1、2005-11-5,第八章 状态估计（卡尔曼滤波）,8.1 系统的描述 8.2 最小方差估计 8.3 线性最小方差估计 8.4 最小二乘估计 8.5 投影定理 8.6 卡尔曼滤波-状态估计,2005-11-5,8.1 系统的描述,8.1.1状态空间模型 随机状态空间模型描述：,8.1.2差分方程模型 随机差分方程模型,2005-11-5,8.2 最小方差估计,的误差方阵为,2005-11-5,最小。注意到,2005-11-5,2005-11-5,表8-1,2005-11-5,解,2005-11-5,解:,表8-2,2005-11-5,估计误差的方差为,2005-11-5,解: 由已知可求出,D
2、X =P ，,，,再根据正态分布中的条件概率可知,2005-11-5,8.3 线性最小方差估计,定义8.3.2 使误差方差阵,2005-11-5,令 则 于是有,2005-11-5,要方差 最小,必须令 ， 由此推得：,2005-11-5,其误差方差阵,根据遍历性定理，往往可以比较容易地求得 通常容易获得。,2005-11-5,进而求得,8-1，试求 的线性最小方估计,解: 根据表中数据可以求出：,2005-11-5,解：,例8.3.2 已知 和 的联合分布如表8-2,试求,2005-11-5,估计误差为方差,的线性最小方差估计为,2005-11-5,小于前面最小方差估计时的误差方差,线性最小
3、方差估计的统计性质为：,(1)线性,(2)无偏性,(3)正交性,由于,所以,2005-11-5,2005-11-5,8.4 最小二乘估计,最小二乘估计是一种经典的估计方法。,设所得估计值为 ，则第 次量测值与相应估计,将此误差的平方和记为,2005-11-5,下面来求最小二乘估计 。采用向量矩阵形式记,2005-11-5,令,则有,2005-11-5,解: 采用记号,2005-11-5,则可将两个观测方程合成一个观测方程,2005-11-5,在最小二乘估计中，既不需要知道联合概率分布，也不需要知道随机变量的二阶矩。因此方便于实际应用。但应该注意最小二乘估计属于线性估计，其误差方差阵通常大于线性
4、最小方差估计的误差方差阵。,2005-11-5,8.5 投影定理,（1）,（2）,（3）,投影定理：,则称 为 在向量 上的投影，记为,定义： 如果一个与 同维数的随机向量 具有性质,其中 为 矩阵 。,2005-11-5,式中,证: 根据投影定义和投影的唯一性原理，只需证明它们满足定义中的三个性质。(1) 首先证明第一部分,(8.5.2),令 ；则 ：,2.设 为三个随机向量，维数分别为 。,2005-11-5,正交性,（2）其次证明第二部分,2005-11-5,无偏性,正交性,2005-11-5,8.6 卡尔曼滤波-状态估计,8.6.1无控制项的线性动态系统的滤波考虑离散动态系统,2005
5、-11-5,其中 ； ； 为模型噪声,为观测向量 ， 为观测噪声；,为已知观测矩阵。,表示利用 对第 的估计值 当j=k时 称为滤波值；jk时 称为外推或预报值；jk时 称为内插或平滑。,2005-11-5, 的初始状态 与噪声序列 均不相关,即,对模型噪声 和观测噪声 作如下假设： 状态噪声和观测噪声为互不相关的白噪声,2005-11-5,2005-11-5,同理可得,式（8.6.1）简化为,2005-11-5,其中,由于,由此得,2005-11-5,式中,则,2005-11-5,式(8.6.4)可进一步简化为,2005-11-5,例8.6.1 考虑由数量方程,所定义的随机过程，其中 ，观测方程为,其中观测噪声 白噪声序列。设 ，,试求出 时状态的 的卡尔曼滤波值 。,解: 由公式可知 ：,2005-11-5,滤波误差为,重复上述步骤，进一步递推，可得,此时滤波误差为,2005-11-5,几点说明:,(1) 对随机过程进行的观测与递推估计的次数越多时，零均值的观测噪声 由于相互抵消而引起的误差越来越小，滤波值就越来越准确。,(2) 并不是任何系统 都有极限 ,对于完全能控能观的线性定常系统，极限 存在。,返回,
