1、1,第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）,2.1 引言 2.2 Z 变换的定义与收敛域2.3 Z反变换2.4 Z变换的性质2.5 Z变换与连续信号的拉氏变换、傅氏变换的关系,2,第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）,2.6 离散时间傅里叶变换（序列的傅里叶变换） 2.7 序列傅里叶变换的主要性质 2.8 周期性序列的傅里叶变换 2.9 傅里叶变换的一些对称性质 2.10 离散系统的系统函数，系统的频率响应,3,2.6 离散时间傅里叶变换DTFT （序列的傅里叶变换）,1.正变换（DTFT） :,绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件。也就是说， 若序列x(n)绝对可和
2、，则它的傅里叶变换一定存在且连续。由于时域是离散的，故频域一定是周期的。,4,是x(n)的频率谱密度，简称频谱，是的复函数。,它们都是的连续的函数，周期为 。,5,序列及其傅里叶变换,例：,6,2、反变换（IDTFT）:,7,2.7 序列傅里叶变换的主要性质,1、线性,2、序列的移位,3、乘以指数序列,8,4、乘以复指数序列（调制性）,5、时域卷积定理,6、频域卷积定理,9,7、序列的线性加权,8、帕塞瓦定理,9、序列的翻褶,10、序列的共轭,10,2.9 傅氏变换的一些对称性质,一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足 xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭
3、对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则,11,再将-n代入，则根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。,12,根据定义，则,这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。,2.共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n) 则称序列为共轭反对称序列。同样有：,13,二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,14,15,三、序列的
4、傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和,其中，,16,四、两个基本性质,证明：,17,证明：,18,五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系,1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部,证明：,19,2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部,证明：,20,六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系,1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部,证明：,21,2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j。,证明：,22,七、序列为实序列的情况,23,24,25,8.实序列也有如下性质：,26,线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应,H(z)称作线性移不变系统的
5、系统函数，而且在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。,2.10 离散系统的系统函数及频率响应,一.系统函数:,27,我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。 z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)| ，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。,二.因果稳定系统,28,线性移不变系统常用差分方程表示：,三.系统函数和差分方程的关系,取z变换得：
6、,对上式因式分解，令,得：,29,四.系统的频率响应的意义 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的Z变换 称作系统频率响应。,也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。,对于线性移不变系统：,30,五.频率响应的几何确定,1.频响的零极点表达式,31,模：,相角：,32,2.几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位
7、置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。,33,例2-17 设一阶系统的差分方程为:,解: 对差分方程两边取Z变换:,，a为实数,求系统的频率响应。,34,这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为:幅度响应为:相位响应为:,35,36,零极点分布情况,-1,0,a,1,o,37,五.IIR系统和FIR系统,1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长,即n时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统。,38,2.有限长单位冲激响应(FIR)系统 h(n)为有限长序列的系统。,39,2.8 周期序列的傅里叶变换,因为n时，周期序列不趋于0
8、，所以它既不绝对可和，也不平方可和。需引入冲激函数。1、复指数序列复指数序列（复正弦序列）的DTFT是以0为中心、以2的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2 。,40,2、常数序列常数序列的DTFT是以=0为中心、以2的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2 。,41,3、周期为N的抽样序列串周期为N的抽样序列的DTFT是频率在2/N的整数倍上（即2k/N）的一系列冲激函数之和，其积分面积为2/N 。,42,周期为N的序列 的DTFT是一系列冲激函数串，其积分面积为 乘以2/N 。而 是 的一个周期的傅里叶变换 在频域中=2/N的整数倍的各样点上的抽样值。,4、周期为N的一般序列,43,表2-4 一些常用序列的傅里叶变换对,
