1、第5章多自由度系统的数值方法,有许多数值方法，可以得到系统特征值和特征向量的近似值，这对解决许多工程问题是十分有用的。,第1节 Rayleigh法,已知n自由度无阻尼系统特征值问题的方程为lMu=Ku (5.1-1)l=wn2设系统的特征值和正则化特征向量为lr, mr (r=1, 2, , n) ，它们满足方程(5.1-1)，即lrMmr=Kmr r=1, 2, , n (5.1-2),方程(5.1-2)两边各左乘以mrT，并除以纯量mrT M mr，得(5.1-3)方程表明，分子与第r阶固有模态的势能有关，分母与第r阶固有模态的动能有关。 如果有一任意的向量v，令(5.1-4),式中R(v
2、)是一个纯量，它不仅决定于矩阵M和K，而且还决定于向量v。矩阵M和K反映系统的特性，而向量v是任意的。因此，对于给定的系统 ，R(v)只决定于向量v。纯量R(v)叫做Rayleigh 商。显然，如果向量v与系统的特征向量mr 一致，则Rayleigh 商就是其对应的lr。,系统特征向量mr (r=1, 2, , n) ，形成 n维空间中一组线性独立的完备基。因而同一空间中的任一向量v ，可用特征向量的线性组合来表示，即(5.1-5)式中cr是常数，C=c1 c2 cnT。把式(5.1-5)代入式(5.1-4)，并考虑到mTMm=I，mTKm=L,有,(5.1-6),(5.1-6)表明，R(v)
3、是系统特征值lr，即系统固有频率平方wn2(r=1, 2, , n)的加权平均值。如果任意向量v与系统的第r阶特征向量mr很接近，意味着系数ci 与 cr( ir) 相比较是很小的，则有ci=eicr r=1, 2, , n (5.1-7),式中ei1。方程 (5.1-6)的分子和分母分别除以cr2 ，得,(5.1-8),(5.1-9),式中,(5.1-8)右边级数是一个二阶小量。当向量v与mr的误差为一阶时，Rayleigh商与特征值lr的误差为二阶。这表明，Rayleigh 商在特征向量的邻域中有稳定的值。通常，Rayleigh法用于计算系统的基频或第一阶固有频率，即r=1。由方程(5.1
4、-8)得(5.1-10),由于 li l1 (i=1, 2, , n), 因而R(v)l1只有当所有ei=0时，R(v)= l1。因此，Rayleigh商大于系统的基频或第一阶固有频率的真实值。只要构造的向量v接近于要求的第r阶固有模态的特征向量mr，就可以得到特征值lr的比较精确的近似值。,n自由度无阻尼系统的特征值问题，(5.11)可改写为(5.51)或(5.52)式中D为系统的柔度矩阵。解方程(5.5-2)可得系统的特征值。,第2节 Dunkerley法,为了说明Dunkerley法，研究一个两自由度系统，其特征值问题可表示为,(5.2-3),或,因而系统的特征方程为,(5.2-4),或
5、,如果系统的固有频率为wn1和wn2，则系统的特征方程可表示为(5.2-5)对照(5.2-5)和(5.2-4)，得,令diimii=1/wii2，wii为只保留质量mii和弹簧dii而不计其余质量和弹簧所组成的假想系统的固有频率。对于前2自由度系统，有可以证明，对于n自由度系统，有(5.2-6),wn1是系统的基频，则1/wn12是(5.2-6)右边最大项，则(5.2-6)可近似表示为(5.2-7)这就是Dunkerley公式，可用来确定系统基频的近似值。,可看出(5.2-7)确定的1/wn12大于它的真实值，故Dunkerley法给出的wn1比真实值大。为改进它，可用下式(5.2-8),例
6、质量为m1，长为l的均质悬臂梁，其端部有集中质量m(图5.2-1)。试确定系统第一阶固有频率。假设的弯曲刚度为EI,解 对于端部带有集中质量m，而略去梁本身质量的悬臂梁，其固有频率为均质悬臂梁的第一阶固有频率为,因此，整个系统的第一阶固有频率近似值为,如m1=m，则,第3节 矩阵迭代法,n自由度无阻尼系统特征值问题的方程(5.1-1)还可表示为lu=Hu (5.3-1)或(5.3-2)式中H=M-1K，G=K-1M=DM称为动力矩阵。,为求得系统特征值和特征向量可利用(5.3-2)通过迭代得到。迭代过程如下：假定一个向量v1，它不是系统的特征向量u，v1右乘以矩阵G，其结果不会满足(5.3-2
7、)，而是进行了变换，得到向量v2，一般它不同于v1。,由(5.1-5)，v1可表示为(5.3-3)向量v1右乘以矩阵G可得(5.3-4)式中l1=wn12是系统第一阶特征值,定义l1l2lr，因而有l1/lr1(r=2, 3, , n)，且随着r增加而减少。与v1相比较，高阶固有模态在v2中的作用在减少。如果v1是为得到系统特征向量u1而构造的试探向量，则v2可被认为是v1的一个改进。为了改进v2，令(5.3-5),显然 v3是比v2更好的试探向量。重复这个过程，有(5.3-5),如果迭代次数s有足够的大，由于(5.3-7)(5.3-7)表明，当迭代次数s足够大时，级数(5.3-6)的第一项是
8、决定性的，级数将收敛于c1u1。vs和vs-1都可以认为是u1，满足(5.3-2)。 vs和vs-1互相成比例，比例常数为1/l1。,如何得到高阶模态的特征值和特征向量？由变换q=up，或p=u-1q，可以得到主坐标p于物理广义坐标q的关系，即(5.3-8)式中nij为矩阵u-1的元素。,如果能从系统特征值问题方程(5.3-2)式中消去第一阶固有模态的影响，那么，通过迭代得到的将是第二阶固有模态的特征值和特征向量。消去第一阶固有模态的影响就是使第一阶主坐标p1=0。由方程(5.3-8)得p1=n11q1+n12q2+n1nqn (5.3-9),以一个三自由度系统为例来讨论。方程(5.3-9)可
9、表示为p1=n11q1+n12q2+n13q3 =0 q2=q2, q3=q3写成矩阵的形式为,可变换为,即 q=n1q (5.3-10),式中,(5.3-10),记 G1=Gn1 (5.3-11),由于矩阵G已被矩阵n1修改， G1中第一阶固有模态已被消除。把G1代入方程(5.3-2)，进行迭代，就可以得到第二阶固有模态的特征值和特征向量。然而，方程(5.3-9)中的nij不可能直接由矩阵u来确定。因为除u1以外，振型矩阵u中的其它列向量此时仍是未知的。,为了得到n1j (j=1, 2, , n)，利用特征向量的正交性关系uTMu=diagMrr可得 (diagMrr)-1uTMu=I,上方
10、程右乘以u-1，得(diagMrr)-1uTM=u-1 (5.3-13)由于矩阵diagMrr为对角阵，方程(5.3-13)的第一行为n11 n12 n1n=cu1TM(5.3-14)这里c为常数。因此，矩阵n可以建立。,为了得到第三阶和更高阶固有模态的特征值和特征向量，可用类似的方法，依次建立起相应的矩阵n2, n3，得到修改后的G2, G3，依次代入方程(5.3-2)进行迭代。,例 有一三自由度系统，运动方程为,确定其固有频率和特征向量,解 系统的动力矩阵为计算方便，暂去掉矩阵前系数m/12k。令,先假定一任意向量v1=1 1 1T，开始迭代，由(5.3-4)，得,按照规则。乘以l1，即乘
11、以1/9，实际上就是除去常数9，继续进行迭代，得,去掉常数11，第四次和第五次迭代结果为取u1=1 2 1T和1/l1=12，考虑到矩阵G前的系数m/12k，则系统第一阶特征值为,为得到第二阶固有模态，应消掉第一阶固有模态。为此，由(5.3-14)的去掉公因子m，建立起矩阵n1为,由(5.3-12)，得,用G1可确定第二阶固有模态假定v1=1 1 1T，利用G1进行迭代。迭代14次后，得 u2=-1 0 1T和,为得到第三阶固有模态，要消去第一阶和第二阶固有模态，因此要p1=0，p2=0。由(5.3-14)得n11 n12 n13和n21 n22 n23，可得到矩阵n2为：,从而得,假定v1=
12、1 1 1T，利用G2进行迭代。迭代2次后，得 和,最后得到 和,注意到(5.311)要矩阵求逆，在高维问题中矩阵求逆计算量很大，是不合适的，因而需要找另外的算法。设任意初始试向量为v1，应有因为,所以可见在v2包括的第1阶主振形的部分为,如假设的试向量为并用v1*来作初始试向量则迭代此时将收敛于l2和u2,由主振形对质量的正交性可得,则,说明以 算得的v1*为初始试向量进行迭代将收敛于第2阶主振形和固有频率。 上式中的v1仍是任意的，但,称为滤频动力矩阵，以后进行的迭代就始终用它，以保证将第1阶的振形成分滤干净，即迭代公式为,在迭代收敛得到l2和 u2后，如需求第3阶模态参数，就可以推出 来
13、进行迭代。 其余高阶模态都可以类似处理。,注意到这里不用矩阵求逆。 这是矩阵特征值求解的矩阵迭代法的常用算法之一。,第4节 传递矩阵法,在传递矩阵法中，系统被假定为由许多质量和无质量的弹簧所组成，一般是链状连接的。如下图5.4-1所示为系统的一部分。,质量mn和弹簧kn组成一个分段(图5.4-2) 。把质量mn分离出来，其位移为xn，所受力为Fn。上标L和R分别表示质量左边或右边的位移或作用力。设质量mn为刚体质点，所以,xnR xnL xn (5.4-1)其运动方程为mnxn=FnR FnL (5.4-2)假定质量mn作频率为w的谐波振动，其加速度为xn=w2xn (5.4-3),.,.,由
14、方程(5.4-1)和(5.4-3)，方程(5.4-2)可改写为FnR=FnLw2mnxnL (5.4-4)将(5.4-1)和(5.4-4)组合起来写成矩阵形式(5.4-5),向量x FT叫做状态向量；矩阵 叫做点传递矩阵。点传递矩阵把质点两边状态向量联系起来。,把弹簧kn分离出来(图5.4-3)，由于假定弹簧为无质量的弹簧，其两边的力应相等，即(5.4-6)且所以,(5.4-7),由方程(5.4-6)和(5.4-7)得(5.4-8)矩阵叫做场传递矩阵。场传递矩阵把弹簧两边的状态向量联系起来。,把方程(5.4-8)代入方程(5.4-5)，得(5.4-9)(5.4-10),方程(5.4-10)把位
15、置和的右边的状态向量直接联系起来。写成简明的形式，有(5.4-11)式中(5.4-12),矩阵叫做分段的传递矩阵，它把一个位置的状态向量变换为另一个位置的状态向量。一个复杂的或连续的系统，可以被划分成有限个单元或分段，可以利用传递矩阵法求得系统的各阶固有频率和特征向量，通过递推，可以得到系统某一位置的状态向量与边界处状态向量的关系。,例 确定图5.4-4单自由度系统的固有频率,解 在位置0处的状态向量，由于边界为固定端，有由方程(5.4-10)得位置1处的状态向量,位置1处是自由端，故 F1R=0从上式得1w2/k=0或,例2 确定图5.4-5系统的固有频率和特征向量。假定m=1，k=1,位置
16、0x0,F0,解 位置0到位置1分段的传递矩阵为位置0到位置1状态向量的表达式为,通过迭代来确定wn1和u1。根据位置0处的边界条件进行迭代，其状态向量可表示为假定w2=0，则传递矩阵为,因而得位置1的状态向量为位置1到位置2的传递矩阵H2和H1相同。由,得如对x2归一，则F2=1/2。但位置2是自由端，有F2R=0，因而w=0不是wn1的精确值。进行第二次试探，令w2=0.5，此时传递矩阵为,通过计算可得F2R=1/6，w2=0.5也不是wn2的精确值。以上结果表明wn2在0到0.5之间。假定w2=1/3，则传递矩阵为,从而有F2R=0.066。由图5.4-6可见，对于F2R=0有w2=0.
17、382，这时,从而得,由F2R=0表明，w2=0.382是系统固有频率wn12的值，而对应特征向量为u1=x1 x2T=1 1.618T对于第二阶固有模态，也应满足边界条件，通过迭代可以确定wn2和u2。设几次迭代后，把w2=2.618代入传递矩阵，得,由开始计算，有,因为F2R=0，表明wn22=2.618。而u2=x1 x2T=1 0.618T对于扭转系统如图5.4-7，质量Jn和弹簧kn组成分段。,把质量Jn和弹簧kn分别从系统中分离如图5.4-8所示,图5.4-8,由图可分别得到(5.4-13)和(5.4-14),式中(5.4-15)为点传递矩阵；而(5.4-16)是场传递矩阵。,因而
18、把一个位置的状态向量变换到另一个位置的状态向量的分段传递矩阵为(5.4-17),如果是有阻尼系统，则由质量Jn，弹簧kn和阻尼cn组成一个分段。用类似的分析，考虑到阻尼力矩的作用，可以得到其点传递矩阵和场传递矩阵分别为(5.4-18)(5.4-19),对于有阻尼直线振动系统，也可得到对应的点传递矩阵和场传递矩阵。,第5节 梁,作近似分析，连续梁可以用集中质量和无质量的梁段组成的系统来表示(图5.5-1)。,图5.5-1,梁的典型分段，如下图5.5-2(a)所示，包含了一个点质量mn和一段无质量的粱ln。从粱自由体图(图5.5-2(b)，可以得到(5.5-1),图5.5-2,M 和V为弯矩和剪力
19、。弯矩和剪力所引起的转角q和位移y为(5.5-2)(5.5-3),把(5.5-1)代入(5.5-2)和(5.5-3)得,（5.5-4）,（5.5-5）,把(5.5-1)，(5.5-4)和(5.5-5)写成矩阵形式,（5.5-6）,方程(5.5-6)的矩阵就是场传递矩阵。由质量mn的自由体图(图5.5-2(c)，认为mn仅作刚体运动，得(5.5-7)(5.5-8)(5.5-9),式中Jn是质量mn绕法向于xy平面轴线的转动惯量。由(5.5-7)，(5.5-8)和(5.5-9)得(5.5-10),式中矩阵就是传递矩阵。由(5.5-6)和(5.5-10) 得(5.5-11),式(5.5-11) 矩阵
20、就是分段的传递矩阵。关于粱，通常的边界条件有,利用方程(5.5-11)，可以从系统左边的边界位置0算起，计算到右边的边界位置n，可以得到(5.5-11),一般说来，两端的边界条件总是已知的，因此，满足这些边界条件的频率就是系统的固有频率。,例1 一根左端固定的悬臂梁，用个集中质量描述，导出系统的特征方程。解 在位置0处是固定端，有y0=0，q0=0。从(5.5-12)，得到式中M0，V0 是未知的。根据位置的边界条件，自由端有Mn=0，Vn=0，得齐次方程,要M0和V0有非零解，必须有这就是系统的特征方程。可用解析法作图求出各阶固有频率。作图法是利用(w2)随w2变化的曲线，曲线与w2轴的交点
21、就确定了系统固有频率。,例2 计算图5.5-3所示系统的固有频率和特征向量,图5.5-3,解 对于所示的系统，可以写出它的传递矩阵方程 z2R=P2F2P1F1P0z0L=H2H1P0z0L系统的边界条件是,略去质量m和M的转动惯量的影响，则有,进行计算后，由边界条件得：,其中 ：,y0L和q0L要有非零解，则方程的系数行列式要等于零。由此可得系统的特征方程式为：系统有二个等于零的固有频率，产生刚体运动移动和转动。还有一个固有频率为式中n=M/m,为了确定系统的特征向量，把系统方程写成如下形式(5.5-12),可以得到解两方程得因而等于1是因为系统的对称性。,为计算y2/y1，利用方程即,位置2为自由端，有M2R=0，V2R0；位置1，由于对称性，有q1R=0。代入上述方程，可得,解方程，可得代入下wn2的表达式得,所以，系统的特征向量为：,本章完,
