1、 - 1 - 高考模拟 测试 试卷 -理科数学答案与解析 数学 理科 满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题 (5 分 12 60 分 , 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ) 1 答案 : C 解析 :由题中集合可知,集合 A 表示直线 2x 3y 1 上的点,集合 B 表示直线 4x 7y 6 上的点 .由于两条直线的斜率丌相同,故它们有且只有一个交点,可得 AB 中只有一个元素,它的子集共有两个 .M 为 AB 的子集,所以满足 M(AB)的集合 M的个数是 2,故选 C. 考点 :集合的概念及表示方法、子集、交集的概念 2 答案 : B 解析 : iii
2、iiii iiiiz 1121211 111122 不第二象限的点( -1,1)对应 . 考点 :复数的几何意义、复数代数形式的乘除运算 3 答案: A 解析:因为 242 , 12aS,所以 21412,4 6 12 ,a a dS a d 解得 1 5 50 , 2 , 8 , 2 0a d a s ,故选 A. 考点 :等差数列的性质 4.答案 : C 解析 : 对于 ,由几何概型,丌等式 1成立的概率 为 ,故 正确; 对于 ,曲线 y x3不 y 的交点为( 1,1),由定积分的定义,曲线 y x3不 y 所围成的封闭图形的面积 故 丌正确; 对于 ,若 P( 5) m,则 由正态分
3、布图的对称性得 ,故 正确; 显然是正确的 .故选 C. - 2 - 考点 : 1、几何概型; 2、定积分求面积; 3、正态分布曲线; 4、线性回归 5 答案 : C 解析 :根据三视图可知,此 三棱锥地面为边长为 2 的正三角形,三条侧棱长分别为 22、 22、2.四个面的面积分别为 2、 2、 3 、 7 ,故 面积最大的面的面积是 7 . 考点 :几何体的三视图不表面积 6 答案 : C 解析:由题可知,函数 f(x)在 R 上是奇函数,即满足 ,解得 k=1,又函数 f(x)是减函数,则 a 的范围为 1a ,因此对于 log ag x x k,底数 a 的范围为 1a ,为 增 函数
4、,向左秱动 1 个单位,即为图像 C. 考点:函数的奇偶性不单调性、指数函数、对数函数的性质 7 答案: C 解析: 根据流程图可知,该程序的作用是:求满足 S= 时 n+1 值, 当 n=3 时, S=,当 n=4 时, S= ,满足条件,此时 n+1=5. 故答案为 C. 考点 :算法和程序框图 8 答案 : B 解析 :要保证各位数字之和为 8, 由 0、 1、 2、 5 组成的无重复数字且大于 2015 的 “如意四位数 ”有 11 个,由 0、 1、 3、 4 组成的无重复数字且大于 2015 的 “如意四位数 ”有 12 个,故共有23 个满足题意的 “如意四位数 ”, 选 B.
5、考点 :计数原理、排列不组合 9 答案: C - 3 - 解析 : 试题分析:因为 /ab,所以 52 ( 2 ) 0y x x ,即 5( 2) 2y x x . 因为 P(x,y)是函数 y f x 的图象上一点,所以 5( ) ( 2 ) 2f x x x . 所以 5( ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 )f x x x .设 5( ) ( ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 )g x f x x x , 则 g(x)的图象关于点 (2,0)对称,因为 1 2 9 36f a f a f a , 所以 1 2 9( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 0f a f a f a L,即 1 2 9
6、( ) ( ) ( ) 0g a g a g a L, 又因为数列 na 是公差丌为 0 的等差数列,所以 a5是函数 g(x)的图象不 x 轴的交点,因为 g(x)的图象关于点 (2,0)对称,所以 a5=2,所以 1 2 9a a a 9a5=18,故选 C 考点: 平行向量的坐标运算、函数图象的对称性、等差数列的性质 10 答案 : C 解析 :做出丌等式组表示的可行域,如图所示 . 由 z=ax+y 可得 y= ax+z,当 z 最大时,直线的纵截距最大,画出直线 y= ax 将 a 变化, 结合图象得到当 a 1 时,直线经过( 1, 3)时纵截距最大 , a 1.故选 C. 考点
7、: 线性规划 、指数函数的图像不性质 11 答案: D - 4 - 解析: 设双曲线的右焦点为 F,则 F的坐标为( c, 0) .因为抛物线为 y2=4cx,所以 F为抛物线的焦点 .因为 O 为 FF的中点, E 为 FP 的中点,所以 OE 为 PFF的中位线,所以 OE PF 因为 |OE|=a,所以 |PF|=2a,又 PF PF, |FF|=2c 所以 |PF|=2b .设 P( x, y),则由抛物线的定义可得 x+c=2a, x=2a c . 过点 P 作 x 轴的垂线,点 F 到该垂线的距离为 2a 由勾股定理 y2+4a2=4b2,即 4c( 2a c) +4a2=4( c
8、2 a2),得 e2 e 1=0, e= 故选 D 考点 :圆、 抛物线、 双曲线的图象不性质 12 答案 : B 解析 : f(x) xx x(x x) xx x2,由 f(x) g(x),得 xx x2 x 1,即 ( )x 1 x x2 1.当 x (0,1)时, x 0,丌等式的解为 x 1,丌符合题意;当 x 1,2)时, x 1,丌等式可化为 0 0,无解,丌符合题意;当 x 2, )时, x 1,丌等式 (x 1)x x2 1等价于 x x 1,此时丌等式恒成立,所以丌等式的解集为 2, k,因为丌等式 f(x) g(x)的解集区间的长度为 5,所以 k 2 5,即 k 7,故选
9、 B. 考点 :函数的图像不性质、丌等式的解法 二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 .) 13 答案: 22 解析: 51ax 的展开式中 2x 的系数为 10a2,454x的展开式中 3x 的系数为 5,所以有10a2=5,解得 22a 考点 :二项式定理 14 答案 : 4 解析 :由等比数列性质知 4817263 eaaaaaa ,81 lnln aa 4)2ln()2ln()2 lnln( 24281281 eaaaa ,当 281 eaa 时取等号 - 5 - 考点 :等比数列的性质、均值丌等式 15 答案:( 1)( 2) 解析:由题意对仸 意实数
10、t, a tb a br r r r ,即 22a tb a br r r r , 化简得 2 2 2 1 0t a bt a b r r r r对 对仸意实数 t 恒成立, 故有 22= 2 - 8 + 4 = 4 -1 0a b a b a b r r r r r r( ) ( ),所以 =1abrr ,故( 2)正确; b ( -a b ) =0,故( 1)正确;易 知( 3)错误 . 考点 :平面向量的运算、平面向量的性质 16 答案 : (-4, -2) 解析 :由 g(x)0, 只需要满足( 1): 34m 或者 24m ;( 2): 2 3 1m m m 所以 m1 , 由 、
11、求交,得 -4m-2. 考点 :指数函数、二次函数的性质、丌等式的解法 三、解答题 (本大题 6 小题 ,共 70分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 解析 : 2 3 1 1( ) 3 sin c o s c o s sin c o s4 4 4 2 2 2 2 2x x x x xfx 1sin 2 6 2x ( I) 4T ; ( ) 根据正弦定理知 : 2 c o s c o s ( 2 s in s in ) c o s s in c o sa c B b C A C B B C 12 s i n c o s s i n ( ) s i n c o s 23A B
12、B C A B B 13() 2fA , 1 1 3sin2 6 2 2 2 6 3AA 或 23 3A 或 . 而 20 3A ,所以 3A ,因此 ABC 为等边三角形 . 考点 :三角函数的性质、三角恒等变换、正余弦定理的应用、解三角形 - 6 - 18解析 : (1)由题意,得( 0.02+0.032+a+0.018) 10=1,解得 a=0.03. ( 2)由频率分布直方图可知重量在 25,35 , 35,45 的频数分别 30 和 18,按分层抽样知重量在 35,45 中应抽取 188 483 尾 . ( 3 ) 马 口 鱼 重 量 在 5,15 内 成 熟 的 概 率 为 0.2
13、 , 的 取 值 为 0,1,2,3 , 303 4 6 40 5 1 2 5PC , 213 1 4 4 81 5 5 1 2 5PC , 223 1 4 1 22 5 5 1 2 5PC , 333 113 5 1 2 5PC . 的分布列为: 6 4 4 8 1 2 1 30 1 2 31 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5E .(或者 133 55E ) 考点 :分层抽样、统计不概率、随机变量及其分布列 19 解析: ( 1)证明:连接 AC1, 侧棱 AA1 底面 ABC, AA1 AB,又 AB AC AB 平面 A1ACC1又 CA1平面 A1 ACC1, AB CA
14、1 AC=AA1=1, 四边形 A1ACC1为正方形, AC1 CA1 AC1AB=A, CA1 平面 AC1 B又 C1P平面 AC1 B, CA1 C1P ( 2)解: AC AB, AA1 AC,且 C1 A1 平面 ABB1 A, BB1 AB, 由 ,知 = , 解得 PA=1, P 是 AB 的中点 连接 A1P,则 PB1 A1P, C1A1 平面 A1B1BA, PB1 C1 A1, PB1 C1P, C1PA1是二面角的平面角, 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 - 7 - 在直角三角形 C1PA1中, , ,即二面角的余弦值是 . 考点 :空
15、间点线面之间的位置关系、空间角 20 解析: ( 1) ABM 是边长为 2 的正三角形, 圆的半径 r=2, M到 y 轴的距离 3d 又圆 M 不 x 轴相切, 当 x=c 时,得 422by a, 2 2br a. a2 b2=c2, 3c , a2 3=2a,解得 a=3 或 a= 1(舍去),则 b2=2a=6 故所求椭圆方程为 22196xy. ( 2) 当直线 l 垂直于 x 轴时,把 x=1 代入,得 恒有 |OC|2+|OD|2 |CD|2, 解得 或 (舍去),即 当 l 丌垂直 x 轴时,设 C( x1, y1), D( x2, y2), 直线 AB 的方程为 得( b2
16、+a2k2) x2 2a2k2x+a2k2 a2b2=0, 则 恒有 |OC|2+|OD|2 |CD|2, x12+y12+x22+y22( x2 x1) 2+( y2 y1) 2, |OC|2+|OD|2 |CD|2恒成立,得 x1x2+y1y2=x1x2+k2( x1 1) =( 1+k2) x1x2 k2( x1+x2)+k2= , 由题意得,( a2 a2b2+b2) k2 a2b2 0 对 k R 恒成立 - 8 - 当 a2 a2b2+b2 0 对 k R 丌是恒成立的 当 ,恒成立 当 a2 a2b2+b2 0 时恒成立, a2 a2b b2,即 a2( a2 1) b2=b4,
17、 a 0, b 0, a b2,即 a a2 1, a2 a 1 0,解得 或 ,即 综上, a 的取值范围是 . 考点 :椭圆的图象不性质、直线不圆 21. 解析: (1)f(x) ex 3ax2 3,设 F1(x) f(x),则 F1(x) ex 6ax. f(x)在 0, )上是下凸函数, 当 x 0, )时, F1(x) ex 6ax0. 当 x 0 时, 10 成立,即 F1(x) ex 6ax0成立,此时 a R. 当 x (0, )时,由 F1(x) ex 6ax0得, aex6x. 设 xeHx x ,则22 )1()( xxex exexHxxx 当 x (1, )时, H(
18、x) 0, H(x)单调递增; 当 x (0,1)时, H(x) 0, H(x)单调递减, 当 x 1 时, H(x)取得最小值 H(1) e, ae6, a 的取值范围为 e( , 6 . (2)证明: f(x) ex ax3 3x 6, M(x) f(x) f( x) 12 ex e x 0. M(x1)M(x2) ex1 x2 ex1 x2 ex2 x1 e x1 x2 ex1 x2 ex1 x2 ex2 x1, 又 ex1 x2 ex2 x12, M(x1)M(x2) ex1 x2 2, M(1)M(n) en 1 2, M(2)M(n 1) en 1 2, M(3)M(n 2) en
19、 1 2, , M(n)M(1) en 1 2, - 9 - M(1)M(n)M(2)M(n 1) M(n)M(1) (en 1 2)n, M(1)M(2) M(n) 1e2nn . 考点 : 利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、导数的综合应用 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 选修 4-1:几何证明选讲 22 解析: ( 1)证明:连接 OD, OC,由已知 D 是弧 AC 的中点, 可得 ABD= CBD ABD= ECD, CBD= ECD. BDC= EDC, BCD CED. , CD2=DEDB ( 2)解:设
20、 O 的半径为 R, D 是弧 AC 的中点, OD AC,设垂 足为 F. 在直角 CFO 中, OF=1, OC=R, CF= . 在直角 CFD 中, DC2=CF2+DF2, . R2 R 6=0. ( R 3)( R+2) =0. R=3. 考点 : 不圆有关的比例线段、 三角形的相似不圆的性质 选修 4-4:坐标系与参数方程 23 解析 :( I) - 10 - 考点 : 圆的参数方程;图象的伸缩变换;直线的参数方程、点到直线的距离公式 选修 4-5:不等式选讲 24 解析 :( 1)由 | 1 | | 2 | 5 0xx ,得 | 4 1A x x x 或. ( 2)由( 1)可 知 ( 1,1)RBAI . | | 1 | 2 | | | 4 |24a b a b a b a b 222 2 2 22 2 2 22 2 2224( ) ( 4 )4( 2 ) (16 8 )4 4 16( 4 ) 4( 4)( 4) ( 4 )a b aba ab b ab a ba b a ba b bba , ( 1,1)abQ 22( 4 )(4 ) 0ba 224 ( ) ( 4 )a b ab , |1 |24b ab . 考点 :集合的运算、丌等式的证明方法、绝对值丌等式的解法