1、导数与微分,一、导数的概念1.自变量的增量：2.函数的增量： 3.导数的定义：,导数与微分,即导数为函数增量与自变量增量比的极限,导数与微分,导数与微分,二、导数的物理和几何意义1.物理意义： 表示运动物体瞬时速度即：2.几何意义： 表示曲线yf(x)在x0处的切线斜率即 若切点为 则曲线在 的 切线方程为： 法线方程为：,导数与微分,导数与微分,三、基本求导公式：,导数与微分,导数与微分,导数与微分,四、求导法则若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则,导数与微分,1.求下列函数的导数,导数与微分,导数与微分,导数与微分,2.复合函数求导,导数与微分,注：复合函数求导法则的关键在于：（1)
2、 将复合函数分解成若干个基本初等函数；（2) 分别求出这些函数的导数并相乘；（3) 将所设中间变量还原,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,例5：证明：偶函数的导数是奇函数。证：设f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)u=-x,导数与微分,3.隐函数求导法则：隐函数：由含x，y的方程F(x,y）0给出的函数称为隐函数。有些方程，可以从中解出y，将y表示成x的显函数的形式。如：有些方程则不能解出y，如 等，对于这样的隐函数可不必解出y，而是将y作为x的函数隐藏在方程中利用隐函数求导法则求出其导数,导数与微分,隐函数的求导法则：将y作为x的函数，y
3、y(x)，于是F(x，y(x)）0对方程两边的x求导，遇y时，将y作为中间变量，利用复合函数求导法则对y求导再乘 得到一个含的方程，最后从新方程中解出,导数与微分,例6：求下列函数的导数,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,注：对一些较复杂的乘积，商或根式函数求导时，可利用先取对数后求导的方法计算,导数与微分,5.参数方程求导法则,导数与微分,导数与微分,五、函数的微分1.微分的定义:设函数y=f(x)在点x0处可导, 是自变量x的增量,则称 为函数f(x)在x0处关于x的微分.记为: ,即2.函数可微的条件: 定理: 函数y=f(x)在x点可微
4、的充分必要条件是y=f(x)在x点处可导. 即：函数可微 存在,则函数可导且 ,反之,函数可导,既 存在,则 从而函数可微.,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,3.微分公式,导数与微分,导数与微分,4.微分法则,导数与微分,例10 求下列函数的微分：,导数与微分,导数与微分,5.一阶微分形式不变性：若u为自变量,yf(u),则,若u为中间变量,从而不论u是自变量还是中间变量其微分的形式不变,皆为dy=f(x)du.我们将微分的这一性质称为一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性可以方便的求出复合函数和隐函数的微分和导数。,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,例12 求下列隐函数的微分和导数,导数与微分,导数与微分,导数与微分,6.微分在近似计算中的应用,导数与微分,导数与微分,
