1、空间谱估计基本原理,MUSIC，ESPRIT算法,提纲,空间谱估计概述阵列的数学模型及其统计特性多重信号分类算法（MUSIC）及其性能旋转不变子空间算法（ESPRIT）及其性能,一、空间谱估计概述,阵列信号处理,将多个传感器布置在空间的特定位置组成传感器阵列，接收空间信号场中的信号，利用各个信号在空间位置上的差异，最大程度地增强所需要的信号，同时抑制干扰和噪声或不感兴趣的信号，达到提取各个空间信号源信号及其特征信息和参数的目的。 阵列信号处理实质上是提高阵列输出的信噪比。 特征信息和参数一般包括：空间信号源的方向、数目、信号的频率、相位、调制形式及波形等。,阵列信号处理具有的优点,灵活的波束控
2、制较高的信号增益较强的干扰抑制能力很好的空间分辨能力,阵列信号处理的两个主要研究方向,自适应阵列处理(空域自适应滤波，自适应波束形成) 研究在控制主瓣方向的同时自适应地抑制干扰的方法。空间谱估计(方向估计, 角度估计 , 测向, DOA估计) 研究空间阵列处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估计的方法。表示信号在空间各个方向上的能量分布。超(高)分辨谱估计 能分辨一个波束宽度内的空间不同来向的信号，突破了“瑞利限”。,阵列信号处理的技术或算法,自适应阵列处理 通过一定布置的空间阵元对空间信号场进行采样，然后经加权相加处理得到期望的输出结果。空间谱估计 通过一定布置的空间阵元对空间信号场
3、进行采样，利用阵列接收数据的相关性对其进行数学分解，将其划分为相互正交的信号和噪声子空间，利用两个子空间的正交性构造出空间谱函数。,空间谱估计的发展及现状,时域谱估计的简单空域扩展，常规波束形成法（CBF）时域的非线性谱估计方法推广为空间谱估计方法，谐波法, MEM, Capon法，线性预测类算法。20世纪70年代现代超分辨测向技术，特征分解类算法: MUSIC, ESPRIT 20世纪70年代末，转折点，基本算法。1986年3月IEEE Trans. AP专刊集中了研究成果子空间拟合类算法，以最大似然参数估计为基础，ML, WSF，1983年相干源估计的预处理算法，空间平滑类, 矩阵重构类,
4、 非降维处理,空间谱估计的研究现状,优化算法，减小运算量，提高精度算法的实用化系统模型有偏差时的DOA估计多维空间谱估计,二、阵列的数学模型,及其统计特性,估计系统结构,假设N个远场窄带信号入射到空间某阵列上，该阵列由M个阵元组成，信号的复包络形式为,信号的数学模型,以阵列的某一阵元为参考阵元，则第l个阵元接收通道的信号为,将M个阵元在特定时刻的接收信号写成矩阵的形式，且假设各阵元是各向同性的且通道一致、无互耦影响，gij =1,A为导向矢量阵（阵列流形矩阵），导向矢量为,可见，一旦求得阵元间的延迟就会得到导向矢量阵A。,阵元的位置信号入射方位角,阵元的位置信号入射方位角和俯仰角,r 为圆半径
5、,阵列模型的二阶统计特性,统计分析的假设条件：信号源为窄带远场、零均值平稳随机信号，与阵元噪声相互独立；阵元为各向同性的，无互耦和通道不一致性；噪声以零均值加性高斯分布，为平稳随机过程，各阵元间噪声相互独立，空间平稳（各阵元噪声方差相等）；信号源数小于阵元的数目NM，信号的快拍数大于阵元数L M。,阵列输出数据的协方差矩阵,RS， RN分别为信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵。对于空间理想的白噪声且噪声功率为2，则上式变为,对R进行特征分解有,特征值满足关系,定义 相对应的特征向量矩阵为,数据协方差矩阵可分为两部分,由US张成的信号子空间，由UN张成的噪声子空间,由入射信号的导向矢量张成空间与信号
6、子空间为同一个空间,信号子空间与噪声子空间正交，且有,具体实现中，数据协方差矩阵是用采样协方差矩阵的代替的,数据协方差矩阵的最大似然估计实际采样数据是有限长度的，影响了模型的假设，改变了数据的相关性，也影响了两个子空间的正交性。实质上，整个问题变成了在有色噪声环境中，对相关信号源做目标参数估计的问题。常规波束形成器,三、多重信号分类算法,(MUSIC)及其性能,1. 经典MUSIC算法（独立信号）,数据协方差矩阵的最大似然估计及其特征矢量矩阵,由于噪声的存在，导向矢量与噪声子空间不能完全正交，即,因此，实际DOA估计是以最小优化搜索实现的，即,而定义MUSIC算法的空间谱为,应用MUSIC算法
7、应注意的问题,非理想情况下，协方差矩阵的特征值满足下式，不能判断信号源数,根据性质 ，有,理论上，利用信号子空间和噪声子空间估计参数是一致的，但实际应用时两者估计性能有差别,线阵的信号参数搜索范围为 ，而面阵的范围为,随着扫描角度的变化，当导向矢量属于信号子空间时，Q是一个趋于零的值，而当导向矢量不属于信号子空间时， Q是一个不为零的值，所以，P在信号源方向上会产生很尖的“谱峰”，而在其他方向上相对平坦,MUSIC算法仿真，线阵，三个信号源,平面阵两个信号源的MUSIC估计,俯视图,2. 加权MUSIC算法（独立信号），约束最优化问题,是MUSIC的推广形式,MVM算法，最小方差算法,MEM算
8、法，最大熵算法,MNM算法，最小模算法,加权MUSIC各算法仿真,算法的性能分析,性能分析主要是理想情况下的理论性能和分辨力，包括 估计偏差、估计方差、成功概率； 谱与信噪比 、阵元数、阵元间距、快拍数、CRB的关系； 分辨力与信噪比 、阵元数、阵元间距、快拍数的关系。,3. MUSIC算法的性能分析,MNM 估计偏差小于MUSIC，但估计方差大于MUSIC； 当快拍数L较大、信号不相干及信噪比SNR较大时，即理想情况下，MUSIC算法的性能接近克拉美-罗界CRB；信号相干性对MUSIC影响很大； MUSIC的估计方差优于WMUSIC，即最优权W=I； MUSIC算法的分辨力门限与阵列孔径、角
9、度差、波长成负四次方幂的关系； 理想条件下的CRB与快拍数L、阵元数M、信噪比SNR成反比；由加权MUSIC算法可以得出各种算法之间的关系，表现为权矩阵的选取问题，其实质是约束条件问题。,4. 基于解相干的MUSIC算法,相干信号源数学模型,式中，是复常数矢量，s0(t)为生成信源,数据协方差矩阵的秩降低，信号子空间的维数小于信源数，信号子空间“扩散”到噪声子空间，导向矢量与噪声子空间不完全正交，无法正确估计信号源方向,解相干预处理：降维处理和非降维处理,空间平滑算法-适于均匀线列阵（ULA ）,将M个阵元的均匀线列阵分成p个子阵，每个子阵的阵元数m，mN，则有M=p+m-1 以最左的子阵为参
10、考子阵，于是每个子阵的输出向量为,基本思想是将均匀线列阵分成若干个相互重叠的子阵列，若子阵的阵列流形相同，则子阵列的协方差矩阵可以平均。,取最左边的子阵为参考子阵，对于第k个子阵的阵列输出,其中, Am是子阵列的方向矩阵，对于ULA是mN维的范德蒙矩阵,于是，子阵k的数据协方差矩阵为,前向平滑修正的协方差矩阵为,相干信号估计仿真,后向空间平滑,空间平滑对阵列孔径的损失,对于均匀线列阵，采用单向空间平滑算法、单向的矩阵分解算法、矢量奇异值法及多阶单向线性预测算法，至少需要两倍的信号源数的阵元2N双向空间平滑算法、双向矩阵分解算法及多阶双向线性预测算法，至少需要1.5N个阵元。,5. 基于波束空间
11、的MUSIC算法,先将空间阵元通过变换合成一个或几个波束，再利用合成的波束数据进行DOA估计，实际属于预处理算法。降低计算量；提高算法的稳健性；减低系统的复杂度适于大阵列、小信号源数的场合，注意NBM,波束空间算法原理,对于阵元间距为半波长的均匀线列阵，阵列的导向矢量及M点的傅氏变换为,可见，导向矢量是傅氏变换的一种形式，只是因子不同，则第n次快拍数据的傅氏变换为,上式表明，导向矢量其实是一个波束形成器，主瓣指向u=sin。,取相邻的B个波束形成器构成归一化加权矩阵,定义周期为u=2的 M M的波束形成矩阵，每列表示波束主瓣指向 ，共有M个波束形成器，各主瓣指向间隔为2/M,满足,经过波束空间
12、变换后的输出,对应的协方差矩阵为,波束空间的MUSIC算法,对Ryy进行特征分解得到噪声子空间 ，则应用MUSIC算法得波束空间的空间谱,有很多取T的方法，可以考察两个相邻信号的分辨力，注意满足正交化,波束空间算法的性能,导向矢量的维数必须等于形成的波束数，等于特征分解矩阵的维数矩阵T的选择决定了波束空间算法的性能，而T的选择不是任意的，因此，算法的性能与变换算法、波束指向的区域的大小、波束数等因素均有关系。波束空间算法具有计算量小，信噪比分辨力门限低，增强对各种误差的稳健性，方便并行实现等优点。波束空间算法的估计方差高于阵元空间算法，但估计偏差小，成功概率高。一般情况下，随着波束数的减少，信
13、噪比门限会降低，导致方差明显加大，性能严重恶化。从大系统的可实现性角度来看，首选基于DFT的算法。波束空间算法属于空间谱估计的预处理算法，可以将其推广到大多数空间谱估计算法。如ESPRIT，ML，WSF，LP等等算法。,角度范围与波束增益和波束数的关系,6. 求根MUSIC算法（Root-MUSIC）,用多项式求根的方法替代MUSIC算法中的谱峰搜索。定义多项式,当z=exp(j)，即多项式的根正好位于单位圆上时，p(z=exp(j)是空间频率为的导向矢量。恰好是信号的导向矢量，且与噪声子空间正交，于是,注意，多项式的阶数为2(M-1），也就是说有M-1对根，且每对根互为共轭关系，其中有N个根
14、正好分布在单位圆上。实际中，接近单位圆上的根即可，对等距均匀线阵ULA,求根MUSIC算法的性能,与MUSIC算法相比，求根MUSIC算法具有更低的分辨力门限、估计偏差、估计方差，也就是说，求根MUSIC算法优于谱峰搜索的MUSIC算法。理论和仿真实验都证明求根MUSIC优于求根MNM算法。 求根MUSIC算法一般只适于线阵，并可推广为一类算法，如LP，MVM，MNM等高分辨算法，用求根来代替谱峰搜索。,7. MUSIC性能分析仿真-成功概率、估计偏差、估计方差,四、旋转不变子空间算法,（ESPRIT）及其性能,1. ESPRIT算法的基本思想和原理,利用数据协方差矩阵信号子空间的旋转不变性估
15、计信号参数要求阵列的几何结构存在不变性，或通过变换获得两个以上相同子阵算法的基本假设是存在两个完全相同的子阵，且两个子阵的间距已知，子阵阵元数为m，对同一信号，两个子阵的输出只差一个相位差i，i=1，2，N。假设子阵的接收数据为X1和X2可见，只要得到两个子阵间的旋转不变关系，就可以得到信号到达角的信息，称为旋转算符，包含了信号的所有方向信息,如何求得,合并两个子阵的模型,在理想条件下，X的协方差矩阵及其特征分解，注意矩阵的维数,有特征值的关系,同样特征向量张成两个子空间，且,因此，存在一个唯一的非奇异矩阵T，使得,有特征向量张成的子空间与阵列流形A张成的子空间相等，即,信号子空间的旋转不变性
16、,得到两子阵的信号子空间的关系如下,如果阵列流形A是满秩矩阵，则,的特征值组成的对角阵一定等于，矩阵T的各列就是矩阵的特征向量，只要得到就可以得到信号的入射角。如何求得？,2. 最小二乘法（LS-ESPRIT）,最小二乘解的方法等价于在满足约束条件的情况下，使校正项尽量小,定义并展开,对求导并令其等于0，可得,当子阵的信号子空间的维数等于信号源数时，有唯一的最小二乘解,当子阵的信号子空间不满秩时，有很多解，存在相干信号源,3. 总体最小二乘法（TLS-ESPRIT）,基本思想：同时校正两个信号子空间存在的扰动。考虑矩阵方程的解,TLS的解等价于下式，也就是寻找一个酉矩阵F与U正交,定义矩阵,F
17、可以从下面的特征分解中得到,令,EN是由对应特征值为0的特征向量构成的矩阵，它属于噪声子空间,只要选择F等于EN即可满足正交性，由,如果令 ，则,说明的特征值就是的对角线元素。于是有,4. 矩阵束的ESPRIT算法,前面原理中子阵的自协方差矩阵和互协方差矩阵为,降噪后，有,求出某矩阵束的大的广义特征值，就可以得到信号的到达角,5. ESPRIT算法仿真,分辨力仿真,6. ESPRIT算法的性能分析,ESPRIT算法的性能,ESPRIT算法属于信号子空间算法，它是利用子阵间信号子空间的旋转不变性来求解。LS-RSPRIT、TLS-RSPRIT及其他算法性能接近，在低信噪比情况下TLS算法略好于其它算法。矩阵束的ESPRIT算法性能受噪声影响较大。总的说来，ESPRIT算法的性能均差于MUSIC算法。仿真说明阵元数越大、信号源数越小、入射信号间隔越大，两者性能越接近。ESPRIT算法的优点在于实时性，一般情况下只要两个子阵满足旋转不变性，就可以用ESPRIT算法实现，且实现速度优于MUSIC，MNM和LP等一维谱峰搜索类算法。,欢迎讨论,谢谢！,
