1、智浪教育普惠英才文库第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第 2 试2012 年 4 月 8 日 上午 9：00 至 11：00 得分一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的括号内。1. 设 是同一个三角形的两个内角，则不是 成立的充要条件的是（ ）,ABAB()sini()sin2i()cosC()cos2DAB2. 函数 的单调增区间是（ ）()lgfx(),13,A()1,(3,)B(2C2D3. 图 1 中的图形所表示的是将棱长为 的立方体用一个平面切割后剩下的几何体，则它a的体积不等于原立方体体积一半
2、的有（ ）个。()3A4B()5C)6D4. 是公比不为 1 的等比数列， 是 的前 项和。给出下面 3 个命题：nanSa（1）若 中既有正数，又有负数，那么 中也既有正数，又有负数；n（2） 不可能同时具有最大值和最小值；n（3） 构成等比数列。10210320430,SS其中，真命题的个数是（ ）()AB()C)D智浪教育普惠英才文库5.在正数数列 中， ，则 （ ）na111,44nna201a()1025A()0236B()035C()36D.若存在 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）,xx3()21(),)(,)21,4C34D.已知 是坐标原点，动点 在圆 上，对该坐标平面内的点
3、和 ，OM2:(4)CxyNP若 ，则 的取值范围是（ ）20NPN()0,1A()1,B()2,1()1,2D.已知关于 的方程 有三个不同的实根，其中一个是，则它的系x320abxcd数中不能是的仅有（ ）(),ac(),c(),C(),b.已知集合 关于 的方程 有唯一实数解 ，则集合 的真子集的个数|Ax2149aA是（ ）()0()3B()7()8D.如图所示，已知圆锥的底面半径为，母线长为， 是轴截面FC底角 的角平分线， 是底面的一条弦，且 ，则ACB30B直线 与 的距离是（ ）FD()14()27B()3C7()2D二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）11.直角梯形 中
4、， ， 为 的中点，A90/,2,4,ABCABCID直线 过 点，且与线段 、 分别交于点 、 ，则 的最小值是 MNIBDMN12.已知 且 ，则 的取值范围是 218yx1yx13.当 时，函数 的最大值 是 ,0a2()8fa14.若实数 满足 ，则bab智浪教育普惠英才文库 1()logllogaabfxbxx的最小值 是 15.已知三角形三个内角的度数成首项、公比均是整数的等比数列，则公比的值等于 16.Suppose is integer, if ,m(4,)(2,4)2,ambOAabBaOABThen the area of the is OAB17.四面体 的三组对棱分别相
5、等，长度分别为 3，4， ，那么 的取值范围是 CDx18.Suppose , and ,then the value range for is ,xyRxy323y19.设等比数列 的公比 表示 的前 项的和， 表示 前 项的乘积，na0,1nqSnanTna表示 的前 项中除去第 项后所剩余的 项的乘积，即()nTkk1，则数列 的前 项的和是 *,)nnkNna()2()nnnSTT（用 和 表示）1q20.在 的约数中，平方数有 个3241k三、解答题每题都要写出推算过程21.（本题满分 10 分）求数列 1，3+7，13+21+31，43+57+73+91，的第 21 项中的第 12 个数。22.（本题满分 15 分）在 的矩形纸片 中剪去圆 与圆 ，其中圆6,4ABDABCDM与 、 相切，圆 与 、 相切，且圆 与圆 外切，M 则剩余部分的面积是否有最大值与最小值？若有，求出最值；若没有，说明理由。智浪教育普惠英才文库23.（本题满分 15 分）已知函数 满足：:fR ；()()1mnfn当 时， 。1xx解答以下问题：（1） 求证： 增函数；()f（2） 若 ，解不等式0126372(813)4.fa智浪教育普惠英才文库智浪教育普惠英才文库
