第6章变分法与边值问I通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到偏微分方程边问题的解，这种理论和方法通常叫作偏微分方程中的变分原理，简称变分方法。本章通过求解一类边值问 题和特征值问题简单介绍该方法的 理论及其应用。 6.1边值问题与算子方程 了 6.1.1薄膜的横振动与最小位能原理考虑张在平面有界区上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用Y的 微小横振动，薄膜的边缘固定在上。利用微元分析法可得薄膜的总位能 为E-(u) = U - W=IJ戶 +- ffnF、其中，T表示张力，F（x，y）表示外力面密度，u（x，y）表示薄膜在点（x，y）出垂直于平面方向的位移。由于薄膜边缘固定，类似于5. 2. 5小节中对Dirichlet原理的讨论，可知泛函 (6. 1.1)的极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题（6 丄 2）-Au = d s e 打 u = 0. J- 6的解；反之边值问题(6.1.2)的解u也是泛函(6. 1. 1)的极小函 数，即
