高中数学联赛常用定理.docx

常用定理1、费马点（ I ）基本概念定义：在一个三角形中，到 3 个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。(1) 若三角形 ABC的 3 个角均小于 120，那么 3 条距离连线正好平分费马点所在的周角。 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。(2) 若三角形有一角不小于 120 度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。（ II ）证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1) 费马点对边的角为 120 度。 CC1B和 AA1B中,BC=BA1,BA=BC1, CBC1= B+60 度=ABA1, CC1B和 AA1B是全等三角形 , 得到 PCB=PA1B同理可得 CBP=CA1P由 PA1B+CA1P=60度，得 PCB+ CBP=60度 , 所以 CPB=120度同理 , APB=120度， APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将 BPC以点 B为旋转中心旋转 60 度与 BDA1重合，连结 PD，则