1、 题目 ： 设 xf 为 R 上 的连续实值函数 满足 dxxf。 证明 ： 对给定 正 实数 ba ，存在 ba, 使得 ba dydxxyxfydxxxfab )s i n ()()s i n ()(3 233 证明 ：令 dxxyxfyg )s in ()()(。 （ 1） 先证 yg 为 R 上 的连续函数 . 事实上 ，对任意 0 ， 选取 0M 使得 4|Mx dxxf。 于是 对 所有 y 都有 4|)s in (| Mx dxxyxf 。 因此 Mx Mx dxxyxzxfdxxyxzxfygzg | | )s i n ()( s i n ()s i n ()( s i n (
2、|)()(| Mx dxxyxzxf| )s in ()( s in (2 后 一积分由于在 区间 MM, 上当 yz 时（ 因 )sin(xz 一致 收敛于 )sin(xy ）而 趋于零。因此 ， 当 yz 充分 小时，有 22|)()(| ygzg 。 即 yg 为 R 上 的连续函数 。 （ 2） 下面 再证 对于 连续函数 yg ， 对给定 正 实数 ba ， 存在 ba, 使得 ba dyygygab )()(3 233 。 事实上 ， 设 yg 在 ba, 中 达到它的最小值 0yg 和 最大值 1yg 。所以 bababa dyyygdyygydyyyg 21220 )()()(
3、 ， 即 3)()(3)(3312330 abygdyygyabygba 。 由 连续函数的介值定理，存在 ba, 使得 ba dyygygab )()(3 233 。 证毕。 阅卷人员对本题答卷的总结： （ 1）大部分的同学仅 仅考虑了上面证明的第二部分，没有证明连续性，因此，后面的证明肯定不是严密的。（ 2）后面一部分的证明很多同学使用的是积分中值定理，最核心的步骤是 dyyxdyxyy baba 22 )s in ()s in ( 然后对上面的式子再对 x 积分，但是这个过程存在的问题是，里面的 实际上是和 x有关的，因此进一步对 x 积分时，这个过程就不能将 看成一个常数，因此这种做法是不正确的。
