1、 1 由课堂遭遇尴尬引发的思考 对高中数学课堂启发式教学的实践与探索 论文摘要 ： 本文就自身的一种教学感受引发对高中数学课堂启发式教学的实践与探究，从五个方面进行了实践、探究与阐述， 同时 又 对 启发式教学实施过程应注意的问题 提出了几点建议 关键词 ：启发诱导 思维 实践 探索 初为人师时的我时常在课堂上遭遇这样的尴尬：我充满激情地上课，看到的却是学生冷漠的表情；我采用启发诱导的方式教学，导出的却是学生一脸的不屑 为什么会出现这种现象，如何改变这种情况，我不得不开始长时间地思考 一、 学生角度 出现这种情况，我曾 一度以为是我的学生太优秀了，但听别的老师的课时却没有见到这种尴尬场面，可见
2、学生的优秀不是遭遇尴尬的原因 直到有一次，学生的一句话让我以为找到了答案 学生说：“老师，你上课提的问题太简单了，课本上都有，我们都预习过了 ”于是我得出这样一个观点：学生不预习更有利于启发诱导式教学模式的开展 这个观点在部分年轻教师当中居然引起了一定的共鸣，但显然缺乏理论依据的支持 因为数学课程标准的核心就是要把以教师为中心的教学模式转变为以学生为中心的教学模式，强调学生的积极参与和体验，培养学生的创新意识，其中重要的一环就是通 过强化课前预习发展学生的自主学习能力 相反，下面的一项调查结果显示大部分学生并没有做好课前预习，因此预习并非导致启发式教学失败的原因 2 课前预习情况 所占比例（
3、%） 没有多少时间预习 60 为完成任务匆匆预习 32 全面阅读至看懂 2 发现疑难问题 3 着重理解重点难点 3 二、 自身角度 从学生角度寻求答案失败，促使我从自身角度寻找问题的关键 我仔细研究了自己历年来的教案，大致分为两类 一类是不作深入研究的照本宣科，引导学生的方式流于简单的问题形式，学生要么觉得太肤浅而不屑于回答，要么觉得问题来得 太突然而无法回答；另一类是自认为比较成功的教案，引导方式自然流畅，学生既乐于答又易于答 由此，我认为启发式教学的关键在于教师如何启发学生的思维，怎样做到“重在点拨，贵在引导，妙在开窍” 因此，教师要有效地利用多种途径和方法来启发学生的思维，促进学生智力的
4、发展和能力的培养 （一）了解学生的实际水平，在“卡壳处”探寻启发点 教学片断 1：知错“再”改 例题：已知直线 l 过点（ 1， 3），且点（ 2， 5）到 l 的距离为 3，求直线 l 的方程 (学生都是将直线 l 设成点斜式，再利用点到直线的距离公式求得直线的方程，结果只求得一条直线方程 ) B A（ 1， 3） P（ 2， 5） C 3 师问：我们在初中里学过角平分线性质，角平分线上的点到角两边的距离相等 如图若把点 P 看成（ 2， 5），点 A 看成（ 1， 3），射线 AB 看成 l 所在的直线，点 P 到 l 的距离为 3，则应该还有一条直线 AC 吧 我们做出来为什么只有一条呢
5、？大家能否思考一下问题的根源在哪儿？ 生答：我们把直线方程设成点斜式，前提是直线的斜率存在，我们遗漏了斜率不存在的情况 师：好，请大家动手把这种情况补上 教师要准确把握好启发的时机，可以在知识的连接点选择启发点，可以在新知识的重点处寻找启发点，可以在学生的“卡壳处”探寻启发点 启发学生的问题的深度和难度要适当，本例中，选择了画图及角平分线性质来启发学生，恰 到好处地引发学生由浅入深，层层深入，使学生的思维提高到“最近发展区”，最后通过学生自身的努力找到解决问题的途径 启发式教学要真正取得实效，教师必须了解学生的实际水平 了解学生在哪些地方会碰到什么困难，学生在这些地方会怎么思考，哪些因素可以引
6、导学生朝正确的方向思考，哪些因素会使学生误入歧途 了解这些情况后，教师应该对困难的知识点做一个迁移，让学生能理解接受，同时又能启发学生解决问题，最大限度地调动学生的积极性 因此教师为启发学生所做的努力应该有目标、有方向、有针对性 （二）利用迁移规律，循序渐进 教学片断 2：循序“渐”进 4 师问：点 P( 00,yx )到直线 l ： 0 CByAx 的距离 d 就是过点 P 的直线 l 的垂线段的长 那么我们怎样来求这个距离呢？先请大家思考，如果这条直线比较特殊，垂直于 x 轴或平行于 x 轴，这个距离能不能求？ 生答：能 求 于是我们把直线 l 分类来讨论：如图 若 B 0， A 0，即
7、1l ： ACx ，则 )(0 ACxd 若 A 0， B 0，即 2l ： BCx ，则 )(0 BCyd 若 A 0， B 0，（连 RS 即可表示这种情况）即 3l ：过 P 作 x 轴的平行线，交 3l 于点 ),( 01 yxR ；作 y 轴的平行线，交 3l 于点 ),( 20 yxS ， 由 0 , 0 2001 CByAxCByAx 得 B CAxyA CByx 0201 ,所以， CByAxABBAPSPRRSBCByAxyyPSACByAxxxPR00222200200010,从三角形面积公式可知 PSPRRSd S o x y 1l 1l 2l 3l),( 00 yxPR
8、 d 5 所以 2200 BA CByAxd 求点 P( 00,yx )到直线 l ： 0 CByAx 的 距离，教学时可先求具体的点到具体的直线的距离，再推广到一般的情况 求解的方法有很多，如：求出垂足坐标，再由两点间距离公式得到垂线段的长；可设点 ),( yxM 是 l 上任意一点，求 PM 的最小值；可构造直角三角形来解三角形教材为什么要采用这种“化斜为直”的方法，绝非出于运算简便，而是别有用意 这节内容的重点难点就是公式的推导 此片断的启发引导方式自然流畅，环环相扣 先考虑简单的、特殊的，再考虑复 杂的、一般的，把复杂的一般的问题转化为简单的特殊的问题 充分渗透了化难为易、化复杂为简单
9、、化未知为已知的化归思想 因此，教师在实施启发式教学时要深入研究教材，把握数学知识间的纵向与横向联系，注重发掘新旧知识间的内在联系，使已经获得的知识成为新知识的基础，准确把握各知识的生长点与转折点，弄清重点、难点，不要什么地方都启发引导，要抓住主要矛盾，在关键处进行启发，及时有效地利用迁移规律，循序渐进，让学生亲身参与体验知识的形成过程，提高自主学习的能力 （三）创设生活情景，在生活中体验数学 教学片断 3：破镜“重”圆 师：小明不小心把妈妈的一面圆形玻璃镜打破了，小明很着急，打算在妈妈下班前到玻璃店里配一面与原来一样大小的镜子，如果是你，你能破镜重圆吗？（学生陷入了思考当中）有学生答：把碎片
10、拼起来，用不干胶粘好 学生中马上有人反驳：你能保证找到所有碎片吗？师：大家想一想，要配一面镜子，只要知6 道半径是多少就可以了 那么我们怎样从碎片中寻找半径的大小呢？大家讨论一下 有一小组发言：我们只要找到带边缘的一块碎片，在边缘任取三点，取其中两点画弦，作出这条弦的垂直平分线，再另取两点画弦作垂直平分线，两垂直平分线交点就是圆心，圆心与 三点中任一点的距离就是半径的长 这一小组还把图画在了黑板上 （学生们听得很仔细）师：同学们觉得有没有道理！学生：有！师：下面我们来解决这样一个问题：求过三点 O(0,0)， M1 (1,1)， M2 (4,2)的圆的方程 数学教学的核心就是学生的“再创造”，
11、贴近生活，教活数学是我们努力的方向 苏霍姆林斯基指出，教师在教学中如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，那样学生只是在做不动情感的脑力劳动，就会产生疲倦 心理学研究也表明：学生学习的内容与其熟悉的生活情景越接近，学生自觉接纳知识的程度就越高 因此，在启发式教学中，教师要根据学生不同的年龄特征和认知水平，既要明确教材内容中的知识要点，又要挖掘教材内容的生活素材，如“抽签有先后，是否公平”、“购房分期付款的有关计算”等，寻找数学知识与学生生活情景有机联系的切入点，让学生受到情景的感染，运用具体形象的事物去感知那些抽象深奥的事物，促使学生展开思维的翅膀，感受数学与日常生活的密切联系，
12、增加对数学的亲近感，体验用数学的乐趣，让学生感到“乐学之下无负担”！ （四）类比联 想，比喻引趣 教学片断 4：“数学归纳法” 在“数学归纳法及其应用举例”的课堂教学时，引入这样一个话题：连锁反应 “多米诺骨牌”大家都不陌生，是一种玩具 中日韩三国的中学生为迎接新千年的到来，在首都体育馆码放多米诺骨牌，打破了世界纪录 当第一张骨牌推倒7 后，后面所有的骨牌一张接一张的纷纷倒下，壮观的场面持续了几个小时，这是多么不容易啊！同学们讨论一下，在码放骨牌时应注意哪些问题 同学们经过一番讨论后，总结了两点：一是在码放骨牌时要特别小心，不能碰倒任意一张，二是要注意相邻两张骨牌的间距不能太大，即要保证前一张
13、骨牌倒下后能带动后面一张骨牌倒下 接着引导学生把第二个问题用数学语言描述：若第 k 张骨牌倒下，能使第 k +1 张骨牌倒下，其中 k 能动态的取自然数中的任意值，当 k 连续取值时，就说明骨牌能一张接一张地倒下 事实上揭 示的是一个递推的数学关系，以此来类比数学归纳法的证明逻辑：（ 1）证明当 n 取第一个值 0n 时结论正确（保证第一块骨牌能倒）；（ 2）假设当 kn k( n ,且 0nk ) 时结论正确，证明当 1kn 时结论也正确（若第 k 张骨牌倒下，能使第 k +1张骨牌倒下） 引入这样一个实际问题，从数学角度对实际问题进行分析，再将数学归纳法的证明过程与实际问题进行类比，让学生
14、发现数学归纳法证明的基本原理，以此来启发学生的思维，让抽象转化为具体 数学是一门很抽象的学科，其概念和思想方法都是在现实基础上的高度抽象与概括 要让数学具有人间烟火味，教师在启发式教学中，要善于利用学生已有的生活经验和感性知识，通过已知类比未知、具体类 比抽象，唤起学生联想，引导学生由此及彼、举一反三 因此，教师在选择启发点之前，要深刻理解教材，充分认识该知识点的本源，善于用学生感兴趣的具体形象的事物去比喻抽象深奥的数学知识点，以此来激发学生兴趣，师生共同揭开数学神秘的面纱 晦涩难懂的数学符号一旦赋予其生活意义，就变得富有感情色彩，贴近学生的思维，使学生的思维更容易达到“问渠哪得清如许，为有源
15、头活水来”的境界 （五）以猜为动力，激发学生的再认识 8 教学片断 5：“含绝对值不等式” 师：对实数 ba, ， ba 与 ba 、 ba 的大小关系怎样，请同学们猜一下 （思考并有学生举手）生： ba ba ba 师：你得到这个结论的依据是什么？生：如果 ba, 同号，则 ba ba ， ba ba ；如果 ba, 异号，则 ba ba ，其中，若 ba ，则 ba ba ， 教学片断 6：“ 等比数列的前 n 项和” 师：科学家和一位富商之间有一笔交易：在 30 天内，科学家每天支付给富商1 万元；富商只需第一天支付 1 元，第二天支付 2 元，第三天支付 4 元， 即每天支付的钱数是前
16、一天的 2 倍 富商赚钱有术，科学家计算高明，那么在这笔交易中，谁赚谁赔呢？ 猜：是科学家还是富商？我发现学生们并没有草率地给出答案，而是拿起笔算了起来：科学家付了 30 万元，富商支付了（ 1 2 32 22 292 ）元 师：（ 1 2 32 22 292 ）究竟是一个多么大的数呢？ 猜，不是凭空而论，而是在原有认识基础上的再认识 上述两个片断中学生的猜实际上是利用学过的知识对新问题的一个探索过程 建构主义理论认为：学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生主动建构自己知识的过程 我们面对的学生并不是空着脑袋，他们在日常的学习生活中已经积累了丰富的知识和经验，从自然现象到社会生活，他们都有自
17、己的看法，当面对一个新问题时，往往基于相关经验， 依靠已形成的认识能力，作出对问题的解释 猜证结合是一种数学思想方法，数学发展史就是一部猜证史，费马的猜想即“费马大定理”直到 1995 年才被证实，而貌似简单的“哥德巴赫猜想”至今仍是一种猜想 以猜为动力，是启发式教学的一种有效途径 教师应该从学生的生活背景和知识结构出发，寻找9 启发点，设计问题让学生猜，引导他们分析探索 猜对了，理由是什么，是否严密，怎样完善；猜错了，症结在哪里，怎样解决 教师应向学生提供充分从事数学活动和交流的机会，让他们在渴求得到证实的探索过程中形成对知识的再认识 这一探索过程，能唤起学生的 激情，激起学生的好奇心，让学
18、生在好奇中思考，在思考中逐步得到提高；这一探索过程，是师生追求真理的同频共振 在这一过程中，学生达到“心求通而未得，口欲言而不能”之时，便是教师又一次进行启发即“开其意，达其辞”的最佳时机 三、 启发式教学实施过程应注意的问题 （一）切忌“防微杜渐” 启发式教学使课堂教学走出了单向传输的封闭状态，进入了师生交互的新境界 但在实践过程中，许多教师把启发式教学逐步变成向教师预设的“标准答案”靠拢，成了师生间的“谜底”竞猜 课堂教学程序，变成了一个个“圈套”、一个个“陷阱”，学生任何偏离“ 标准答案”的想法均被视为错误而扼杀，以至于把学生的思路越引越窄 启发的着眼点不是教师如何教，而是学生“主体性”
19、的发挥 知识在自主探究中获得，想象力和创造力在自主探究中发展，兴趣、情感、意志品质在自主探究中得到培养和锻炼 因此教师在启发式教学中要力求“引而不发”、“导而弗牵”，还给学生一个真实的思维过程 （二）切忌“一发而不可收” 启发式教学把课堂还给了学生，学生的思维得到了自由发展 但由于学生不同的生活背景、知识结构和智力情况等因素的影响，他们对教师的启发作出的反应也迥然不同 因此启发式教学是一个多变量的 动态过程 教师备课无论怎样完备、全面，也难以包容所有学生的实际情况，预设所有学生可能作出的对教学事10 件的反应 课堂中难免存在各种意外的变化，即学生在课堂上作出一些始料不及的举动或提出一些出乎意料
20、的问题 此时，教师是有意回避还是努力引导？我们先来欣赏引用的一个教学片断“映射”： 学生：男人到女人的对应是不是映射呢？ 全班哄堂大笑 教师：（惊讶 愠怒 镇静 微笑）这个问题提得不错，但还不完善 所有学生茫然四顾 教师：大家知道，映射包括两个集合和对应法则，刚才这位同学只给出了两个集合 女人、男人 ，而没有给出 女人到男人 的对应法则，如果这个对应法则是“ 自己的配偶男人 :f ”这样的对应是不是映射呢？ 学生：不是映射 因为有的男人没有配偶，而法律允许一夫多妻的国家的男人可能不止一个配偶，不符合映射的定义 全班再次哄堂大笑 教师：（敛住笑容）如果这个对应法则是“ 自己的母亲男人 :f ”这样的对应又是不是映射呢？ 所有的同学都停止嬉笑，开始认真思考这个问题，而提出这个问题的同学也低下了头， 在老师面前，纵使调皮也显笨拙 学生：这个对应是映射，它 保证 了 女人中的任一元素在男人 中都有唯一的象 这位老师沿着学生所提的意外问题，顺水推舟，巧妙启发，把学生脱缰的思维及时拉回课堂，让“意外”为其所用，变不利为有利，把抽象的数学概念通俗化、生活化 但并非每个教师面对这样的“意外”都能从容应对，遇到措手不及
