1、第3章 多维随机向量及其概率分布,3.1 随机向量及其联合分布函数,3.3 随机向量的独立性,3.2 二维离散型和连续型随机向量,3.4 随机向量的函数及其概率分布,3.1 随机向量及其联合分布函数,一、多维随机向量,二、联合分布函数的性质,三、边缘分布函数,一、多维随机向量,定义,以后除非特别声明，一般只讨论二维随机向量,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H
2、, W ).,说明,二、联合分布函数的性质,二元分布函数的几何意义,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),分布函数的基本性质：,且有,证明,三、边缘分布函数,边缘分布函数也称为边际分布函数或边沿分布函数,3.2 二维离散型和连续型随机向量,一、二维离散型随机向量,二、二维连续型随机向量,定义 若随机变量X和Y的所有可能取值为有限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机向量.,设X的所有可能取值为,Y的所有可能取值为,则称,为二维随机向量(X,Y)的联合概率函数或联合概率分布,一、二维离散型随机向量,
3、联合概率函数的表格形式，称为(X,Y)的联合分布律或联合分布列,二维离散型随机向量的联合概率函数具有下列性质:,二维离散型随机向量的联合分布函数为,例1,一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球,若进行不放回取球,例2 一袋中装有4只球,依次标有号码1,2,2,3,从袋中有放回取求两次,X,Y分别表示两次取得球上的号码,则(X,Y)的联合概率分布为,思考,将本例中有放回取球改为不放回取球,结果会如何?,二维离散型随机向量的边缘分布,例3,在本节例1.中,若进行不放回取球,若进行放回取球,定义,二、二维连续型随机向量,二维随机向量的联合密度函数具有以下性质,例4,解,由密度函数性质,有,例5
4、,解,(2),二维连续型随机向量的边缘密度函数,定义,同理可得 Y 的边缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,例6 求随机向量(X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数，已知其联合分布函数为,解,边缘分布函数分别为,边缘密度函数为,例7 求随机向量(X,Y)的边缘密度函数，已知其联合密度函数为,解,由边缘密度函数和联合密度函数的关系可知,所以,同理,1.均匀分布,定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度,则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均匀分布.,两个常用的分布,例8 已知随机向量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,试求( X ,
5、 Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函数为,2.二维正态分布,若二维随机向量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布的图形,例9,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,作业,P89练习3.2 1 2 3,3.3 随机向量的独立性,在多维随机向量中，各分量之间有的相互影响
6、，有的毫无关系。譬如在研究父子身高时，父亲的身高Y往往会影响儿子的身高X.假如让父子各掷一个骰子，出现的点数Y1与X1之间就看不出任何关系.这种相互之间没有任何影响的随机变量称为相互独立的随机变量.,1.定义,一、随机变量的独立性,2.说明,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,解,例1,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,解,由于X 与Y 相互独立,例2,因为 X 与 Y 相互独立,解,所以,求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.,例4. 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为,其中参数 ,这个分布称为二维指数分布,试讨论X
7、和Y的独立性.,解: 由已知可得边缘分布函数,例5,例6 某码头能容纳一只船,现预知某日将独立地来到甲,乙两船,且在24小时内各时刻来的可能性都相等,如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时,试求有一船要在江中等待的概率.,关于X的边缘密度函数,关于Y的边缘密度函数,解:设X表示甲船到达码头的时间.Y表示乙船到达码头的时间.由题中条件,X与Y都服从0,24上的均匀分布,因为X与Y相互独立,故(X,Y)的联合密度函数为,事件有一只船在江中等待=YXY+4+XYX+3,表示:甲船来时,乙船已在码头,表示:乙船来时,甲船已在码头,例7,解,所以,根据联合分布列和边缘分布列的关系,不难得到X和Y的联
8、合分布列,由于,所以X,Y不相互独立,99年考研题,8分,重要结论,作业,P94 练习3.3 1 2 3 4,3.4 随机向量的函数及其概率分布,一、离散型随机变量函数的分布,二、连续型随机变量函数的分布,为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.,一、离散型随机变量函数的分布,例1,解,等价于,概率,结论,例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,解,二、连续型随机变量函数的分布,1. Z=X+Y 的分布,由此可得概率密度函数为,由于 X 与 Y 对称,当 X, Y 独立时,由公式,解,例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,得,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,解,例5,此时,例6,证明,同理可得,故有,当 X, Y 独立时,由此可得分布密度为,例7,得所求密度函数,得,则有,故有,推广,例8,解,作业,P106练习3.4 1 3,P106习题三,
