1、Ansoft高级培训班教材 Ansoft HFSS的有限元理论基础,谢拥军 编著,西安电子科技大学Ansoft培训中心,第一章 概述第二章 有限元的基本理论及三维有限元分析 21 电磁场边值问题及其变分原理22 有限元方法的原理从一维简单例子 来看其建模过程23 三维时谐场有限元问题24 有限元方程组的求解第三章 电磁内问题和散射问题的有限元分析方法31 电磁内问题32 电磁散射问题,第一章概述,Ansoft HFSS软件是应用有限元方法的原理来编制的，深入的了解有限元方法的理论基础，及其在电磁场与微波技术领域的应用原理，对于我们灵活、准确地使用Ansoft HFSS软件来解决实际工程问题能够
2、提供帮助。 这一部分教材的内容就是在结合Ansoft HFSS软件中涉及到的有限元技术，力争在最小的篇幅和最短的时间里为学员建立理论结合实际的有限元方法的基本概念。,第二章 有限元的基本理论及三维有限元分析,有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术，大约有40年的历史。他首先在本世纪40年代被提出，在50年用于飞机的设计。在六七十年代被引进到电磁场问题的求解中。,21 电磁场边值问题及其变分原理,电磁场的边值问题和很多的物理系统中的数学模型中的边值问题一样，都可以用区域内的控制微分方程（电磁场问题中可以是泊松方程、标量波动方程和矢量波动方程等）和包围区域的边界上的边界条件（可以是第一类的
3、Dirichlet条件和第二类的Neumann条件，或者是阻抗和辐射边界条件等）来定义。微分方程可表示为： （2.1） 式中， 是微分算符， 是激励函数，是未知量。,对于电磁场边值问题，只有少数情况可以得到解析解。很多的时候我们采用基于变分原理的数值方法去求其近似解 ，比如伽辽金方法。在伽辽金方法中，我们首先定义非零的残数： （2.2) 的最佳近似应能满足： （2.3),这里 表示残数加权积分（也可称为误差泛函）， 是所选择的加权函数。进一步地，我们可以将近似解 展开为： (2.4) 式中， 是定义在区域内的展开函数， 是待定的展开系数。并且我们将加权函数选为： （2.5）,这时，式（2.3）
4、变为： （2.6）这样问题的求解就转化为能够使上式最小化的展开系数 的线性问题的求解，将（2.6）式写为矩阵形式： （2.7） 的元素为： （2.8） 的元素为： （2.9）,22 有限元方法的原理从一维的例子 来看其建模的过程,从上一小节的内容我们可以看到电磁场边值问题变分解法的这样的两个特点： （1）变分问题已经将原来电磁场边值问题的严格求解变为求解在泛函意思下的弱解，这个解可以和原来的解式不一样的。 （2）在电磁场边值问题的变分方法中，展开函数（也可成为试探函数）是由定义在全域上的一组基函数组成，这种组合必须能够表示真实解，也必须满足适当的边界条件，这对于二维、三维问题是非常困难的。,很
5、自然的，人们认为如果采用组成全域的子域上的一组基函数能够提高近似解对于真实解的逼近精度。这就是有限元方法。下面我们通过一个简单的一维例子来看看有限元方法的建模过程和其方法的特点。 考虑一个均匀充填介电常数为的平板电容器，如图2.1所示:,如果我们假设电场只有x方向的分量，问题就可以简化为一维问题。问题的支配方程为： （2.10） 其边界条件为： （2.11） 利用（2.10）式与权函数构成内积，仿照（2.3）式的方法我们可以给出这里的误差泛函： （2.12）,如图2.2所示，我们可以将一维区域离散化为N段（单元），每一小段又有编号为“1”和“2”的两个端点（结点），也称为“本地”序号，当然，与
6、单元一样每个结点还有相应的全域序号。,如果我们假设在单元内部电位函数按照线性规律变化，也就是对于单元内部的函数进行一阶插值： (2.13）特别的，在两个结点 和 处我们令其值分别为 和 ，则（2.13）式可以重新写为（实际上和就成为了这一子域上的待求的系数）： （2.14）其中： ， ， ， ，,那么这时候在离散化的意义下，泛函（2.12）式可以写为： （2.15）其中，k是结点的全域序号，K是所有结点的总数， 是第k个结点的子域。由于结点和单元的关系，我们可以在单元内选取 （i1，2）做为权函数，在利用一些矢量运算恒等式，我们可以得到： （2.16）式中，n为单元的序号，N为总的单元数。,注
7、意到在离散化子域上有： （2.17） （2.18） 实际问题中，应该是域内无源， 所以为零。则在每个单元内（2.16）式的左边可以写为线性表达式： （2.19）,（2.19） 具体的我们可以用图2.1所示的例子来进行数值实现。在图2.1的离散化情况下我们有3个未知数，即对应结点全域序号的 ， 和 （而其中的 和 又有边界条件给定）。首先将（2.19）式对应单元1中的线性表达式的值带入到求解全部3个未知数的全域矩阵中： （2.20）,再将（2.19）式对应单元2中的线性表达式的值带入到求解全部 3个未知数的全域矩阵中，构成全域矩阵方程： （2.21）,再在（2.21）式中加入边界条件 和 ，则有
8、最终的矩阵方程： （2.22）很方便的可以解出 。,从这个很简单的例子我们可以看出有限元方法的几个特点：（1）通过离散化和建立误差泛函，原来的电磁场边值问题变为求解矩阵方程，这是原来问题的弱解。（2）最终矩阵方程的维数与结点的总数相同，未知数是结 点上的数值解，单元内的数值是依靠结点处数值解的 插值（这里是线性插值）。 （3）最终矩阵的构成是由子域上的小线性系统按照其全域 序阵，其计算机的存储要求并不大。号来在相应位置 上填充的，所以最终矩阵是稀疏矩阵，其计算机的存 储要求并不大。,总结来看，有限元方法的建模过程可以分为以下几个步骤：（1）区域离散。在任何有限元分析中，区域离散是第一步，或许也
9、是最重要的一步，因为区域离散的方式将影响计算机内存的需求、计算时间和数值结果的精确度。在我们前面的一维例子里面，我们选取短直线段为单元，二维可以选择矩形或者三角形，三维问题可以选择四面体、三棱柱或矩形块。Ansoft HFSS选用的四面体作为基本单元，在下一小节我们将着重加以介绍。,（2）插值函数的选择。在每一个离散单元的结点上的值是我们要求的未知量，在其内部的其它点上的值是依靠结点值对其进行插值。我们在以上的一维例子中选择了线性插值，很多复杂的问题中如果选用高阶多项式插值精度应该更高，但是公式也更复杂。Ansoft HFSS软件中有两种插值方式可供选择，我们将在下节中的介绍。,（3）方程组的
10、建立。对Maxwell方程利用变分方法建立误差泛函，由于问题已经离散化为很多个子域的组合，我们可以首先在每个单元内建立泛函对应的小的线性表达式，其次，将其填充到全域矩阵中的相应位置，最后应用边界条件来得到矩阵方程的最终形式。（4）方程组的求解。方程组的求解是有限元分析的最后一步。最终的方程组是下列两种形式之一： （2.23）或者 （2.24）,方程（2.23）是确定型的，它是从非齐次微分方程或非齐次边界条件或从它们两者兼有的问题中导出的。在电磁学中，确定性方程组通常与散射、辐射以及其它存在源或激励的确定性问题有关。而方程（2.24）是本征值型的，它是从齐次微分方程和齐次边界条件导出的。在电磁学
11、中，本征值方程组通常与诸如波导中波传输和腔体中的谐振等无源问题有关。在这种情形下，已知向量 为零，矩阵 可以写成 的形式，这里表示未知的本征值。这两种方程组的解法是不同的，我们会在2.4节中具体介绍。,23 三维时谐场有限元问题,在上一节中，我们用一个静电问题的例子介绍了有限元的建模过程。这是一个很简单的一维例子，能够是我们在介绍中将注意力最大限度的集中到有限元方法本身的介绍，从而使读者很容易掌握有限元方法的基本特点。但是，实际上所有的物理问题都是三维的，Ansoft HFSS软件也是以三维有限元方法为基础的，本小节将通过以下几个方面对其着力加以介绍。,231 三维支配方程,广义的来说，三维麦
12、克思韦方程组是三维电磁场问题的三维支配方程，但是，一般情况下为了方便求解和建模，大多选取由麦克思韦方程组的前两个旋度方程导出的电场强度满足的矢量亥姆赫兹方程作为支配方程（注意：麦克思韦方程组中的后两个散度方程并没有被考虑）。比如，Ansoft HFSS软件的支配方程为： （2.25） 式中： 是时谐场对应的相量， （在abc3d模块中）。 是自由空间波数， 是复的相对导磁率， 是复的相对介电常数（考虑了介质的损耗）。,232 三维变分公式,根据我们上一节介绍的变分原理，上式的泛函可以写为： （2.26） 特别要指出的是，这只是无源区的域内支配方程对应的泛函，还没有强加边界条件和源项。,233
13、三维离散单元,从上一节关于有限元建模过程的介绍我们可以看到，有限元方法的一个关键步骤是建立离散单元的小矩阵，只要我们得到了离散单元的小矩阵，然后将其填充到全域矩阵中。因此三维有限元与一维和二维有限元的重要区别也就在如何利用（2.3）式泛函建立三维离散单元的小矩阵。对于三维问题，矩形块、四面体和六面体等都可以被选用做基本的离散单元，但是，不同离散单元对于有限元运算的精度、速度和内存需求都有不同。Ansoft HFSS采用四面体作为基本离散单元，并选用上一世纪 80年代以后才被应用于电磁学中的棱边元作为矢量基函数。,图2.3 Ansoft HFSS软件中的四面体棱边元,下面我们首先介绍按照结点值定
14、义的四面体棱边元 ，然后分析其可能带来的伪解、界面不连续和奇异点等问题，最后介绍Ansoft HFSS选用的三维棱边元，从而使读者对其基本定义和选用其的优越性得以充分了解。 假设图2.4所示的四面体内的未知函数 能够近似为： （2.27） 图2.4 四面体单元,如果用四面体的四个顶点 （即四个结点）处的值（i=1,4）来表示，我们可以得到： （2.28）式中插值函数 为 （2.29） （单元四面体体积）（2.30）,而 有下列等式获得： （2.31） （2.32）,（2.33） （2.34）,这就是传统的有限元四面体单元的线性系统，可以看到类似于上一节中一维问题的线段端点作为结点未知量，这里四
15、面体的顶点作为结点。然而，按照这一思路研究的有限元方法在解决时谐电磁场问题时出现了伪解、界面不连续和奇异点等问题，一直困扰着很多的研究者，我们具体对其介绍如下。,234 时谐电磁场有限元数值解的伪 解、界面不连续和场的奇异性问题,在实际运用以上单元定义求解泛函（2.26）时，有时获得的有限元数值解是错误的。进一步研究表明这种解不满足散度条件，即在无源区域不满足 。初看起来，这似乎是不可能的，因为散度条件已经隐含在矢量亥姆赫兹方程（2.25）式的推导中。但是，（2.26）式的解只是（2.25）式解的弱解，（2.25）式要求的场的二次可微（也就是说 必须是连续的），然而实际上我们只做到了插值函数本
16、身的连续。这种情况下，不符合物理实际的伪解就有可能产生。,另外一个按照以上单元定义容易出现的问题就是界面不连续情况的处理非常困难。如果实际物理问题中包含不同媒质，即计算区域包含不连续性界面的情形下，我们需要在界面两侧强加连续性条件： （2.35） 但是按照现有定义，在实施上述过程中，我们也强加了法向场连续性，这与实际下列边界条件矛盾： （2.36） 很多研究者为了消除以上矛盾，做了很多的努力。比如说，在界面处细分网格，但也带来了大大增加未知量的缺点。,尖端场的奇异性也给有限元发展带来了很大的阻碍。因为在很多实际应用中，感兴趣的区域包括导电体的尖边缘和尖点，或者材料的尖边缘和尖点，又是两者兼而有
17、之。我们都知道，在导电体边缘和尖点，或材料的边缘和尖点上，场的某些分量可能变成无穷大。但在有限元分析中，因为是数值解，即使问题包含边缘和尖点，我们也要确定边缘和尖点的场，然而，我们也看到，通过结点场插值无法得到无穷大的场。,235 三维棱边元,上一世纪80年代以后，棱边元单元的出现解决了上面提到的这些有限元方法的缺点。Ansoft HFSS正是采用了棱边元（也称为矢量有限元）的方法，下面我们对其进行介绍。 考察矢量函数： （2.37） 首先，容易看出 ， （2.38）,其次，假设 表示从结点1指向结点2的单位矢量。因为 是从结点1处的1变化到结点2处的0的线性函数， 是从结点2处的1变化为结点
18、1处的线性函数，所以， ， 其中， 表示连接结点1和2的棱边长。因此 （2.39） 它表示 沿棱边（1，2）有一个常切向分量，沿其它5个棱边没有切向分量。,如果定义该棱边为1，则可以定义其矢量基函数为： （2.40）类似可得到棱边i的矢量基函数为： （2.41）其中棱边数及相关结点 和 定义在表2.1中。,表2.1 四面体单元的棱边定义,在以上定义的基础上，适用于泛函（2.26）的四面体单元内的电场矢量可以表示为： （2.42） 其中， （i1，6）就是单元内的未知量。这就是Ansoft HFSS中使用的棱边元（对应其0th order basis function）。可以看到，这类矢量基函数
19、在单元内自然满足散度为零，旋度不为零（见（2.38）式），其定义也正好是沿切向定义的，棱边元也避免了结点值，所以它能够去除我们上一小节所谈的结点值四面体的三个缺点。,四面体单元在模拟任意形状的几何体时，特别是不规则的几何物体时，比矩形块、六面体等单元更加灵活和准确。虽然对于的同样离散数，矩形块和六面体比四面体的未知数要少，但是，有趣的是，对于几乎同样的未知量数目，采用四面体的有限元数值解比采用矩形块和六面体的有限元数值解精度要高。应该说，四面体单元特别是四面体棱边元在解决三维问题时是较好的选择。,24 有限元方程组的求解,在利用变分原理和离散化方法建立了有限元矩阵方程后，我们就面临着求解以结点
20、值为未知数的矩阵方程。我们将方程写为： （2.42） 式中系数矩阵A是一个nn方阵，x是待求解的未知量，b表示已知向量。为了精确的描述电磁场工程中的实际问题，许多应用中的系数矩阵的维数（对应离散剖分的结点值未知量个数）非常大。结果，当我们利用计算机寻求数值解时，我们遇到庞大的计算机内存需求和过长的计算时间。幸好，正如我们在2.2节谈到的，有限元离散得到的矩阵总是稀疏的、对称的和带状的。如果我们充分的利用这些性质，就可以大大地,节省存储量。比如说，一般的有限元矩阵每行的非零元素少于15个，如果我们只存储非零元素，由于对称性，我们只需要存储8个元素，因此，对于一个10000个未知量的方程，只有大约
21、810000个非零矩阵元素需要存储。加上用于记号所需的两个整型数组，总存储量不到相应满秩矩阵存储空间的六百分之一。除存储量降低外，有限元矩阵的特殊性质也能减少计算时间。大量的零矩阵元素不需产生，加上适当设计算法，它们在解过程中的运算也可避免。因此，正是这一为矩量法等积分方程方法所不具备的特殊性质，使得有限元方法对分析电大尺寸问题时更有吸引力。,下面我首先介绍矩阵方程的解法，然后介绍在此基础上Ansoft HFSS为在一定精度的要求上最大限度的提高效率而设计的自适应迭代算法。,241 确定性问题矩阵方程求解的直接法,当式（2.42）右端的已知激励向量b不为零时，为确定性方程求解，也就是利用各种等
22、效方法的对矩阵A求逆，其中最适用于有限元方法矩阵的是分解法，Ansoft HFSS就是采用的分解法。这其中，LU分解是最基础的一种方法，很多的快速分解方法都是在其基础上发展而来的，所以我们这里将介绍LU分解方法。,如果矩阵可以分解为 ALU （2.43）其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。那么，先求解 Lyb （2.44）然后求解 Uxy （2.45）即可得到（2.42）式的解。因为L是一个下三角矩阵，y可通过前向替代过程而高效地获得 （2.46） （2.47）,然后，x可通过后向替代过程而获得 （2.48） （2.49） 这种分解算法其计算的复杂度正比于 ，也并没有利用有限元带状稀
23、疏阵的性质。进一步利用带状稀疏阵的分解算法能够有效地提高运算效率，降低计算复杂度。Ansoft HFSS的快速算法计算度就在以下 。,242 确定性问题矩阵方程求解的迭代法,矩阵方程的迭代方法又可以分为直接迭代方法和共轭梯度法，特别是共轭梯度法现在被认为是求解矩阵方程的有效方法。共轭梯度法首先给出未知量的一个初始猜测，然后在一定的泛函空间中按照搜索向量进行迭代，直到达到设定的精度。共轭梯度法的计算复杂度正比于。因为Ansoft HFSS使用的是分解法，这里对共轭梯度法不再详细介绍。,243 本征值问题的解,当式（2.42）右端的已知激励向量b为零时，为对应腔体谐振和波导分析的本征值方程求解。一
24、个标准的本征值问题由下式定义： Axx （2.50） 其中，A是一个nn方阵，x是本征向量，表示对应的本征值。显然，仅当下式成立时 （2.51） （2.50）式才可能有非零解。在上式中，I表示单位矩阵。总的来说，本征值问题的解法很多，也比确定性问题更复杂，有些也是以矩阵分解为基础的。,有限元方法得到的一般是广义形式的本征值问题：AxBx （2.52） 很明显，如果把B分解为，其中L是一个下三角阵，那么广义本征值问题可以改为标准形式 （2.53） Lanczos法是有效的求解带状稀疏矩阵的本征值问题的方法，大家可以在Ansoft HFSS的solver中找到。,244 Ansoft HFSS的自
25、适应迭代算法,从上面的讨论我们可以看出，矩阵方程的求解复杂度与有限元的剖分密度即未知数数目有很大的关系，未知数数目越多，求解所需的时间越长。然而，从另外一个方面来说，有限元方法求解的精度与也随着未知数数目的增加而更加准确。因此，有限元方法的求解时间与准确度是一对矛盾。为了在越短的时间内取得越大的精度，Ansoft HFSS采取了自适应迭代算法，如图2.5所示。该算法一开始先选用较粗的剖分，采用我们上面所谈的方法求解，然后看其进度是否满足要求。如不满足，进一步细化剖分，再次进行求解，知道达到给定的精度。,图2.5 Ansoft HFSS的自适应迭代算法,第三章 电磁内问题和散射问题的有限元分析方
26、法,Ansoft HFSS是分析电磁场工程中的内问题和射问题的有力工具，下面我们对其应用于电磁内问题和散射问题时的一些关键技术进行介绍。,31 电磁内问题,Ansoft HFSS可以分析封闭的各种传输线及其不连续性、谐振腔特性等。在工程上，我们尤其关心各种微波结构的网络特性，一般来说，我们使用S参数来描述这些网络特性。实际用户在使用Ansoft HFSS 时有时会出现和预想的情况不太吻合，甚至出现 的不合理情况。在本节中，我们着重讲述Ansoft HFSS计算微波网络S参数的一些问题，帮助用户分析实际使用中的一些问题。,311 Ansoft HFSS中S参数的定义,在我们建立了微波问题的有限元
27、研究模型并求解其场结构以后，我们可以利用求得的场进一步求取其多端口网络参数。多端口网络的S参数描述的是多端口网络端口反射波和入射波之间的线性关系，比如一个二端口网络的S参数定义为： （3.1）,Ansoft HFSS对其中各参数的定义为： 我们 是端口i的入射波，其模值平方 是激励功率，相位 是激励场相位（对于有耗端口模式和无耗传输模式定义为0，对于无耗截止模是90）。 是端口i的反射波，其模值平方 是激励功率，相位 是反射场由于激励场而产生的相位。 描述了端口j处的激励场反射或传输到端口i的比率和相移。 必须注意到，Ansoft HFSS定义的S参数是与模式有关的，其默认的S参数是主模的S参
28、数，同时也具备计算高次模式的S参数。,312 Ansoft HFSS中多口网络端口特性 阻抗的定义,Ansoft HFSS端口的特性阻抗有 ， 和 三种阻抗定义，我们分别具体介绍如下。 是由功率P和电流I来定义的： （3.2） 式中的功率P和电流I都可以由有限元方法计算的场来求得，功率P由下式计算： （3.3） s表示端口表面积。,电流I由下式计算： （3.4）l为端口环线积分。注意电流由流入和流出端口两种，Ansoft HFSS取其平均。 是由功率P和电压V定义的： （3.5）式中功率P的定义和（3.3）式相同，电压V的定义为： （3.6）积分式在设定端口时定义的阻抗线上进行。 则是由前两个
29、阻抗来定义的： （3.7）,一般来说，对于TEM传输线，Ansoft HFSS选择使用 作为特性阻抗的定义；对于微带线，Ansoft HFSS建议使用 作为特性阻抗的定义；对于槽状结构的共面波导等，Ansoft HFSS建议使用 作为特性阻抗的定义。,313 Ansoft HFSS中S参数模值大于1情况 的一些分析,在选定和恰当地计算了端口特性阻抗后，S参数就可以反归一到实际结构的S参数。但是，实际运算中，有时我们会看到S参数的模值大于1的现象，可能会使以下原因造成的。 很大的可能这是由于高次截止模式的影响。正如前面我们提到的，Ansoft HFSS的S参数的定义是和模式联系的，因此高次截止模
30、能量的存在影响了主模的S参数所满足的能量守恒特性，所以还应该考虑高次模式的S参数。,另外可能出现的地方是当我们应用快速扫频技术时，因为我们是使用有限频率点计算网络特性并由其插值而获得其它频点的特性，而且其剖分有时也仅对频带中心点是准确的。这种插值当计算点较少而元器件的宽带特性又较复杂时是无法获得准确值的。,32 电磁散射问题,从上一章的内容我们看到，有限元方法是对矢量亥姆赫兹方程建立变分形式，然后进行离散化建立矩阵方程来求解。那么，从原理上说这种微分方程的方法应该所有感兴趣的区域成立，我们的离散化也应该在所有感兴趣的区域进行。这对于微波内问题是方便的，但是对于感兴趣的区域是无限区域的微波散射和
31、辐射问题，有限元方法就面临着如何高效、准确使用的新问题。,很自然的想法是我们建立人工边界条件来对无限区域进行截断，那么这种边界条件应该使边界对散射场尽可能透明，也就是使其引起的非物理反射最小。一种方法是从适用于外部区域的边界积分方程或本征函数展开来推导出一类截断边界条件。本质上说这种边界条件是全局的，即他们将边界上一个结点场与边界上所有其它结点的场联系起来。但是，很显然这种边界条件产生了边界上满矩阵，大大地增加了计算机内存需求和计算时间。,另一种很常用的、也被Ansoft HFSS采用的方法是吸收边界条件方法，它只建立边界上场的局部关系，也就是说边界上一个节点场只和邻近的结点场联系起来。因此，得到的是高度稀疏带状的有限元方程组，但是它很难对所有入射角产生零反射，因而它不是精确的，只是近似的。,有限元方法利用完全匹配层（PML）技术可以达到很好的吸收边界条件，下面我们对其原理进行介绍。 PML是由各向异性媒质构成的区域，其本构参数可以写为对角张量的形式： （3.8） （3.9）,
