1、宣城市 2011 届高三第二次调研测试 理 科 数 学 考生注意： 1.本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.请将答题填在答题卡上。 第卷 (选择题 共 50 分 ) 一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个选 项是符合题目要求的。 1.已知 | | 4A x x， 2 | log 3B x x，则 BA A. | 2 4xx B. | 0 2xx C. | 0 4xx D. |1 2xx 2.已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 2i izi ，则 z A. 135
2、5i B. 1355i C. 1355i D. 1355i 3.双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的离心率为 3 ，且它的两焦点到直线 1xyab的距离之和为 2，则该比曲线方程是 A. 2 2 12x y B. 22 12yx C. 2221xy D. 2221xy 4.函数 ln| |xxy x的图像可能是 5.在 ABC 中， 15AB ， 2AC ， 3BC ，点 D 在 BC 边上， 2BD CD ，则 AD BC A.6 B. 6 C. 4 D. 4 6.以 直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长单位，A B D C
3、 y O x 1 1 y O x 1 1 y O x 1 1 y O x 1 1 曲线 C 的参数方程为 1 2 cos2 2 sin xy (参数 0, )，直线 l 的极坐标方程为 (cos sin ) 1 .则在 C 上到直线 l 距离分别 为 2 和 32的点共有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.已知 不等式组 302 xyx ay 厖 ( 0a )表示的平面区域的 面积为 32 ，则 a A. 3 B. 3 C. 2 D. 2 8.如图 所示的程序框图，若 1x ， 2x ， ， 6x 分别为 1 ， 2 ， 3 ，4 ， 1， 5 ，则输出的 S ， T 分别为
4、 A. 4 ， 12 B. 12 ， 4 C.8 ， 4 D. 4 ， 8 9.在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的八个顶点任两点连线中，随机取一直线 ， 则该直线与平面 11ABD 平行的概率为 A. 314 B. 514 C. 328 D. 528 10.等比数列 na 的首项为正数， 226 1024kka a a ， 3 8ka ，若对满足 128ta 的任意 t ， ktmkt 都成立，则实数 m 的取值范围是 A.( , 6 B.( , 8 C.( , 10 D.( , 12 第 卷 (非 选择题 共 100 分 ) 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分
5、，共 20 分。 把答案填在 题 中的横线上。 11.某工厂对 100 件新产品的尺寸（单位： cm）进行检测，所得数据均在 5,25 中，其频率分布直方图如图，则在这 100 件 新产品中，有 件长小于 15cm. 12.在 54( 2) ( 2 )xy的展开式中， 32xy 的系数为 13.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积是 14.若函数 2 1 ( 0)()1 ( 0)xxfx x ，则满足 2(4 ) (4 )f x f x 的 x 的取值范围是 15.给出下列四个命题 命题“ xR ， cos 0x ”的否定是“ xR ， cos 0x ”； 若 2( ) 2 1f x ax
6、 x 只有一个零点，则 1a ； 若 lg lg lg ( )a b a b ，则 ab 的最小值为 4； 对于任意实数 x ，有 ( ) ( )f x f x ， ( ) ( )g x g x ，且当 0x 时， ( ) 0fx ， ( ) 0gx ，则当0x 时， ( ) ( )f x g x .其中正确的命题有 （填所有正确的序号） 三、解答题： 本大题共 6 小题 ，共 75分。 解答应写 出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 16.(本小题满分 12分 ) 已知函数 ( ) s i n ( ) s i n ( )33f x x x ， 31( ) sin 224g x x. 函数
7、()fx的最小正周期； 求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x的最小值，并求使 ()hx 取得最小值时 x 的取值集合 . 17.(本小题满分 12分 ) 某 人向一目标射击，在 A 处射击一次击中目标的概率为 0.2 ，击中目标得 2 分；在 B 处射击一次击中目标的概率为 q ，击中目标得 1 分 .若他射击三次，第一次在 A 处射击，后两次都在 B 处射击，用 表示他 3 次射击后得的总分，其分布列为： 0 1 2 3 4 p 0.288 1p 2p 3p 4p q 及的数学期望 E ； （ 2） 此人 3 次都选择在 A 处向目标射击且得分高于 2 分的概率 . 18.(
8、本小题满分 12分 ) 如图，在多面 体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， FA 平面 ABCD ， /EF BC ， 2FA ，3AD ， 45ADE ，点 G 是 FA 的中点 . 求证： EG 平面 CDE ； 求二面角 B CE G的余弦值 . 19.(本小题满分 12分 ) 已知椭圆 22 1( 0 , 0 )xy abab 的右顶点为 A ，点 M 在椭圆上，且它 的横坐标为 1，点 (0, 3)B ，且 2AB AM . 椭圆的方程； 过点 A 的直线 l 与椭圆交于另一点 N ，若线段 AN 的垂直平分线经过点 6( ,0)13 ，求直线 l 的方程 . 20.(
9、本小题满分 13分 ) 在数列 na 中， 101 62a ，点 1( ,2 )nn a a 在直线 112yx 上，设 1n n nb a a t ，数列 nb 是等比数列 . 求出实数 t ； 令 2| log |nncb ，问从第几项开始，数列 nc 中连续 20 项之和为 100？ 21.(本小题满分 14分 ) 已知函数 2( ) ln 1f x a x x . 若曲线 ()y f x 在 1x 处的切线方程为 40x y b ，求实数 a 和 b 的值； 求证； ( ) 0fx 对任意 0x 恒成立的充要条件是 2a ； 0a ，且对任意 1x 、 2 (0, )x ，都 1 2
10、1 2| ( ) ( ) | | |f x f x x x，求 a 的取值范围 . 宣城市 2011 届高三第二次调研测试 数学理科试卷 参考答案、提示及评分细则 1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.C 10.B 11. 30 12. 480 13. 73 14. ( 2, 2 2 2) 15. 16.解： ( ) ( s i n c o s c o s s i n ) ( s i n c o s c o s s i n )3 3 3 3f x x x x x 2213sin cos44xx 11cos 242 x 函数 ()fx的最小正周期 22T ； 6 分
11、 ( ) ( ) ( )h x f x g x 31sin 2 c o s 2 sin ( 2 )2 4 6x x x ()hx 的最小值为 1 ，此时 2 2 ( )62x k k Z ， 6xk，使 ()hx 取得最小值时的 x取值集合 | , 6x x k k Z . 12 分 17.解：由 2(1 0 .2 )(1 ) 0 .2 8 8q ，得 0.4q 2 分 1120 .8 0 .4 0 .6 0 .3 8 4pC ， 222 0 .2 0 .6 0 .8 0 .4 0 .2p 1320 .2 0 .4 0 .6 0 .0 9 6pC ， 24 0 2 0 .4 0 .0 3 2p
12、 8 分 0 . 3 8 4 1 0 . 2 2 0 . 0 9 6 3 0 . 0 3 2 4 1 . 2E 10 分 3 次射击得分高于 2 分就是 3 次射击至少有两次击中目标， 所求概率为 1 2 32 0 .8 0 .2 0 .2 0 .1 0 4C . 12 分 18.证明： /EF BC ， /AD BC ， /EF AD . 在四边形 ADEF 中，由 2FA ， 3AD ， 45ADE ， 可证得 EG DE ， 又由 FA 平面 ABCD ， 得 AF CD ， 正方 形 ABCD 中 CD AD ， CD 平面 ADEF ， EG 平面 ADEF ， CD EG ， CD
13、 DE D ， EG 平面 CDE ； 6 分 以 AB 、 AD 、 AF 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系， 则 (3,0,0)B 、 (3,3,0)C 、 (0,1,2)E 、 (0,1,1)G . (0,3,0)BC 、 (3,2, 2)EC 、 (0,1,1)GF ，分别求得平面 BCE 与平面 CEG 的一个法向量(2,0,3)m ， (4, 3,3)n ， 向量 m 与 n 的夹角的余弦值为 8 9 44226442 二面角 B CE G的余弦值 为 44226 . 19. 由 2AB AM 知 M 是 AB 中点， ( ,0)Aa ， (0, 3)B ，点 M 的横
14、坐标为 1， 2a ， 3(1, )2M ，将点 M 坐标代入椭圆方程得 2 1b ， 椭圆方程为 2 2 14x y否 6 分 (2,0)A ，设 l 的方程为 ( 2)y k x，代入椭圆方程解得 2228 2 4( , )4 1 4 1kkN ， 线段 AN 的中点为 22282( , )4 1 4 1kk， 则 2222141864 1 13kkk kk ，所以 2 19k ， 所以 13k ，直线 l 的方程为 1 ( 2)3yx . 12 分 20.解：由题设知 11122nna a n ，从而 111 1 ( 2 )2nna a n 当 1n 时， 11111 1 122 ( )
15、n n n n nn n n n nb a a t a a tb a a t a a t ， 若 nb 是等比数列，则 1122tt，故 112t . 6 分 nb 是以 12 为公比的等比数列，首项为 21a a t， 1 1 121 1( 2 )( )2 nnb a a 1 1 1 0 1 12111( 2 ) ( 6 2 2 )22aa ， 11 112122aa 11 1 1212 ( ) 22 nnnb | 12|ncn ， 8 分 假设 nc 从第 k 项起连续 20 项之和为 100， 当 12k 时， 1 1 9 1 2 1 3 3 1 1 9 0 1 0 0k k kc c
16、c c c c 厖不合题意， 10 分 当 12k 时， 1 19k k kc c c 21 2 1 1 1 0 1 7 5 1 0 6 1 0 0k k k k k 解得 2k 或 3， 所以数列 nc 从第二项或长三项起连续 20 项之和为 100. 13 分 21.解： ( ) 2 ( 0 )af x x xx ， (1) 2fa ，又 (1) 0f ， 所以曲线 ()y f x 在 1x 处的切线方程为 ( 2)( 1)y a x 即 ( 2 ) 2 0a x y a ， 由已知得 24a ， 2 ab，所以 6a ， 4b . 2 分 充分性 当 2a 时， 2( ) 2 ln 1f
17、 x x x ， 22 2 (1 )( ) 2 ( 0 )xf x x xxx 当 01x时， ( ) 0fx ，当 1x 时， ( ) 0fx ， 所以 ()fx在 (0,1) 上是增函数，在 (1, ) 上是减函数， ( ) (1) 0f x f ； 4 分 必要性 22( ) 2 ( 0 )a a xf x x xxx 当 0a 时， ( ) 0fx ， ()fx在 (0, ) 上是减函数，而 (1) 0f ， 故 01x时， ( ) 0fx ，与 ( ) 0fx 恒成立矛盾，所以 0a 不成立 当 0a 时， 2( ) ( ) ( ) ( 0 )22aaf x x x xx ， 当 0
18、2ax时， ( ) 0fx ，当2ax时， ( ) 0fx ， 所以 ()fx在 (0, )2a上是增函数 ，在 ( , )2a 上是减函数， 1( ) ( ) ln 12 2 2 2a a af x f ； 因为 (1) 0f ，又当 2a 时， 12a， ( ) (1) 02aff与 ( ) 02afx 恒成立不符 . 所以 2a . 综上， ( ) 0fx 对任意 0x 恒成立的充要条件是 2a ； 9 分 当 0a 时， ( ) 0fx ， ()fx在 (0, ) 上是减函数， 10 分 不妨设且 0 1x 2x ，则 1 2 1 2| ( ) ( ) | ( ) ( )f x f x f x f x ， 1 2 2 1|x x x x ， 1 2 1 2| ( ) ( ) | | |f x f x x x等价于 1 2 2 1( ) ( )f f x x x ，即 1 1 2 2( ) ( )f x f x x 令 2( ) ( ) l n 1g x f x x a x x x ， ()gx 在 (0, ) 上是减函数， 12 分 22( ) 2 1 ( 0 )a x x ag x x xxx ， 220x x a 在 0x 时恒成立， 1 8 0a ， 18a ，又 0a ，所以 a 的取值范围是 1( , 8 14 分
