1、可分离变量的微分方程及其应用,主讲人 李海燕,数学计算机科学系,授课内容,知识点回顾提出问题引例建模定义解法 解决问题练习,一、知识点回顾,常微分方程的形式,通解与特解,常微分方程的定义,二、提出问题,怎样求解一阶微分方程呢？（难！）,什么是可分离变量的微分方程呢？,初等积分法,分离变量法,常数变易法,恰当因子法,参数法,降阶法,三、引例建模,故事梗概,直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了真假名画问题。,维米尔名画伪造案,范. 梅格伦（Van Meegren）“伪造”17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画卖给纳粹分子。,思路,2 原理：著名物
2、理学家卢瑟夫（Rutherford） 指出，物质的放射性（衰变率）正比 于现存物质的原子数 。,1 分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放 射性，其应用已有2000余年，白铅的成分 中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放 射性铅（Pb210） 。 我们看下元素衰变示意图 。,3 建立微分方程：,设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t), y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r 。则：,四、可分离变量微分方程的定义,定义： 若一阶显式或微分形式方程可分别写成,（1）,（2）,则称：(1)和(2)为变量可分离方程。,五、可分离变量微分方程的解法,积分法,隐式通解
3、（通积分）,变量分离,以方程（1）为例：,例 解初值问题,六、解决问题,经验：矿石中铀的最大含量可能 2-3%，若白铅 中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿 石中含铀量超过4% 。,处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放 射性物质含量比较，来判别画的真伪 。,维米尔名画伪造案,建模：,设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r 。,则:,衰变率：,其中 , y(t), r均容易测出。,假设：第一幅画是真品，则,铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。,同理可判别其他画的真伪。,结论：,小结：,1.可分离变量的微
4、分方程及其解法,2.可分离变量的微分方程的建模应用,1.解方程:,七、练习,2.古尸年代鉴定问题:,在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作C14年代测定，分析表明，与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前?,Thank you for your attention ！,back,显式：,或 隐式：,back,通解：解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相等，通常形式为：,特解：满足初始条件的解，其中初始条件为：,back,矿石中元素衰变示意图：,T=45亿年,T=1600年,T=22年,T=138天,白铅,back,
5、back2,C14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度,这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少。,back,设t时刻的原子数为 y(t)，则有,为物质的衰变常数。,back,设t时刻的原子数为 y(t)，则有,为物质的衰变常数。,初始条件,半衰期,back,解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,将变量分离，化成：,back,
