1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 对函数极限概念的认识与教学方法研究 一、选题的背景、意义 在我们日常生活中还是学习中，我们会遇到很多类似无穷的问题，这时就需要我们用极限的思想来解决它。他不仅仅涉及我们的生活学习，而且涉及到了很多科学方面的研究，比如科学家们在制造反导系统的时候需要把导弹的路线细分成无数的线段之和，这时必须用到微分极限的思想。可见极限是一个能解决实际问题的理论研究，我们也就有了研究极限的必要性，但是我们研究的极限没有涉及比较深奥的方面，只是初步的 研究函数极限的基本概念，性质和极限存在的条 件，由数列的极限引出函数极限的方法来进行教学。本文主要研究了数列极限，函数极限，左右极
2、限，无穷小，无穷大，无穷大无穷小的比较，重点介绍了求极限的各种方法，分别为 1：零比零的形式， 2：无穷比无穷的形式 3：无穷减去无穷的形式 4：零乘以无穷的形式 5：零的零次方形式 6：类未定式，其中零比零的形式的求解法可通过分解因式或有理化得方法进行求解，消去零因子再通过运算法则或连续函数的求解法求解或通过利用等价无穷小的运算法则。无穷比无穷的形式可通过洛毕达法则或通过变量替换化为零比零型。无穷减去无穷的形式可以通过通分，有理化， 变量替换来求解。零乘以无穷的形式可用可以用法则或抓大头的方法来求解。零的零的方可以通过对数恒等式化为零比零形或无穷比无穷的形式。类未定式是指未能确切肯定某种运算
3、结果的极限，例如在求某个函数极限的过程中 )(xf 与 )(xg 均无界，则 )(xf + )(xg 的极限就不能肯定其不存在，而要具体问题具体分析，又如，若 )(xf 有极限， )(xg 无极限， )(xg 的极限也能肯定其不存在。本文还介绍了极限在经济等方面的应用。目标是使我们能够熟练掌握极限的定义性质等，并学会各种求极限的方法解决实际问题以及怎么样使同学更好的理解函数极限的教学方法。 1 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本课题主要研究的内容： 对函数极限概念的认识与教学方法 .函数极限的定义： 因为数列 nx 可看作 自变量为 n的函数 nx = )(xf ,n为正整数，所以数列
4、nx 的极限为 a，就是当自变量 n取正整数时且无限增大（即 n ）时，对应的函数值 )(xf 无限接近于确定的数 a，把极限概念中的函数为 )(nf 而自变量的变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个常数那么这个确定的数就叫做自变量 在这一变化过程中函数的极限。这个极限时与自变量的变化过程不同，函数极限就表现为不同的形式，数列极限看作函数 )(nf 当 n 时的极限，这里的自己变量的变化过程是 n 。下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数 )(xf 的极限，主要研究两种情形： （ 1） 自变量 x任意接近于某个有限值 0x 或说 x趋于有限值 0x 时，对应的函数值 )(xf的变化情形。
5、 （ 2） 自变量 x的绝对值 x 无限增大即趋于无穷大时，对应的函数值 )(xf 的变化情形。 .自变量趋于有限值时函数的极限 现在考虑自变量 x的变化过程为 0xx 的过程中，对应的函数值 )(xf 无限接近于一个确定的数 A，那么就是说 A是函数当 0xx 时的极限，当然这里我们首先假定 )(xf 点0x 的某个去心领域内是有定义的。 定义 1 设函数 )(xf 在点 0x 的某个去心领域内有定义，如果存在常数 A，对于任意的正数 （不论它多少小），总存在正整数 ，使得当 x满足不等式 00当 0X时，对应的函数值 )(xf都满足不等式 Axf )( 0,当 x X时，有 Axf )(
6、0且无限增大（记作 x ），那么只要把上面的定义中的 x X改为 xX,就可以得到 )(lim xfx 的定义，同样， xX改为 x0和 0，使得当 00（或 A0 定理 4 如果 )(lim0 xfxx=A， A 0， 那么就存在着 0x 的某一个去心领域 U（ 0x ， ），当 x U（ 0x ， ）时，就有 )(xf 2A 。由定理 3可得出以下推论。 推论 如果在 0x 的某个空心领 域内 )(xf 0或 )(xf 0，（或 A0， 1 0，当 00，存在 2 0，当 0M，则称函数 )(xf 为0xx（或 x ）时的无穷大，当0xx（或 x ）时为无穷大的函数 )(xf ，按函数的极
7、限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数这一个性态，我们说函数的极限时无穷大，并记作 )(lim0 xfxx= ，如果在无穷大的定义中，把 )(xf M换成)(xf M，就记作 )(lim0 xfxx= ，例如 )14(tan0lim nx n 10 定理 4 在自变量的同一变化过程中，如果 )(xf 为无穷大，则他的倒数为无穷小，反之，如果 )(xf 为无穷小，且 )(xf 不为零，则他的倒数为无穷大。 我们指出无穷大与无穷小不同的是，在自变量的同一变化过程中，两个无穷大相加或相减的结果是不确定的，因此无穷大没有和无穷小那样类似的性质，需具体 情况具体分析。 .极限的运算法则 定理
8、1 如果 2个函数极限存在，那么 2个函数的极限相加等于 2个函数相加的极限。 定理 2 如果 2个函数的极限存在，那么 2个函数的极限相乘等于函数相乘的极限。 定理 3 如果 2个函数极限存在，那么 2个函数的极限相除等于函数的相除的极限。 推论 1 如果函数的极限存在，那么任意一个常数乘以这个函数的极限等于函数乘以这个常数的极限。 . 极限存在的准则和 2个重要极限。 1sin0lim x xx和 exx x )11(lim11 -12 - 13 .无穷小的比较，分别为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小， k阶无穷小，等价无穷小。 13 总之，本课将对以上抽象内容的认识及教学方法进行探讨
9、主要是研究函数极限概念的引入方法及计算方法，技巧及其在几何、物理、经济中的应用 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 （ ）研究方法 收集已发表的国内外名师对 极限认识和总结的教学方法并通过问卷调查，访谈等多种形式了解学生对极限概念学习过程中出现的困难与学生和有经验的老师探讨教学方法 （）技术路线 尽可能的收集足够的相关资料，对资料中的理论研究成果进行整理分析，相互比较后进行总结并尽量得到新的方法来求解函数的极限，并有效的处理相关的实际应用问题 （ ）研究难点 对极限概念的认识方法和教学方法，是因人而异的与学生原有的基本相关所以总结教学方法时只能是一般的方法和普遍的原则提出较为合
10、理的教学方法也是相当困难的 （ ）预期达到的目标 归纳总结出学生在 学习极限概念中存在的主要问题；列举出典型的教学方法 四、论文详细工作进度和安排 1、开始阶段：查阅文献，收集信息，材料并进行加工整理，形成系统材料（ 10 11学年第一学期第 9周至第 11周） 2、启动阶段：上嘉兴学院网络论文平台登记信息，并选题（ 10 11学年第一学期第 10周至第 11周） 3、开题阶段：收集、整理、分析资料，完成 文献综述、开题报告、外文翻译 （ 10 11学 年第一学期第 12周至第 15周） 4、 实施阶段 ： 仔细研读，分析资料，写出初稿（ 10 11学 年第一学期 第 16周至第 17周 ）
11、5、修改阶段：根据导 师意见，对论文进行反复修改（ 10 11学年 第二学期 第 1周至第 3周 ） 6、答辩阶段：对论文进行深入研究，弥补不足之处，最后定稿，准备答辩（ 10 11学年第二学期第 14周至 18周 ） 五、主要参考文献： 1 吴传生，经济数学 -微积分 M高等教育出版社 2003 2 李赛博，对高等数学中极限概念和极限求法的探讨 J 2001(1)： 160 3 赵云平，浅谈函数极限 科教文汇 J 2009(34)： 129 4 贾玉峰，浅谈高等数学中求极限的方法， 赤峰学院报 J 2008年 3月： 15-17 5 宋颢，函数极限的求法探讨，现代商 贸工业报 J 2010第
12、 12期： 360 361 6 贺金波，函数极限的一种简化求法，湖南师范学院报 J， 2009年 3月： 13-14. 7 周学勤，未定式极限的求法， 牡丹江教育学院学报 J ， 2009第 3期： 61-62. 8 马艳慧 常用极限的求法，中国科技创新导刊 J 2009： 103 9 朱张兴，关于无穷小的函数及其应用的探讨，科技创新报 J， 2010年 11期： 254-258. 10 李进，郭军，一类极限的幂指函数极限求法，高等函授学报 J 2008年 12月： 30-31. 11 唐新华，浅谈函数极限的几种求法及注意事项， 科技创新导报 J 2009： 67 12 任峰，浅谈函数极限的若干常用求法，科技创新导报 J 2009： 246 13 王五生，不定式函数极限的七种求法，河池师专学报 J 2004年 6月： 5-8. 14 祥辉 ，李坤花，极限的多种求法，常州教育学院学报 J 2007年 8月： 185 186. 15 曾亮，几类不定式极限的求法与技巧，中国西部科技报 J 2008年 7月： 73-74. 16 Walter Rudin著， Principle of Mathematical Analysis M ,China Machine Press 2003.
