1、专题提升 (七 ) 二次函数的 图象和性质的综合运用 【经典母题】 用两种不同的图解法求方程 x2 2x 5 0 的解 (精确到 0.1) 解： 略 【思想方法】 二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象与 x 轴的交点的横坐标x1， x2 就是一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两个根 ， 因此我们可以通过解方程 ax2 bx c 0 来求抛物线 y ax2 bx c与 x 轴交点的坐标；反过来 ，也可以由 y ax2 bx c的图象来求一元二次方程 ax2 bx c 0 的解 【中考变形】 1 2016烟台 二次函数 y ax2 bx c的图象如图 Z7 1 所示 ， 下列
2、结论： 4ac b2； a c b； 2a b 0.其中正确的有 ( B ) 图 Z7 1 A B C D 【解析】 抛物线与 x 轴有两个交点 ， 0， b2 4ac 0， 4ac b2，故 正确； x 1 时 ， y 0， a b c 0， a c b， 故 错误； 对称轴直线 x 1， b2a 1， 又 a 0， b 2a， 2a b 0， 故 正确故选 B. 2 2016绍兴 抛物线 y x2 bx c(其中 b， c是常数 )过点 A(2， 6)， 且抛物线的对称轴与线段 y 0(1 x 3)有交点 ， 则 c的值不可能是 ( A ) A 4 B 6 C 8 D 10 【解析】 抛物
3、线 y x2 bx c(其中 b， c 是常数 )过点 A(2， 6)， 且抛物线的对称轴与线段 y 0(1 x 3)有交点 ， 4 2b c 6，1 b2 1 3， 解得 6 c 14.故选 A. 3 2017株洲 如图 Z7 2， 二次函数 y ax2 bx c的对称轴在 y轴的右侧 ， 其图象与 x 轴交于点 A( 1， 0)与点 C(x2， 0)， 且与 y 轴交于点 B(0， 2)， 小强得到以下结论： 0 a 2； 1 b 0； c 1； 当 |a| |b|时 x2 5 1， 以上结论中正确结论的序号为 _ _. 【解析】 由 A( 1， 0)， B(0， 2)， 得 b a 2，
4、 开口向上 ， a 0. 对称轴在 y轴右侧 ， b2a 0， a 22a 0， a 2， 0 a 2， 正确； 抛物线与 y轴交于点 B(0， 2)， c 2， 错误； 抛物线图象与 x 轴交于点 A( 1， 0)， a b 2 0， b a 2， 0 a 2， 2 b 0， 错误； |a| |b|， 二 次函数 y ax2 bx c的对称轴在 y轴的右侧 ， 二次函数 y ax2 bx c的对称轴为 x 12， x2 2 5 1， 正确故答案为 . 图 Z7 2 图 Z7 3 4 2017天水 如图 Z7 3 是抛物线 y1 ax2 bx c(a 0)的一部分图象 ， 抛物线的顶点坐标是
5、A(1， 3)， 与 x 轴的一个交点是 B(4， 0)， 直线 y2 mx n(m 0)与抛物线交于 A， B两点 ， 下列结论： abc 0； 方程 ax2 bx c 3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是 ( 1， 0)； 当 1 x 4 时 ， 有 y2 y1； x(ax b) a b， 其中正确的结论是 _ _.(只填写序号 ) 【解析】 由图象可知： a 0， b 0， c 0， 故 abc 0， 错误；观察图象可知 ， 抛物线与直线 y 3 只有一个交点 ， 故方程 ax2 bx c 3 有两个相等的实数根 ， 正确；根据对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点是
6、 ( 2， 0)， 错误；观察图象可知 ， 当 1 x 4 时 ， 有 y2 y1， 错误； x 1 时 ， y1 有最大值 ， ax2 bx c a b c， 即 x(ax b) a b， 正确 综上所述 ， 正确 5 如图 Z7 4， 已知抛物线 y ax2 bx c与 x 轴交 于点 A(1， 0)， 点 B(3， 0)，且过点 C(0， 3) (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法 ， 使平移后抛物线的顶点落在直线 y x 上 ， 并写出平移后抛物线的函数表达式 图 Z7 4 解： (1) 抛物线与 x 轴交于点 A(1， 0)， 点 B(3， 0)， 可
7、设抛物线表达式为 y a(x 1)(x 3)， 把 C(0， 3)的坐标代入 ， 得 3a 3， 解得 a 1， 故抛物线表达式为 y (x 1)(x 3)， 即 y x2 4x 3. y x2 4x 3 (x 2)2 1， 抛物线的顶点坐标为 (2， 1)； (2)答案不唯一 ， 如：先向左平移 2 个单位 ， 再向下平移 1 个单位 ， 得到的抛物线的解析 式为 y x2， 平移后抛物线的顶点为 (0， 0)， 落在直线 y x 上 6 2017江西 已知抛物线 C1： y ax2 4ax 5(a 0) (1)当 a 1 时 ， 求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴； (2) 试说明无论
8、a为何值 ， 抛物线 C1 一定经过两个定点 ， 并求出这两个定点的坐标； 将抛物线 C1 沿这两个定点 所在直线翻折 ， 得到抛物线 C2， 直接写出 C2 的表达式； (3)若 (2)中抛 物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2， 求 a的值 解： (1)当 a 1 时 ， 抛物线表达式为 y x2 4x 5 (x 2)2 9， 对称轴为 x 2， 当 y 0 时 ， x 2 3 或 3， 即 x 1 或 5， 抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( 1， 0)或 (5， 0)； (2) 抛物线 C1 表达式为 y ax2 4ax 5， 整理 ， 得 y ax(x 4) 5. 当 ax(x 4
9、) 0 时 ， y恒定为 5， 抛物线 C1 一定经过两个定点 (0， 5)， (4， 5) 这两个点 连线为 y 5， 将抛物线 C1沿 y 5 翻折 ， 得到抛物线 C2， 开口方向变了 ， 但是对称轴没变 ， 抛物线 C2 的表达式为 y ax2 4ax 5； (3)抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2， 则 x 2 时 ， y 2 或 2. 当 y 2 时 ， 2 4a 8a 5， 解得 a 74； 当 y 2 时 ， 2 4a 8a 5， 解得 a 34. a 74或 34. 7 2017北京 在平面直角坐标系 xOy中 ， 抛物线 y x2 4x 3 与 x 轴交于点 A，B
10、(点 A 在点 B的左侧 )， 与 y轴交于点 C. (1)求直线 BC 的表达式； (2)垂直于 y轴的直线 l与抛物线交于点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 与直线 BC 交于点 N(x3， y3)， 若 x1 x2 x3， 结合函数的图象 ， 求 x1 x2 x3的取值范围 解： (1)由 y x2 4x 3 得到 y (x 3)(x 1)， C(0， 3)， A(1， 0)， B(3， 0) 设直线 BC 的表达式为 y kx b(k 0)， 则 b 3，3k b 0， 解得 k 1，b 3， 直线 BC 的表达式为 y x 3； 中考变形 7 答图 (2)由 y x2 4
11、x 3 得到 y (x 2)2 1， 抛物线 y x2 4x 3 的对称轴是 x 2， 顶点坐标是 (2， 1) y1 y2， x1 x2 4. 令 y 1， 代入 y x 3， 得 x 4. x1 x2 x3(如答图 )， 3 x3 4， 即 7 x1 x2 x3 8. 8 2016益阳 如图 Z7 5， 顶点为 A( 3， 1)的抛物线经过坐标原点 O， 与 x 轴交于点 B. (1)求抛物线对应的二次函数的表达式； (2)过点 B 作 OA 的平行线交 y 轴于点 C， 交抛物线于点 D， 求证： OCD OAB； (3)在 x 轴上找一点 P， 使得 PCD的周长最小 ， 求出 P 点
12、的坐标 图 Z7 5 中考变形 8 答图 解： (1) 抛物线顶点为 A( 3， 1)， 设抛物线对应的二次函数的表达式为 y a(x 3)2 1. 将原点坐标 (0， 0)代入 ， 得 a 13， 抛物线对应的二次函数的表达式为 y 13x2 2 33 x； (2)证明：将 y 0 代入 y 13x2 2 33 x 中 ， 得 B(2 3， 0) 设直线 OA 对应的一次函数的表 达式为 y kx， 将 A( 3， 1)代入 ， 得 k 33 ， 直线 OA 对应的一次函数的表达式为 y 33 x. BD AO， 设直线 BD 对应的一次函数的表达式为 y 33 x b， 将 B(2 3，
13、0)代入 ， 得 b 2， 直线 BD 对应的一次函数的表达式为 y 33 x 2. 由y 33 x 2，y 13x2 2 33 x，得交点 D的坐标为 ( 3， 3)， 将 x 0 代入 y 33 x 2 中 ， 得 C 点的坐标为 (0， 2)， OA 2 OC， AB 2 CD， OB 2 3 OD， 在 OCD与 OAB中 ，OC OA，CD AB，OD OB， OCD OAB(SSS)； (3)如答图 ， 点 C 关于 x 轴的对称点 C 的坐标为 (0， 2)， 连结 CD， 则 CD与 x 轴的交点即为点 P， 此时 PCD的周长最小 过点 D作 DQ y轴 ， 垂足为 Q， 则
14、 PO DQ. C PO C DQ， PODQ C OC Q， 即 PO3 25， 解得 PO 2 35 ， 点 P 的坐标为 2 35 ， 0 . 【中考预测】 设抛物线 y mx2 2mx 3(m 0)与 x轴交于点 A(a， 0)和 B(b， 0) (1)若 a 1， 求 m， b的值； (2)若 2m n 3， 求证：抛物线的顶点在直线 y mx n上； (3)抛物线上有两点 P(x1， p)和 Q(x2， q)， 若 x1 1 x2， 且 x1 x2 2， 试比较p与 q的大小 解： (1)当 a 1 时 ， 把 ( 1， 0)代入 y mx2 2mx 3， 解得 m 1， 抛物线的表达式为 y x2 2x 3. 令 y 0， 则由 y x2 2x 3， 得 x 1 或 3， b 3； (2)抛物线的对称轴为 x 1， 把 x 1 代入 y mx2 2mx 3， 得 y 3 m， 抛物线的顶点坐标为 (1， 3 m) 把 x 1 代 入 y mx n， 得 y m n m 3 2m 3 m， 顶点坐标在直线 y mx n上； (3) x1 x2 2， x2 1 1 x1， x1 1 x2， |x2 1| |x1 1|， P 离对称轴较近 ， 当 m 0 时 ， p q， 当 m 0 时 ， p q.
