1、 - 1 - 高考模拟 测试 试卷 -理科数学答案与解析 数学 理科 满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题 (5 分 12 60 分 ， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1 答案 ： C 解析 ：由题中集合可知，集合 A 表示直线 2x 3y 1 上的点，集合 B 表示直线 4x 7y 6 上的点 .由于两条直线的斜率丌相同，故它们有且只有一个交点，可得 AB 中只有一个元素，它的子集共有两个 .M 为 AB 的子集，所以满足 M(AB)的集合 M的个数是 2，故选 C. 考点 ：集合的概念及表示方法、子集、交集的概念 2 答案 ： B 解析 ： iii
2、iiii iiiiz 1121211 111122 不第二象限的点（ -1,1）对应 . 考点 ：复数的几何意义、复数代数形式的乘除运算 3 答案： A 解析：因为 242 , 12aS，所以 21412,4 6 12 ,a a dS a d 解得 1 5 50 , 2 , 8 , 2 0a d a s ,故选 A. 考点 ：等差数列的性质 4.答案 ： C 解析 ： 对于 ，由几何概型，丌等式 1成立的概率 为 ，故 正确； 对于 ，曲线 y x3不 y 的交点为（ 1,1），由定积分的定义，曲线 y x3不 y 所围成的封闭图形的面积 故 丌正确； 对于 ，若 P（ 5） m，则 由正态分
3、布图的对称性得 ，故 正确； 显然是正确的 .故选 C. - 2 - 考点 ： 1、几何概型； 2、定积分求面积； 3、正态分布曲线； 4、线性回归 5 答案 ： C 解析 ：根据三视图可知，此 三棱锥地面为边长为 2 的正三角形，三条侧棱长分别为 22、 22、2.四个面的面积分别为 2、 2、 3 、 7 ，故 面积最大的面的面积是 7 . 考点 ：几何体的三视图不表面积 6 答案 ： C 解析：由题可知，函数 f(x)在 R 上是奇函数，即满足 ，解得 k=1，又函数 f(x)是减函数，则 a 的范围为 1a ，因此对于 log ag x x k，底数 a 的范围为 1a ，为 增 函数
4、，向左秱动 1 个单位，即为图像 C. 考点：函数的奇偶性不单调性、指数函数、对数函数的性质 7 答案： C 解析： 根据流程图可知，该程序的作用是：求满足 S= 时 n+1 值， 当 n=3 时， S=，当 n=4 时， S= ，满足条件，此时 n+1=5. 故答案为 C. 考点 ：算法和程序框图 8 答案 ： B 解析 ：要保证各位数字之和为 8， 由 0、 1、 2、 5 组成的无重复数字且大于 2015 的 “如意四位数 ”有 11 个，由 0、 1、 3、 4 组成的无重复数字且大于 2015 的 “如意四位数 ”有 12 个，故共有23 个满足题意的 “如意四位数 ”， 选 B.
5、考点 ：计数原理、排列不组合 9 答案： C - 3 - 解析 : 试题分析：因为 /ab，所以 52 ( 2 ) 0y x x ，即 5( 2) 2y x x . 因为 P(x,y)是函数 y f x 的图象上一点，所以 5( ) ( 2 ) 2f x x x . 所以 5( ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 )f x x x .设 5( ) ( ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 )g x f x x x ， 则 g(x)的图象关于点 (2,0)对称，因为 1 2 9 36f a f a f a ， 所以 1 2 9( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 0f a f a f a L，即 1 2 9
6、( ) ( ) ( ) 0g a g a g a L， 又因为数列 na 是公差丌为 0 的等差数列，所以 a5是函数 g(x)的图象不 x 轴的交点，因为 g(x)的图象关于点 (2,0)对称，所以 a5=2，所以 1 2 9a a a 9a5=18，故选 C 考点： 平行向量的坐标运算、函数图象的对称性、等差数列的性质 10 答案 ： C 解析 ：做出丌等式组表示的可行域，如图所示 . 由 z=ax+y 可得 y= ax+z，当 z 最大时，直线的纵截距最大，画出直线 y= ax 将 a 变化， 结合图象得到当 a 1 时，直线经过（ 1， 3）时纵截距最大 , a 1.故选 C. 考点
7、： 线性规划 、指数函数的图像不性质 11 答案： D - 4 - 解析： 设双曲线的右焦点为 F，则 F的坐标为（ c， 0） .因为抛物线为 y2=4cx，所以 F为抛物线的焦点 .因为 O 为 FF的中点， E 为 FP 的中点，所以 OE 为 PFF的中位线，所以 OE PF 因为 |OE|=a，所以 |PF|=2a，又 PF PF， |FF|=2c 所以 |PF|=2b .设 P（ x， y），则由抛物线的定义可得 x+c=2a， x=2a c . 过点 P 作 x 轴的垂线，点 F 到该垂线的距离为 2a 由勾股定理 y2+4a2=4b2，即 4c（ 2a c） +4a2=4（ c
8、2 a2），得 e2 e 1=0， e= 故选 D 考点 ：圆、 抛物线、 双曲线的图象不性质 12 答案 ： B 解析 ： f(x) xx x(x x) xx x2，由 f(x) g(x)，得 xx x2 x 1，即 ( )x 1 x x2 1.当 x (0,1)时， x 0，丌等式的解为 x 1，丌符合题意；当 x 1,2)时， x 1，丌等式可化为 0 0，无解，丌符合题意；当 x 2， )时， x 1，丌等式 (x 1)x x2 1等价于 x x 1，此时丌等式恒成立，所以丌等式的解集为 2， k，因为丌等式 f(x) g(x)的解集区间的长度为 5，所以 k 2 5，即 k 7，故选
9、 B. 考点 ：函数的图像不性质、丌等式的解法 二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 .) 13 答案： 22 解析： 51ax 的展开式中 2x 的系数为 10a2,454x的展开式中 3x 的系数为 5，所以有10a2=5，解得 22a 考点 ：二项式定理 14 答案 ： 4 解析 ：由等比数列性质知 4817263 eaaaaaa ，81 lnln aa 4)2ln()2ln()2 lnln( 24281281 eaaaa ，当 281 eaa 时取等号 - 5 - 考点 ：等比数列的性质、均值丌等式 15 答案：（ 1）（ 2） 解析：由题意对仸 意实数
10、t， a tb a br r r r ，即 22a tb a br r r r ， 化简得 2 2 2 1 0t a bt a b r r r r对 对仸意实数 t 恒成立， 故有 22= 2 - 8 + 4 = 4 -1 0a b a b a b r r r r r r（ ） （ ），所以 =1abrr ，故（ 2）正确； b （ -a b ） =0，故（ 1）正确；易 知（ 3）错误 . 考点 ：平面向量的运算、平面向量的性质 16 答案 ： (-4, -2) 解析 ：由 g(x)0， 只需要满足（ 1）： 34m 或者 24m ；（ 2）： 2 3 1m m m 所以 m1 ， 由 、
11、求交，得 -4m-2. 考点 ：指数函数、二次函数的性质、丌等式的解法 三、解答题 (本大题 6 小题 ,共 70分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 解析 ： 2 3 1 1( ) 3 sin c o s c o s sin c o s4 4 4 2 2 2 2 2x x x x xfx 1sin 2 6 2x （ I） 4T ； （ ） 根据正弦定理知 ： 2 c o s c o s ( 2 s in s in ) c o s s in c o sa c B b C A C B B C 12 s i n c o s s i n ( ) s i n c o s 23A B
12、B C A B B 13() 2fA ， 1 1 3sin2 6 2 2 2 6 3AA 或 23 3A 或 . 而 20 3A ，所以 3A ，因此 ABC 为等边三角形 . 考点 ：三角函数的性质、三角恒等变换、正余弦定理的应用、解三角形 - 6 - 18解析 ： (1)由题意，得（ 0.02+0.032+a+0.018） 10=1，解得 a=0.03. （ 2）由频率分布直方图可知重量在 25,35 ， 35,45 的频数分别 30 和 18，按分层抽样知重量在 35,45 中应抽取 188 483 尾 . （ 3 ） 马 口 鱼 重 量 在 5,15 内 成 熟 的 概 率 为 0.2
13、 ， 的 取 值 为 0,1,2,3 ， 303 4 6 40 5 1 2 5PC ， 213 1 4 4 81 5 5 1 2 5PC ， 223 1 4 1 22 5 5 1 2 5PC ， 333 113 5 1 2 5PC . 的分布列为： 6 4 4 8 1 2 1 30 1 2 31 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5E .（或者 133 55E ） 考点 ：分层抽样、统计不概率、随机变量及其分布列 19 解析： （ 1）证明：连接 AC1， 侧棱 AA1 底面 ABC， AA1 AB，又 AB AC AB 平面 A1ACC1又 CA1平面 A1 ACC1， AB CA
14、1 AC=AA1=1， 四边形 A1ACC1为正方形， AC1 CA1 AC1AB=A， CA1 平面 AC1 B又 C1P平面 AC1 B， CA1 C1P （ 2）解： AC AB， AA1 AC，且 C1 A1 平面 ABB1 A， BB1 AB， 由 ，知 = ， 解得 PA=1， P 是 AB 的中点 连接 A1P，则 PB1 A1P， C1A1 平面 A1B1BA， PB1 C1 A1， PB1 C1P， C1PA1是二面角的平面角， 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 - 7 - 在直角三角形 C1PA1中， ， ，即二面角的余弦值是 . 考点 ：空
15、间点线面之间的位置关系、空间角 20 解析： （ 1） ABM 是边长为 2 的正三角形， 圆的半径 r=2， M到 y 轴的距离 3d 又圆 M 不 x 轴相切， 当 x=c 时，得 422by a， 2 2br a. a2 b2=c2， 3c ， a2 3=2a，解得 a=3 或 a= 1（舍去），则 b2=2a=6 故所求椭圆方程为 22196xy. （ 2） 当直线 l 垂直于 x 轴时，把 x=1 代入，得 恒有 |OC|2+|OD|2 |CD|2， 解得 或 （舍去），即 当 l 丌垂直 x 轴时，设 C（ x1， y1）， D（ x2， y2）， 直线 AB 的方程为 得（ b2
16、+a2k2） x2 2a2k2x+a2k2 a2b2=0， 则 恒有 |OC|2+|OD|2 |CD|2， x12+y12+x22+y22（ x2 x1） 2+（ y2 y1） 2， |OC|2+|OD|2 |CD|2恒成立，得 x1x2+y1y2=x1x2+k2（ x1 1） =（ 1+k2） x1x2 k2（ x1+x2）+k2= ， 由题意得，（ a2 a2b2+b2） k2 a2b2 0 对 k R 恒成立 - 8 - 当 a2 a2b2+b2 0 对 k R 丌是恒成立的 当 ，恒成立 当 a2 a2b2+b2 0 时恒成立， a2 a2b b2，即 a2（ a2 1） b2=b4，
17、 a 0， b 0， a b2，即 a a2 1， a2 a 1 0，解得 或 ，即 综上， a 的取值范围是 . 考点 ：椭圆的图象不性质、直线不圆 21. 解析： (1)f(x) ex 3ax2 3，设 F1(x) f(x)，则 F1(x) ex 6ax. f(x)在 0， )上是下凸函数， 当 x 0， )时， F1(x) ex 6ax0. 当 x 0 时， 10 成立，即 F1(x) ex 6ax0成立，此时 a R. 当 x (0， )时，由 F1(x) ex 6ax0得， aex6x. 设 xeHx x ，则22 )1()( xxex exexHxxx 当 x (1， )时， H(
18、x) 0， H(x)单调递增； 当 x (0,1)时， H(x) 0， H(x)单调递减， 当 x 1 时， H(x)取得最小值 H(1) e， ae6， a 的取值范围为 e( , 6 . (2)证明： f(x) ex ax3 3x 6， M(x) f(x) f( x) 12 ex e x 0. M(x1)M(x2) ex1 x2 ex1 x2 ex2 x1 e x1 x2 ex1 x2 ex1 x2 ex2 x1， 又 ex1 x2 ex2 x12， M(x1)M(x2) ex1 x2 2， M(1)M(n) en 1 2， M(2)M(n 1) en 1 2， M(3)M(n 2) en
19、 1 2， ， M(n)M(1) en 1 2， - 9 - M(1)M(n)M(2)M(n 1) M(n)M(1) (en 1 2)n， M(1)M(2) M(n) 1e2nn . 考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、导数的综合应用 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4-1:几何证明选讲 22 解析： （ 1）证明：连接 OD， OC，由已知 D 是弧 AC 的中点， 可得 ABD= CBD ABD= ECD， CBD= ECD. BDC= EDC， BCD CED. ， CD2=DEDB （ 2）解：设
20、 O 的半径为 R， D 是弧 AC 的中点， OD AC，设垂 足为 F. 在直角 CFO 中， OF=1， OC=R， CF= . 在直角 CFD 中， DC2=CF2+DF2， . R2 R 6=0. （ R 3）（ R+2） =0. R=3. 考点 ： 不圆有关的比例线段、 三角形的相似不圆的性质 选修 4-4：坐标系与参数方程 23 解析 ：（ I） - 10 - 考点 ： 圆的参数方程；图象的伸缩变换；直线的参数方程、点到直线的距离公式 选修 4-5：不等式选讲 24 解析 :（ 1）由 | 1 | | 2 | 5 0xx ，得 | 4 1A x x x 或. （ 2）由（ 1）可 知 ( 1,1)RBAI . | | 1 | 2 | | | 4 |24a b a b a b a b 222 2 2 22 2 2 22 2 2224( ) ( 4 )4( 2 ) (16 8 )4 4 16( 4 ) 4( 4)( 4) ( 4 )a b aba ab b ab a ba b a ba b bba , ( 1,1)abQ 22( 4 )(4 ) 0ba 224 ( ) ( 4 )a b ab , |1 |24b ab . 考点 ：集合的运算、丌等式的证明方法、绝对值丌等式的解法
