第十五章 常微分方程的解法.doc

第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 (1)在下面的讨论中，我们总假定函数连续，且关于满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数，使得 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。所谓数值解法，就是求问题（1）的解在若干点 处的近似值的方法，称为问题（1）的数值解，称为由到的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量。建立数值解法，首先要将微分方程离散化