1、例谈 几何型综合题 的 解 题策略 上海市光明初级中学 彭拥军 几何型综合题 常 以 动态几何 知识为背景，以考察数学知识、数学思想的综合运用能力为目标 ， 所涉及的数学思想主要有方程思想、 数形结合思想、 分类讨论思想等等。 近年来，它常作为中考的压轴题出现。 例题：（ 2007 年上海 中考 25 题） 已知： MAN 60 ，点 B 是射线 AM 上的一点， AB 4(如图 ). P 为直线 AN 上一动点，以 BP 为边作等边三角形 BPQ（点 B、 P、 Q 按顺时针排列）， O 是 BPQ 的外心 . (1) 当点 P 在射线 AN 上运 动时，求证：点 O 在 MAN 的平分线上
2、； (2) 当点 P 在射线 AN 上运动（点 P 与 A 不重合）时， AO 与BP 交于 C，设 AP x， yAOAC ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； (3) 若点 D 是射线 AN 上， AD 2 时， I 是 ABD 的内切圆，当 BPQ 的边 BP 或 BQ 与 I 相切时，请直接写出点 A 到点 O 的距离 . 分析：这类试题 一般有三个小题，第一小题研究几何背景，为 论证或计算；第二小题研究运动中图形的数量关系，建立函数关系；第三小题研究 图形 不确定性带来的分类讨论。我们 一般 可以 采用化整 为零、建立方程、分类讨论 三个步骤，从复杂的背景中提取解题
3、所需信息，使问题逐步解决。 一、 化整为零 要证 AO 平分 MAN，只要证明 O 到 AM、 AN 的距离相等，故作 OG AM 于 G， OH AN 于 H， 故 GOH 120 。 因此只要连 结 BO、 PO，证 BOP 120，把问题转化为研究等边三角形外心的性质。这样， 一个复杂的问题经过分拆，转化成我们熟悉的基本问题，从而 寻找到解题的途经。 解：连 BO、 PO， O 是等边 BPQ 的外心 BO=PO， BOP 120 作 OG AM 于 G， OH AN 于 H，故 GOH 120 BOG POH 可证 BOG POH， OG OH CHGNM QOPBA O 在 MAN
4、的平分线上 二、 建立方程 建立几何图形间的数量关系，特别是动态几何图形间的数量关系，是这类试题的考察重点， 函数关系式的建立实际上是探求两个变量 y 与 x 之间未知 函数类型 的函数 问题 ，如果我们把函数理解为关于 x、 y 的二元方程，不管是何种类型函数，都可以通过 寻找 y 与 x 之间的 等量关系，建立方程 来解决 。 而 建立等量关系常见的途经有：比例线段、勾股定理、等积原理 、线段和差等等。 本题要建立 y （ AOAC ）与 x（ AP）之间的函数关系，就是建立 y 与 x 之间的方程，所涉及的线段有 AC、 AO、 AP 三条，因此常要寻找第四条线段，根据题意只有 AB 4
5、 是已知线段，故可以优先考虑，因此只要证 ABO ACP. 解： BAO= OBP=30， ACP= ABC+ BAC= ABC+ OBC= ABO 又 BAO= CAP ABO ACP APAOACAB 故 y 4x（ x0） 三、 分类 讨论 分类讨论是这类试题的重点内容之一，不仅考察数学知识的把握能力，还考察动态图形的认知能力， 对同学来说，是难点之一。不过，分类讨论也是有规律可循，比如这类试题所涉及的分类讨论知识主要是等腰三角形的底边不确定、直角三角形的直角不确定、图形的位置不确定（最常见是直线、射线与线段变化引起的）、相似三角形的对应边不确定等等。在分类讨论时首先要注意分类标准统一，
6、其次要做到不重不漏。 本题的第一小题、第二小题考察点 P 在射线 AN 上的运动，而第三小题则考察 P 在直线 AN 上的运动，由此带来分类讨论。 解： AB=4， AD=2， MAN 60，可得 BDA=90 1、当 BP 与 I 相切时， （ 1）当 P 与 D 重合时 (如图 1)， AO= 32 （ 2）当 P 与 A 重合时 (如图 2)， AO= 334 2、当 BQ 与 I 相切时 （如图 3） ， AO=0 几何型综合题不管试题如何变化，都是以日常学习中的基本知识为背景， 或 让几个背景叠加 ， 或让静态的几何关系运动起来， 在运动中探求图形不变的位置或数量关系。因此，这类问题
7、的解决是以具有扎实的基本功 为前提的， 因此只要平时注重基本知识、基本图形的积累与总结，再 合理运用解题策略， 就 可以达到事半功倍的效果。 附习题： 1 (2002 年上海中考 ) 操作： 将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q 图 1 探究 ：设 A、 P 两点间的距离为 x （ 1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （ 2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函
8、数解析式，并写出函数的定义域； （ 3）当点 P 在线段 AC 上滑动时， PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使 PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，试DICNM QO(P )BADICNMQO(P )BADINMQOPBAA B C O 图 5 说明理由 2、 （ 2005 年上海中考） 在 ABC 中， ABC 90， AB 4， BC 3， O 是边 AC 上的一个动点，以点 O 为圆心作半圆，与边 AB 相切于点 D，交线段 OC 于点 E，作 EP ED，交射线 AB 于点 P，交射线 CB 于点 F。 （ 1） 如图 1，求
9、证： ADE AEP； （ 2） 设 OA x， AP y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （ 3） 当 BF 1 时，求线段 AP 的长 . 图 9 （ 备用图 ）图 8BPFEDBC A ACO图 1 （备用图） 3、 （ 2004 年上海中考） 在 ABC 中， BAC 90， AB=AC= 22 ， A 的半 径为 1，如 图 5 所示若点 O在 BC 上 运动 （ 与 点 B、 C 不重合）， 设 BO x ， AOC 的面 积为 y （ 1）求 关 于的函 数 解析式， 并写 出函 数 的定 义 域； （ 2）以点 O 为圆 心， BO 长为 半 径 作 O，求
10、 当 O 与 A 相切 时 ， AOC 的面 积 4、（ 2007 年黄浦中考模拟卷） 如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 A 在原点，边 AC 在 x 轴的正半轴， AC 16，BAC 60， AB 10， P 分别与边 AB、 AC 相切于 D、 E(切点 D、 E 不在边 AB、 AC 的端点 )，ED 的延长线与 CB 的延长线相交于点 F. (1) 求 BC 边的长和 ABC 的面积； (2) 设 AE x， DF y，写出 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； (3) 探索 ADC 与 DBF 能否相似？若能相似，请求出 x 的值，同时判断此时 P 与边
11、 BC的位置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由； (4) 当 P 与 ABC 内切时， P 与边 BC 相切于 G 点，请写出切点 D、 E、 G 的坐标 (不必写出计算过程 ). 5、（ 2001 年上海中考） 已知在 梯形 ABCD 中， AD BC， AD BC，且 AD 5， AB DC 2 （ 1）如图， P 为 AD 上的一点，满足 BPC A 求证； ABP DPC 求 AP 的长 （ 2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、 D 不重合），且满足 BPE A， PE交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，
12、设 AP x， CQ y，求 y 关于 x 的函数解 析式，并写出函数的定义域； 当 CE 1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程） 6、（ 2007 年 浦东中考模拟卷） 已知：如图，点 A 在 MON 的边 OM 上，以点 A 为顶点的 BAC 与 MON 的边 ON分别相交于点 B 和点 C（点 B 在点 C 的左边）， OA=2， BAC= MON=30，设点 O 与点B 的距离为 x， OC=y （ 1） 求证：线段 AC 是线段 OC 与 BC 的比例中项； （ 2） 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （ 3） 如果以线段 BC 为直径的圆 P 与直线 OM
13、相切，求线段 OB 的长 7、（ 2007 年奉贤中考模拟卷） EDAOYXCPBFA M O B C N 如图，在 Rt ABC 中， C 90， AC 12， BC 16，动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向 点C 以 每秒 3 个单位长 的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以 每秒 4 个单位长 的速度运动 P， Q 分别从点 A， C 同时出发， 当 其中一 点 到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中， PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是 PDQ设运动时间为 t（ 秒） （ 1）设四边形 PCQD 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式及自变量 t
14、的取值范围； （ 2）是否存在时刻 t，使得 PD AB？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （ 3）通过观察、画图或折纸等 方法，猜想是否存在时刻 t，使得 PD AB？若存在，请估计 t 的值在括号中的哪个时间段内（ 0 t 1； 1 t 2； 2 t 3； 3 t 4）；若不存在，请简要说明理由 8、（ 2007 年卢湾中考模拟卷） 如图，已知在矩形 ABCD 中， 8AD cm ， 4CD cm ，点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1cm 的速度向点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 CD 方向以每秒 2cm 的速度移动，当 B E F、 、 三
15、点共线时，两点同时停止运动 .设点 E 移动的时间为 t （秒）， （ 1）求证： BCF CDE ； （ 2）求 t 的取值范围； （ 3）连结 BE ，当 t 为何值时， BEC BFC ？ 答案： 1、 图 1 图 2 图 3 （ 1）解： PQ PB 证明如下：过点 P 作 MN BC，分别交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，那么四边形 AMND和四边形 BCNM 都是矩形， AMP 和 CNP 都是等腰直角三角形（如图 1） NP NC MB A P Q B D C CFE DBA BPQ 90， QPN BPM 90 而 BPM PBM 90， QPN PBM 又 QNP PM
16、B 90 ， QNP PMB PQ PB （ 2） 由（ 1） QNP PMB得 NQ MP AP x， AM MP NQ DN x22 ， BM PN CN 1 x22 ， CQ CD DQ 1 2 x22 1 x2 得 S PBC 21 BC BM 21 1 （ 1 x22 ） 21 42 x S PCQ 21 CQ PN 21 （ 1 x2 ）（ 1 x22 ） 21 x423 21 x2 S 四边形 PBCQ S PBC S PCQ 21 x2 x2 1 即 y 21 x2 x2 1（ 0 x 22 ） （ 3） PCQ 可能成为等腰三角形 当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D
17、重合，这时 PQ QC， PCQ 是等腰三角形， 此时 x 0 当点 Q 在边 DC 的延长线上，且 CP CQ 时， PCQ 是等腰三角形（如图 3） 此时， QN PM x22 ， CP 2 x， CN 22 CP 1 x22 CQ QN CN x22 （ 1 x22 ） x2 1 当 2 x x2 1 时，得 x 1 2、（ 1）证明：连结 OD 2 5 . 1909 0 9 0A P D O D A P E DO D O E O D E O E DO D E O E DE D A P E A A AA D E A E P （ ） 证 明 ： 连 结 OD切 半 圆 于 ，又 ， 又22
18、3 3 4,5 5 584 6 4 1 6584 5 2 5 555( 0 )O D CBO A A CODO D x O E A D xxA D E A E PxA P A E yx y x y xA E A Dxxx （ ）同 理 可 得 ：( 3 )5(46, 9 051266 1 255ECx A P A BD O B E HD H E D J EH D x P B E P D HP F B P H DPBP B A Pxx 由 题 意 可 知 存 在 三 种 情 况但 当 在 点 左 侧 时 显 然 大 于 所 以 不 合 舍 去当 时 如 图 ）延 长 ， 交 于易 证54,126
19、 12554 2 2x P BD O P E HD H E E J DP B F P D HBPBPxxAP 当 时 点 在 点 的 右 侧延 长 交 于 点同 理 可 得3、（ 1）过点 A 作 AH BC 于 H J BAC=90， AB=AC= 22 BC=4， AH=2， xCOAHSA O C 421即 y x 4（ 0x4） （ 2）当点 O 与点 H 重合时，圆 O 与圆 A 相交，不合题意；当点 O 与点 H 不重合时，在Rt AOH 中， 84|2|4 22222 xxxOHAHAO 圆 A 的半径为 1，圆 O 的半径为 x， 当圆 A 与圆 O 外切时， 84)1( 22
20、 xxx 解得 x 67 ， AOCS y617当 圆 A 与圆 O 内切时， 84)1( 22 xxx 解得 x 27 ， AOCS y 21 4、（ 1）过 B 作 BG x 轴，垂足为 G， 在 Rt ABG 中 BAC 60， AB 10，得到 AG=5，由勾股定理可得 BG=5 3 ，由于 AC 16，可得 GC=11，在 Rt BGC 中由勾股定理可得 BC=14 （或 B（ 5， 35 ）、 C（ 16， 0）由距离公式得 BC=14） ABCS =21 AC BG=40 3 （ 2）在 ABC 中 P 分别与边 AB、 AC 相切于 D、 E AE=AD, 又 BAC 60，可
21、设 AE=AD DE x ， DB 10 x ， CE=16-x 过 E 作 EH AB 交 BC 于 H，在 ABC中， EH AB CACEABEH 即 16 x1601 EH ，得 EH ）（ x1685 在 FEH 中， EH DB ）（即 x1685x10yxy EHDBFEFD 整理得 y=-38 x+ 380 (0 x 10) (3) 假如 ADC 与 DBF 相似， DBF DCA,又 DAC= BDF=60 只能 DBF 与 ADC， BFD 与 ACD 是对应角 DFAC=BDAD ， y16=x10x ，解得 x1=10（舍去）， x2=6 当 x=6 时， P 与边 B
22、C 相切证明：当 x=6 时，求得 P的半径 r 32 ， 过 P 作 PQ BC，垂足为 Q，连接 PA、 PB、 PC 有 P B CP A CP A BA B C SSSS 即 PQ 1421321621321021340 ，解得， PQ 32 r P 与边 BC 相切 （ 4） D（ 3， 3 3 ）， E（ 6， 0）， G（ 757 ，7325） . 5、（ 1）证明： ABP 180 A APB， DPC 180 BPC APB， BPC A， ABP DPC 在梯形 ABCD 中， AD BC， AB CD， A D ABP DPC 解：设 AP x，则 DP 5 x，由 AB
23、P DPC，得DCPDAPAB，即252 xx ，解得 x1 1， x2 4，则 AP 的长为 1 或 4 （ 2）解：类似（ 1），易得 ABP DPQ， DQAPPDAB即yxx 252，得 22521 2 xxy， 1 x 4 AP 2 或 AP 3 5 6、（ 1）证明： BAC= MON， ACB= OCA， ABC OAC OCACACBC OCBCAC 2 ，即 AC 是 OC 与 BC 的比例中项 （ 2）解：作 AH ON，垂足为点 H MON=30， OA=2， AH=1， OH= 3 CH= 3y 当点 C 与点 H 不重合时，在 Rt ACH 中， 222 CHAHAC ， 22 31 yyxy 3321 22 yyxyy 所求的函数解析式为 xy 32 4 定义域为 320 x 当点 C 与点 H 重合时， 332x ， 3y ，解析式显然也成立 （ 3） 设以 BC 为直径的圆 P 与直线 OM 相切于点 D，连结 PD，得 PD OM OP=2PD， PD=PC， OC=3PD，即 PDy 3 又 PD=21 BC， PD= xy21 xyy 23 xy 3
