1、 第 1 页 共 9 页 安徽省 蚌埠二中 2011届高三年级模拟测试最后一卷 数学试题（理） 考试时间： 120 分钟 试卷分值： 150 分 注意：本试 卷共分 、 两卷 ， 所有答案必须 写在 答题卷的相应位置 上， 写在试卷上不予记分。 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） .在复平面内复数 i56 ， i32 对应的点分别为 BA, ，若复数 z 对应的点 C 为线段 AB 的中点，则 zz 的值为（ ） A. 61 B 13 C 20 D 20 2 已知 3,2,
2、1,0A ，且 A 中至少有一个奇数，则这样的集合 A 共有（ ） A 11 个 B 12 个 C 15 个 D 16 个 3设 2,1,2 1,0,2 xxxxxf ，则 dxxf20 的值为 ( ) A. 43 B . 54 C. 65 D. 67 4等差数列 na 的前 n 项和为 5 1 2 8, 1 1, 1 8 6 ,nS a S a 则的值（ ） A 18 B 20 C 21 D 22 5 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成三棱锥 C ABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为 （ ） A 14B 12C 16D 186 已知 ABCD 是矩形，边
3、长 AB=3， BC=4，正方形 ACEF 边长为 5， 平面 ACEF平面 ABCD，则 多面体 ABCDEF 的外接球的表面积 ( ) A. 25 B. 50 C. 36 D. 100 7. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是 ( ) A. 2 B 21 C 3 D 31 8.设 xxxf sinc o s)( 把 )(xfy 的图象按向量 )0,(a ( 0) 平移后，恰好得到函数 y = f (x )的图象，则 的值可以为（ ） A 2 B 43 C D 23 9 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，
4、则恰好取 5 次球时停止取球的概率为（ ） A 815 B 8114 C 8122 D 8125 第 2 页 共 9 页 10 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p的焦点 F 与椭圆 22 1( 0 )xy abab 的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为 T ，且 TF 与 x 轴垂直 ，则椭圆的离心率为（ ） A212 21 13 213 第 II卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11 曲线 4cos2 3 sinxy（ 为 参 数） 上 一点 P 到点 2,0A 、 2,0B 距离之和为_。 12 4)( xyyx 的展
5、开式中， 33yx 的系数是 。 13 若变量 x、 y 满足 2040xyxyya ，若 2xy 的最大值为 1 ， 则 a 14. 如图 ,过抛物线 yx 42 焦点的直线依次交抛物线与圆 1)1( 22 yx 于点 A、 B、 C、 D,则 CDAB 的值是 _ 15函数 )(xf 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数， 0)1( f ，且对任意实数 x 都有)()1()1( xfxxxf ，则 )22 0 1 1()1()21()0( ffff 的值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 . 解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 在
6、ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.已知 a+b=5， c = 7 ， .272c o s2s in4 2 CBA (1) 求角 C 的大小； （ 2）求 ABC 的面积 . 17（本小题满分 12 分） 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等 品通过检测的概率为 23 现有 10 件产品，其中 6 件是一等品， 4 件是二等品 （ 1） 随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率； （ 2） 随机选取 3 件产品， 其中一等品的件数记为 X ， 求 X 的分布列； 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u （ 3） 随机选取 3
7、 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率 第 3 页 共 9 页 P A B C D F G E 18. （本小题满分 13 分） 如图，在底面是正方形的四棱锥 P ABCD 中， PA面 ABCD， BD 交 AC 于点 E， F 是 PC 中点， G为 AC 上一点 （ 1）求证： BD FG； （ 2）确定点 G 在线段 AC 上 的位置，使 FG/平面 PBD， 并说明理由 （ 3）当二面角 B PC D 的大小为 32 时，求 PC 与 底面 ABCD 所成角的正切值 19. （本小题满分 13 分） 已知函 数 2( ) ln 2 0 )f x a x ax (. （ 1）若曲线
8、 ()y f x 在点 (1, (1)Pf 处的切线与直线 2yx 垂直，求函数 ()y f x 的单调区间； （ 2）若对于 (0, )x 都有 ( ) 2( 1)f x a成立，试求 a 的取值范围； （ 3）记 ( ) ( ) ( )g x f x x b b R .当 1a 时，函数 ()gx在区间 1 , ee 上有两个零点，求实数b 的取值范围 . 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C: 22 1( 0 )xy abab 的长轴长为 22，离心率 22e ）求椭圆 C 的标准方程； ）若过点 B（ 2， 0）的直线 l （斜率不等于零）与椭圆 C 交 于不同的两点 E，
9、F（ E 在 B， F 之间），且 OBE 与 OBF 的面积之比为 12 ，求直线 l 的方程 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥ u 21. （本小题满分 13 分） 已知 13 1)( xaxxf ，且方程 084)( xxf 有两个不同的正根，其中一根是另一根的 3 倍，记等差数列 na 、 nb 的前 n 项和分别为 nS ， nT 且 )(nfTSnn （ Nn ）。 （ 1）若nnbang )( ，求 )(ng 的最大值； （ 2）若 251a，数列 nb 的公差为 3，试问在数列 na 与 nb 中是否存在相等的项，若存在，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列 nc 的通项
10、公式；若不存在，请说明理由 （ 3）若 251a，数列 nb 的公差为 3， 且 )1( nbd nn ， 1)( xxxh . 试证明：ndhdhdh n 31)()()( 21 . 第 4 页 共 9 页 蚌埠二中 2011届高三年级（理）最后一卷 数学答案 一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C B A B D B C B 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . ） 11、 8 12、 6 13、 5 14、 1 15、
11、0 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 12 分 ） (1) 解： A+B+C=180由 272c o s2c o s4272c o s2s in4 22 CCCBA 得 27)1c o s2(2c o s14 2 CC 整 理，得 01c o s4c o s4 2 CC 解 得： 21cos C 1800 C C=60 （ 2）解： 由余弦定理得： c2=a2+b2 2abcosC，即 7=a2+b2 ab abba 3)(7 2 由条件 a+b=5 得 7=25 3ab 9 分 ab=6 2 3323621s in2
12、1 CabS A B C17 （本题满分 12 分） 解： ( )设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 A . 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” 151332104106)( Ap ( ) 由题可知 X 可能取值为 0， 1， 2， 3. 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u 3046310 1( 0) 30CCPX C , 2146310 3( 1) 10CCPX C , 1246310 1( 2 ) 2CCPX C , 0346310 1( 3 ) 6CCPX C . ( )设 随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B ， 事件 B 等于
13、事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” X 0 1 2 3 P 301 103 21 61 第 5 页 共 9 页 所以， 31 1 1( ) ( )3 0 3 8 1 0PB . 18 （本题满分 13 分） 解： 方法一：（ I） PA 面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形， 其对角线 BD， AC 交于点 E， PA BD， AC BD BD平面 APC， FG 平面 PAC， BD FG 3 分 （ II）当 G 为 EC 中点，即 ACAG 43 时， FG/平面 PBD， 4 分 理由如下： 连接 PE，由 F 为 PC 中点， G 为 EC 中点，知 FG/P
14、E， 而 FG 平面 PBD， PB 平面 PBD， 故 FG/平面 PBD 7 分 （ III）作 BH PC 于 H，连结 DH， PA面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形， PB=PD， 又 BC=DC， PC=PC， PCB PCD， DH PC，且 DH=BH， BHD 主是二面角 B PC D 的平面角， 9 分 即 ,32BHD PA面 ABCD， PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角 10 分 连结 EH，则 PCEHB H EBDEH ,3, ,3t a n ECBEEHBEB HE 而 ,33s in,3 ECEHP C AEHEC ,22tan PCA PC
15、 与底面 ABCD 所成角的正切值是 22 12 分 方法二解：以 A 为原点， AB， AD， PA 所在的直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方形 ABCD 的边长为 1，则 A（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 1， 0） D（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， a）（ a0） , )20)(0,(),2,21,21(),0,21,21( mmmGaFE （ I） ),2,21,21(),0,1,1( ammFGBD 第 6 页 共 9 页 002121 mmFGBD FGBD 3 分 （ II）要使 FG/平面 PBD，只需 F
16、G/EP， 而 ),21,21( aEP ， 由 EPFG 可得aam22121，解得 ,1 ,43m 6 分 ,43),0,43,43( ACAGG 故当 ACAG 43 时， FG/平面 PBD 7 分 设平面 PBC 的一个法向量为 ),( zyxu 则00BCuPCu ，而 )0,1,0(),1,1( BCaPC 0 0y azyx，取 z=1，得 )1,0,(au ， 同理可得平面 PBC 的一个法向量 )1,0( av 设 vu, 所成的角为 0， 则 ,21|32c o s|c o s| 即 ,2111 1,21| | 22 aavu vu1a 10 分 PA面 ABCD， PC
17、A 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角， 2221t a n ACPAP C A PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是 22 12 分 19（本小题满分 13 分） 第 7 页 共 9 页 解 : (I) 直线 2yx 的斜率为 1.函数 ()fx 的定义域为 (0, ) ，22() afx xx ，所以22(1) 111af ，所以 1a . 所以 2( ) ln 2f x xx . 22() xfx x .由 ( ) 0fx 解得2x ；由 ( ) 0fx 解得 02x . 所以 ()fx的单调增区间是 (2, ) ,单调减区间是 (0,2) . (II) 22() a axfx
18、x x x ，由 ( ) 0fx 解得 2x a ；由 ( ) 0fx 解得 20 x a . 所以 ()fx在区间 2( , )a 上单调递增，在区间 2(0, )a 上单调递减 . 所以当 2x a 时，函数 ()fx取得最小值，min 2()yfa. 因为对于 (0, )x 都有 ( ) 2( 1)f x a成立，所以 2( ) 2( 1)faa 即可 . 则 22ln 2 2 ( 1)2 aaaa . 由 2lnaaa 解得 20 a e . 所以 a 的范围是 2(0, )e . (III)依题得 2( ) l n 2g x x x bx ，则 22 2() xxgx x .由 (
19、) 0gx 解得 1x ；由( ) 0gx 解得 01x. 所以函数 ()gx在区间 (0, 1) 为减函数，在区间 (1, ) 为增函数 . 又因为函数 ()gx在区间 1 , ee 上有两个零点，所以1( ) 0,( ) 0, (1) 0. gegeg 解得 211bee .所以 b 的取值范围是 2(1, 1ee . 20（本小题满分 12 分） 解：（ I）椭圆 C 的方程为 )0(12222 babyax ，由已知得 2 2 2222 2 2ceaaa b c 解得 2 , 1, 1a b c 所求椭圆的方程为 12 22 yx . (II)由题意知 l 的斜率存在且不为零， 第 8
20、 页 共 9 页 设 l 方程为 2( 0)x my m ，将 代入 12 22 yx ，整理得 22( 2 ) 4 2 0m y m y ，由 0 得 2 2.m 设 ),( 11 yxE ， ),( 22 yxF ，则 12 212 24222myymyy m . 由已知， 12OBEOBFSS ， 则 | | 1| | 2BEBF由 此 可 知 ， 2BF BE ，即 212yy . 代入 得， 1 221 2432222mymy m ，消去 1y 得22 2 22 1 6 29 ( 2 ) 2mmm解得， 2 187m ，满足 2 2.m 即 3 147m . 所以，所求直线 l 的方
21、程为 7 3 1 4 1 4 0 7 3 1 4 1 4 0x y x y 或. 21.（本小题满分 13 分 ） 解：（ 1） 4a ， 13 14)( xxxf ，13 14)( nnnfTSnnnnbang )( )46(3 73446 381212 nnnTSnn 故 )(ng 的最大值为 25)1( g 。 （ 2）由（ 1）知2511ba，81322 ba可得 234 nan， 23 nbn 令 mn ba ， 23234 mn 可得 ： Znm 4321 矛盾 所以在数列 na 与 nb 中不存在相等的项。 （ 3） 证明：nnd ddh n nn 2 121)( 要证ndhdhdh n 31)()()( 21 即要证nnn 312 12654321 （直接用数学归纳法证明不出） 第 9 页 共 9 页 只要证明13 12 12654321 nnn（再用数学归纳法证明即可） 提示：当 1kn 时 ,只要证：43 1)1(2 1213 1 kkkk)34)(13()12()22)(13()12(3 222 kkkkkk 03131231212 22 kkkkk
