf ，那么高斯求积公式化为 11 1 )()( nk nkk fRxfAdxxf ， (2.3.7) 其中高斯点 nxxx , 21 为勒让德多项式 )(xPn 的零点，求积公式 (2.3.7)称为高斯 -勒让德求积公式 .公式
20、(2.3.7)中求积系数 )()( 12 1 knknk xPxPnA . (2.3.8) 由式 (2.3.7)得 ni ii tgAdttg 111 )()( ， (2.3.9) 对 2n-1次的代数多项式是精确成立的，定积分的高斯 -勒让德求积公式很容易推广到重积分 11 11 ),()( d xd yyxffI (2.3.10) 的求积，求积公式 1 1 1 11 1 ),(),( ni jinj ji ttfAAd x d yyxf (2.3.11) 对于二元函数 120,120,1,1,),( nnyxyxyxf 精确成立 .这式 (2.3.11)也称为重积分的高斯型求积公式 . 1
21、1 2.3.2 另外几种高斯型求积公 式 在物理和力学中常常遇到一些带有权函数的广义积分，对于这些积分使用其他求积公式会遇到困难 .对于不同的权函数，便有不同的直交多项式，从而得到不同的具体高斯型求积公式 .而针对权函数和积分区间，选择适当的节点构造代数代数精确度最高的高斯型求积公式进行计算，通常是有效地 .当然要构造高斯型求积公式，计算节点和求积系数是比较麻烦的 .对于一些常用的特定的权函数，前人已算出他们的节点和求积系数表，计算这些积分时可以直接查表得到求积 公式， 12下 面给出几种常用的高斯型求积公式的节点和求积系数表，并举例说明如何使用这 种方法 . 1)Gauss-Laguerre
22、 求积公式 ,)()(0 0 )( nk knkx xfdxxfe (2.3.12) 节点和求积系数如表 1 Gauss-Laguerre 求积公式的余项为 )()!22( )!1( )22(2 nn fnnfR. (2.3.13) 表 1 Gauss-Laguerre 求积公式节点和求积系数 n+1 kx )(nk n+1 kx )(nk 2 0.5857864 0.8535534 4.5366203 0.0388879 3.4142136 0.146446 9.3950709 0.0005393 3 0.4157746 0.7110930 5 0.2635603 0.5217556 2.2
23、942804 0.2785177 1.4134031 0.3986668 6.2899451 0.0103893 3.5964258 0.0759424 4 0.3225477 0.6031541 7.0858100 0.0036118 1.7457611 0.3574187 12.6408008 0.0000234 例 应用 Gauss-Laguerre求积公式计算 0 )21(s in xdxeI x . 我们用 3个节点 (n=2)的公式计算： .4 9 0 2 9 8.02 8 9 9 4 5 1.6s i n0 1 0 3 8 9 3.02 9 4 2 8 0 4.2s i n2 7 8 5 1 7 7.04 1 5 7 7 4 6.0s i n7 1 1 0 9 3 0.0s i n0 x d xeI x2)Gauss-Hermite求积公式 ,)()( 0 )(2 nk knkx xfdxxfe (2.3.14) 节点和求积系数如表 2 表 2 Gauss-Hermite求积公式节点和求积系数 n+1 kx )(nk n+1 kx )(nk
